1、L： 的边界线,设f (z)在单通区域 内解析，a为 的内点，则,一、单通区域的柯西公式柯西定理推出的公式,第一章 复变函数论基础 1.5 柯西公式,说明：解析函数 f (z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线的积分确定(解析函数的重要性质之一)。,注意：a为内一点，z 在 L 上取值,证明：f (z)在 内解析，但被积函数 在D内不解析，,积分不为0。如果以a为圆心，为半径作圆C，则,在这个双通区域中解析，由柯西定理的推论知：,计算：,L连续变形时，可变大也可变小，故可利用0来计算。设在圆周C上，max| f(z)f(a)| = M 。由积分性质：,讨论：1. 不一定取边界，取由L连续变形
2、得到的包围a的任意闭曲线，积分都相等。,a点在 内任意变动柯西公式也成立。若za， z ，有,f(z)在a点解析 f(z)在a点连续 0时： f(z)f(a) 0,所以 max| f(z)f(a)|0，从而 。,说明：利用柯西公式可求积分求积分的又一方法,解题要点：,柯西公式：解析函数函数值 沿闭曲线的积分值,2. 观察被积函数的形式：出现,3. f ()的解析性,计算：,方法：利用柯西公式,令 它在闭圆 |za| = a 解析构造了一个解析函数，则,解：,举一反三：计算,令 ，它在闭圆 |z + a| = a 解析，则,其它方法：留数定理 (见第四章),解：,因此，被积函数有四个奇点：,例
3、试计算积分 ，积分回路l为 x2 + y2 =2x。,解：(1) 积分回路的形状方程 x2 + y2 =2x 经配方以后可化为 (x1)2 + y2 =1。它是圆心在(1,0)，半径为1的圆，见下图。,(2) 被积函数的奇点。,方程 z4 +1=0 有四个根：,(3) 按复通区域的柯西定理及柯西公式计算。,但奇点中仅有z1与 z3位于积分回路之内。,以小圆周c1 和 c2分别包围奇点 z1和 z4 ，则被积函数在外边界线l与内边界线 c1, c2所围的复通区域解析。按复通区域的柯西定理，沿l的积分等于沿 c1与c2积分之和，后两个积分可按柯西公式算出，即,二、复通区域的柯西公式,设 f ( z
4、)在闭复通区域 中解析，a为 的内点 ，则,证明： 的边界线L包括外边界线L1，内边界线L2,L3 , L n,(积分沿边界线L的正方向),上式已将z1, z2 , z3, z4的值代入。,作割线后：(1) 闭复通区域变为闭单通区域；,(积分沿边界线L的正方向),于是：(2) 沿割线的积分互相抵消。,其中：z为 的内点，z 为 的边界点,四、高阶导数公式,定理：解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为,证明：设z为D内任意一点，先证 n = 1的情形，即,三、无界区域中的柯西公式 (见P35-37 ),根据导数定义：,由柯西积分公式得：,从而有：,设后一个积分为I，则,因为f (z
5、)在L上是解析的，所以在L上连续 f (z)有界 即 | f(z)| M (M：正数),则,设d为：z到曲线L上各点的最小距离，则 |z z | d。当|z | 足够小时，例如 |z | d / 2 时，有,如果|z | 0，则 I 0，从而,上式右边的积分存在因为：f (z)解析 连续 又 L 连续 积分存在，即 f (z)存在。,所以,从导数的表达式看出：(1) 把柯西公式从形式上对z微分，也可得到导数公式；所证明的定理肯定了这样的微分过程是合法的。 (2) f (z)是解析的。,重复以上过程可得：,说明：1. 解析函数在其解析区域可以求导任意多次解析函数的又一特点；2. 高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分 (求导运算比积分运算要简单得多) ；3. 对于复连通区域，高阶导数公式仍适用(积分沿内、外边界的正方向)。,依此类推，由数学归纳法可以证明：,五、模数定理和刘维尔定理 (P38-39) 模数原理：设 f(z)在闭区域中解析，则它的模在区域边界上达到极大值。 刘维尔定理：如果函数 f(z)有界，并且在整个平面内都是解析的，那么它必是一个常数。,与实变函数相似,两个二元实变函数的有序组合,重点,点点可导,积分区域 (有无奇点),(不解析的点),
