1、问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？,变分法简介,众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我 们用数学的方法来推导这一结论.,设平面上两定点为 和 这两点的 连线的方程为 弧段 的长为,显然函数 还需满足条件:,则原问题转变为求函数 使得成立并使 弧长 取最小值。,由于 故积分,当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到 最小值。,一、固定端点的简单泛函极值问题,设 为函数类，若有法则，使在该法则之下，对 中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应， 则称该法则为 上的一个泛
2、函。,例如，取 区间上的黎曼可积函数 类，定义泛函 为,在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一,般记为,考虑简单泛函,其中，函数 且,问题是求函数 满足条件，并使由式定 义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函,极值问题。,假设函数 使泛函 取得极值，任 意取得函数 要求它满足条件,若限制函数在 的范围中，则函 数,在 时取得极值。,由函数取得极值的必要条件，有 因,再由复合函数微分法，得,再由分部积分公式，第二项积分可化为,由得,因而有,所以，,由函数 的任意性及因子 的连续性， 则有,是使泛函 取得极值的函 数应满足的方程。这个方程成为Eular方程。,注意到，Eular方程
3、经展开后，成为,该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件 ，即,二、固定端点的简单泛函的条件极值问题,考虑简单泛函,其中函数 且,及满足条件,求函数 满足条件和并使由式定义的泛 函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。,如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数 法加以解决。为此作辅助函数,和辅助泛函,其中 为引入的待定常数。,得到的使泛函 取极值的函数 即为 原问题的解。,赛跑的最优速度安排,问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速 度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得 比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达 到最佳？,假设,1.运动员能发挥出
4、的最大冲力是有限的。在除了其它 因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。,2.在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力 存在，与速度成正比；,3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气， 然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作 用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这,种能量的提供速度在运动期间保持常量。,4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少 的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能可设为常 量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。,建模,假设比赛距离为 运动员跑的时间为 速度函数为则有,则问题转变为求速度 使得在赛跑距离 一定时， 赛跑时间 取
5、得最小值。该问题等价于求速度函数 使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离 取得最大值。,记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为 运动员的最大冲力，则有,记 为体内外的总阻力系数。由假设2总阻力为,则由牛顿定律，有,其中 为为运动员的质量。取 则式可写为,初始条件为,从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间 一定时，由和所确定的赛跑距离 达到最大。,记 为运动员的体能函数， 为运动员体能的最 大值，由假设4，知 为常量，且有,记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供 能量，由假设3， 为常量，单位时间内体能的变化为由 氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为 获得速度 而所作的功
6、）的差，即,现在的问题是：寻找合适的函数 使 得在赛跑时间 一定时，由，所确定的赛跑距 离 达到最大值。,解模,把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最 后阶段。,1.初始阶段,这个阶段的时间段为 其中 为待定的常量，且在这个阶段中，赛跑的速度为,在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最 大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程为,由和初始条件 可解出,将代入，则变成,由及初始条件可得,在中应有,因 及,由连续函数的零点定理，知存在某个时刻 使得,若运动员赛跑的时间 则运动员应该以最大的冲 力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即,如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则 能跑的最大距离为,
7、所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来 跑才是最优策略。,2.最后阶段,设此阶段为 其中 为待定参数，且 而赛跑速度为,假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量使用,完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此 有,将代入，得,由条件，得,该方程可写成,相应的解为,其中 为这个阶段的初始速度。,3.中间阶段,为了确定数值 设该阶段为 赛跑速 度为 现求取得最大赛程 时的速度,由于在初始阶段和最后阶段的速度都已经有了相应的 表达式和，故赛程为,其中 还满足,由方程及初始条件，得方程,当 时得到,现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函的 极值。由Lagrange乘数法，作辅助泛函,
8、在上式中将与 无关的量略去，则可写成,在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值,因而上式是对函数 的泛函极值问题。对函数 是 函数的极值问题，由Eular方程，有,即,从中解出,4.确定参数,因 是连续函数，故在 时有,即得,(21),(22),(24),在(21)中将 代入后积分得,在最后阶段能量为零，把 代入能量公式，并积 分得,(24),(25),由(23)、(24)和(25)可确定三个参数，由此可确定速度,最优速度的函数图形如图。,模型分析,在这个模型中，运动员的生理参数是要预先给出的， 它们是 一般可以根据统计资料取得。,赛跑成绩的理论值和实际值的比较,赛跑成绩的理论值和实际值的比较,赛跑成绩的理论值和实际值的比较,赛跑成绩的理论值和实际值的比较,注 表中的最后数据以秒为单位。,
