1、西南科技大学品牌课程,数学分析,E-mail:,主讲：杨莉,2 第二型曲面积分,一、曲面的侧,二、概念的引入,四、第二型曲面积分计算,三、概念及性质,第二型曲面积分必须对曲面给出方向，,为了对,则由曲面的侧说起,一般地，曲面有两个侧，,如图有上侧与下侧,上侧,下侧,前侧与后侧，左侧与右侧之说,这是由于曲面上任一点处的,法线有两个方向造就的,一、曲面的侧,曲面给出方向，,当然亦有,-,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,上侧,下侧,设 S 是一张空间曲面，,过 M 点引 S,回到原来位置时，,的方向不,变，则称 S 为双侧曲面,称为单侧曲面,的法向量,如
2、M点在 S 内不越过边界连续运动，,否则,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,默比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,单侧曲面的例 默比乌斯带,将长纸条,翻转一端,对接,则得默比乌斯带，,默比乌斯带是单侧曲面,在这里，我们只讨论双侧曲面,对于双侧曲面 S ，,取定一侧为正侧，,记作,则另一侧为负侧，记作,这种规定了方向的曲面称为有向曲面,总是从负侧指向正侧,有向曲面的向,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,曲面的投影问题:,如果,是一平面图形，其面积仍记为,当,是一曲面图形时，在微小的情况下，可以“以平,，则,在P点的方向余弦为,则,取,代曲”，,二、概念的引入,实例: 流向曲面
3、一侧的流量.,单位时间内 穿越平面的流体 为图中柱体,1. 分割T,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,定义 设函数,，,为定义在双侧曲面,上的函数在,所指定的一侧作分割,它把,分成,个小曲面,分割,的细度,，以,，,分别表示,在,，,，,，,三个坐标面上的投影，,三、概念及性质,在每个小曲面,任取一点,，若极限,+,+,存在且与分割,和点,称此极限为函数,，,在曲面,侧的第二型曲面积分，记为,的取法无关，则,，,所指定的一,上述积分也可写作,+,.,+,被积函数,积分曲面,存在条件:,物理意义:,性质:,四、第二型曲面积分的计算,定理22.2 设,为定义在光滑曲面,：,，
4、上的连续函数，以,的上侧为正侧（这时,的法线正向与,轴正向成锐角 ），则有,=,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号,一代、二投、三定号,解,例2 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,
5、下侧,后侧,上侧,同理,同理,例3 计算积分,因此,因此,因此,综上,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,当曲面 S 由,给出时，,由于曲面 S 在,点的法向量为,取上侧为正时，,所以在,由此可得转换式,当曲面 S 由,给出时，,同样可以建立相应的转换式,例4 计算,其中,的上侧,解：,S 在,的投影,由于,所以,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,
