1、错位重排问题专项 错位重排1-6 个元素的错位重排数分别为 0，1，2，9，44，265 递推公式：Dm=（m-1）*D（m-1）+D（m-2） ；错位重排模型：把编号为1-m 的小球分别放入编号为1-n 的箱子错位重排（即1号球不在1号箱子、2号球不在2号箱子m 号球不在 m 号箱子） ，且每个箱子一个球，有多少种不同情况？楚香凝证明：假设总情况数为 D（m）种，如果让1号球先选，有（m-1）种选择；假设1号球选的2号箱子，接下来让2号球选箱子，进行分类讨论：如果2号球选的1号箱子，相当于剩下的（m-2）个球进行错位重排，有 D（m-2）种；如果2号球选的不是1号箱子，则题目可转化为把编号为
2、2m 的小球分别放入编号为1、3m 的箱子错位重排（即2号球不在1号箱子、3号球不在3号箱子m 号球不在 m 号箱子），相当于 m-1个球错位重排，有 D（m-1）种；所以可得 D（m）=（m-1）*D（m-1）+D（m-2），得证；例1：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ 【北京2014】A.9 B.12 C.14 D.16楚香凝解析：解法一：四种元素错位重排有9种，选 A解法二：ABCD 四辆车分别停放在一二三四号位置，A 先选有三种情况，假设 A 选了二号，那么 B 再选、有三种选择，
3、剩下 C 和 D 都只有一种选择，共3*3=9种，选 A例2：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有三辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9楚香凝解析：先选出停的正确的那辆车 C（4 1）=4种，剩下三辆车错位重排有2种，共4*2=8种，选 C例3：相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求有两辆车不能停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？ A.2 B.6 C.8 D.9楚香凝解析：先选出停的正确的两辆车 C（4 2）=6种，剩下两辆车错位重排有1种，共6*
4、1=6种，选 B例 4：五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？ 【北京2006】A.60 B.46 C.40 D.20楚香凝解析：先选出贴错的3个瓶子有 C（5 3）=10种，三个贴错的瓶子相当于三个元素错位重排、有2种，共10*2=20，选 D例 5：某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。若甲、乙两人都不能安排在星期五值班，则不同的排班方法共有（ ）种。 【福建 2007】A.6 B.36 C.72 D.120楚香凝解析：选择一个工作人员安排到星期五有三种情况，剩下四个人随便排 A（4 4）=24 种，共 3*24=72，选 C例 6：幼儿园
5、小班有 7 名小朋友，上课铃响慌乱中迅速回到座位上，结果只有 3 名小朋友坐到了自己的座位上，请问这样的情况一共有多少种？A.315 B.350 C.385 D.420楚香凝解析：先选出 4 名坐错了的小朋友 C（7 4）=35，然后 4 人错位重排有 9 种，共35*9=315 种，选 A例 7：设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ）A.30 种 B.31 种 C.32 种 D.36 种楚香凝解析：总情况数 A（5 5）=120 种，都不相同相当于五个元素错位重排有 44 种，
6、有一个杯盖和茶杯编号相同有 C（5 1）*9=45 种，所以满足题意的有 120-44-45=31 种，选B例 8：从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）种？A.280 B.240 C.180 D.96楚香凝解析：除去甲乙从另外四人中找一个人当翻译，有 A（4 1）=4 种，剩下的三个位置可以任意安排 A（5 3）=60 种，所以总共有 4*60=240 种，选 B例 9：某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都排前 4 名，已知有一名同学两次排名一样，则这四个人期末排名有几种可能？ 【吉
7、林政法 2014】A.4 B.6 C.8 D.10楚香凝解析：相当于 4 个人中，其中一个位置不变、另外三个人错位重排，先选出位置不变的一个人有 C（4 1）=4 种、剩下三个人错位重排有 2 种情况，共 4*2=8 种，选 C例 10：大学生剧团从 8 名学生中选出 4 人分别担任甲、乙、丙、丁四个不同的表演角色，若其中有两名学生不能担任甲角色，则不同的挑选方案共有（ ） 。 【江苏 2010】A.1200 种 B.1240 种 C.1260 种 D.2100 种楚香凝解析：两名同学不能担任甲角色，所以甲角色有 6 种选择，剩下的三个角色可以任意安排 A（7 3） ，总共情况数=6*A（7
8、3）=1260 人，选 C例 11：从 6 名运动员中选 4 人参加 4100 米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案有多少种？A.120 B.240 C.180 D.60楚香凝解析：解法一：甲不能跑第一棒或第四棒的对立面是甲跑第一棒或者第四棒，总情况数=A（6 4）=360，其中“甲跑第一棒或者第四棒”的情况数有 C（2 1）*A（5 3）=120，所以满足题意的情况数有 360-120=240 种，选 B解法二：因为甲不能跑第一棒和第四棒，所以第一棒有 5 种选择、第四棒有 4 种选择、第二棒有 4 种选择（包括甲） 、第三棒有 3 种选择，所以共有 5*4*4*3=240 种，选 B例
9、12：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位、丁不站在第四位，有多少种情况？A.42 B.44 C.53 D.60楚香凝解析：对戊进行分类讨论；当戊站在第五位时，相当于四个人错位重排，有 9 种；当戊不站在第五位时，相当于五个人错位重排，有 44 种；共 9+44=53 种，选 C例 13：甲乙丙丁戊五个人站队，要求甲不站在第一位、乙不站在第二位、丙不站在第三位，有多少种情况？A.44 B.53 C.60 D.64楚香凝解析：解法一：分类讨论丁在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙三个人错位重排、有 2 种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙戊四个人错位重排、有 9
10、种；丁不在第四位，若戊在第五位，相当于甲乙丙丁四个人错位重排、有 9 种；若戊不在第五位，相当于甲乙丙丁戊五个人错位重排、有 44 种；共有 2+9+9+44=64 种，选 D解法二：容斥原理（甲排 1）或（乙排 2）或（丙排 3）的情况数=甲 1+乙 2+丙 3-（甲 1 乙 2）-（甲 1 丙 3）-（乙 2 丙 3）+（甲 1 乙 2 丙 3）=24+24+24-6-6-6+2=56 种；甲不排 1 且乙不排 2 且丙不排 3=A（5 5）-56=64 种，选 D例 14：某单位有老陶和小刘等 5 名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有
11、其他的事不能排在星期五，则不同的排法共有（ ）种。 【上海 B2012】A.36 B.48 C.78 D.96楚香凝解析：解法一：老陶在周一有 A（4 4）=24 种，小刘在周五有 A（4 4）=24 种，老陶在周一且小刘在周五有 A（3 3）=6 种，老陶不在周一且小刘不在周五=总情况数-（老陶在周一）-（小刘在周五）+（老陶在周一且小刘在周五）=120-24-24+6=78 种，选 C解法二：分类老陶在周五，剩下四人随便排，有 A（4 4）=24 种；老陶不在周五，老陶有 3 种选择，小刘有 3 种选择，剩下三人随便排，共 3*3*A（3 3）=54 种；共 24+54=78 种，选 C例
12、 15：从 6 名运动员中选出 4 个参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？A.204 B.228 C.252 D.312楚香凝解析：正面入手，分两类（1）跑第四棒的是甲，剩下三个位置随便排 A（5 3）=60 种；（2）跑第四棒的不是甲，从除去甲乙剩下的四个人里选一个跑第四棒有 4 种，然后再从剩下四个人（除去甲）选一个跑第一棒，剩下两个位置随便排 A（4 2）=12 种，4*4*12=192种；共 60+192=252 种，选 C例 16：把“keeper”进行错位重排，使得每种字母所在位置跟原来都不同，有多少种方法？A.3 B.6 C.12
13、D.36楚香凝解析：字母 keeper 分别对应一二三四五六号位置；三个 e 只能排在 146 号位置、只有一种选择，kpe 排在 235 号位置、有 A（3 3）=6 种选择，选 B例 17：把三个 a、三个 b、三个 c 共九个字母排成三行三列，要求每行每列字母互不相同，不同排法有多少种？A.6 B.12 C.18 D.24楚香凝解析：第一行 abc 排列有 A（3 3）=6 种，第二行相当于三个元素错位重排、有 2种，第二行排好之后第三行随之固定，共 6*2=12 种，选 A例 18：把“hello”进行错位重排，使得每种字母所在位置跟原来都不同，有多少种方法？A.3 B.6 C.12
14、D.24楚香凝解析：解法一：第一个 l 记为 l1，第二个 l 记为 l2；44-（只 l1 在四号位）-（只 l2 在三号位）-（l 1 在四号位且 l2 在三号位）=24，两个 l 可以互换位置，24/2=12 种，选 C解法二：先排两个 l，有 C（3 2）=3 种；对于剩下三个元素“h、e、o”和三个位置，其中一个字母不能在原来的位置上，有 A（3 3）-A（2 2）=4 种；共 3*4=12 种，选 C例 19：五对夫妇共 10 个人围坐一个圆桌，男女相隔而坐且每对夫妇不相对而坐的情况数有多少种？A.264 B.528 C.1056 D.5280楚香凝解析：先排五个男的，圆周排列，有 A（4 4）=24 种；顺时针分别给五人编号为1、3、5、7、9，则 1 号的妻子不坐 6 号位、3 号的妻子不坐 8 号位、5 号的妻子不坐 10 号位、7 号的妻子不坐 2 号位、9 号的妻子不坐 4 号位，有 44 种；共 24*44=1056 种，选 C
