1、一、连续函数的概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 第三节 函数的连续性 连续变化的曲线对应的函数为连续函数 如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映 0 x y 1. 函数的增量 一、连续函数的概念 设函数 在点 附近有定义 ,把 附近的点 记为 ,则称 为自变量由 变到 的增量 . )( xfy 0x 0x xxxx 0 0xxx 0x x)()( 00 xfxxfy 为函数在点 的增量 . 0xxy0 0x xx 0)( xfy yx2函数连续性的定义 ,0 0xxx 就是
2、).()(0 0xfxfy 就是定义 1-9 设函数 在点 及其附近有定义 ,如果 时 ,也有 ,即 0x0x0)()(l i ml i m 00000 xfxxfy xx,0 xxx 设 )()( 0xfxfy 注意 故定义中 1-9的极限式等价于 )()(l i m 00xfxfxx 0x 0x则称函数 在点 处连续 ,称 为 的连续点 . )( xfy 0y)( xfy )(xf因此，函数在一点连续的充分必要条件是 ;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(0存在xfxx ).()(lim)3( 00xfxfxx 例 1-29 讨论函数 在 的连续性 0,00,1si
3、n)(xxxxxf 0x解 0)0()1( f 01s inlim)2(0 xx x)0()(lim)3( 0 fxf x 所以 在 连续 0x)(xf单侧连续 .)(),()(l i m)(;)(),()(l i m)(00000000处右连续在点则称在且处的右极限存在若函数处左连续在点则称处的左极限存在且在若函数xxfxfxfxxfxxfxfxfxxf xxxx显然 .)()( 00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数 xxfxxf 即： )(l i m)()(l i m000 xfxfxf xxxx 解 abaxxf xx )(l i m)(l i m 00又afxfxf xx )0(
4、)(l i m)(l i m 00ba 例 1-30 设 在点 处连续 , 00xxbxxbxaxf ,s i n,)( 0x问 、 应满足什么关系 ? a bbbx bxbx bxxx s i nl i ms i nl i m00af )0(连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数 ,叫做在该区间上的 连续函数 ,或者说函数在该区间上连续 . .,)(,),(上连续在闭区间则称函数处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 . ;)()( 没有定义在点 01 xxf;)(l i m)( 不存在xfxx02 ).
5、()(l i m,)(l i m)( 0003 xfxfxf xxxx 但存在3函数的间断点 函数的不连续点称为函数的 间断点 ,即满足下列三个条件之一的点 为函数 的间断点 . 0x )(xf跳跃间断点 .)(),(l i m)(l i m,)( 0000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果xfxxfxfxxfxxxx)(lim)(lim 00 xfxf xx .0 为函数的跳跃间断点 x o xy.0,0,1 ,0,)( 处的连续性在讨论函数 xxxxxxf例 1-32 解 1)(l i m,0)(l i m 00 xfxf xx可去间断点 .)(,)(),()(l i m,
6、)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxxo xy112xy 1xy 2,1,11,10,1,2)(xxxxxxf讨论函数例 1-33在 的连续性 1x解 11 )(f2)(lim 1 xfx )1(f.0 为函数的可去间断点所以 x注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 , 则可使其变为连续点 . 22 11 )(l i m,)(l i m xfxf xx又如例 1-33中 , ,2)1( f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf跳跃间断点 与 可去间断点 统称为 第一类间断点 . 特点 .0 处的左、右
7、极限都存在函数在点 xo xy112第二类间断点 .)(,)(00的第二类间断点为函数则称点在右极限至少有一个不存处的左、在点如果xfxxxf例 1-34 .0,0,0,1)( 处的连续性在讨论函数 xxxxxxfo xy.0 为函数的第二类间断点 x解 )(l i m,0)(l i m 00 xfxf xx这种情况称为 无穷间断点 解 ,0 处没有定义在 x.1si nlim0不存在且 xx .0 为第二类间断点 xxy1sin1 -1 -0.5 0.5 y x .01si n)( 处的连续性在讨论函数 xxxf例 1-35 这种情况称为 振荡间断点 第一类间断点 :可去型 ,跳跃型 .左右
8、极限都存在 第二类间断点 :无穷型 ,振荡型 .左右极限至少有 一个不存在 间断点 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x 0xo y x 0xo y x 0x二、初等函数的连续性 (1) 一切基本初等函数在其有定义的点都是连续的 . (2) 若函数 与 在点 连续 ,则函数 )(xf )(xg0xx )()( )(),()(),()( 00 xgxg xfxgxfxgxf在 连续 . 0xx (3) 若函数 在点 处连续 ,设 ,而函数 在点 处连续 ,则复合函数 在点 处连续 . )( xu 0xx )( 00 xu )( ufy 0uu )(
9、xfy 0xx 由以上可知 :初等函数在其定义域内都是连续的 . 故对初等函数 ,求极限就是求这一点的函数值 例 1-36 21 5 xxx a r ct a nl i m求由于函数在其连续点 满足 0x)()l i m()(l i m 000xfxfxf xxxx 81512 a r ct a n解 21 5 xxx a r ct a nlim.1 )1(liml n 10xx x elnxx x10 )1l n (lim 原式解 .)1l n (lim0 xxx求例 1-38 例 1-37 xxxesinlim0求解 10 xxxs i nl i m ,而函数 在点 连续 ,所以 uey
10、1ueeee xxxxxx 100sinl i msinl i m三、闭区间上连续函数性质 )()(, 11 xffba )()(, 22 xffba a b 12定理 1-3（最值定理） 若函数 闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有最大值和最小值 )( xfy )( xfy , ba, ba推论 （有界性定理） 若函数 闭区间 上连续，则 在闭区间 上必有界 )( xfy )( xfy , ba, bacy a b f(a) f(b) cf )(定理 1-4（介值定理） 若函数 闭区间 上连续，则对介于 和 之间的任何数 ，至少存在一个 ，使得 )( xfy , ba)(af )(bf c其
11、几何意义为 连续曲线弧 与水平直线 至少相交于一点 cy )( xfy ),( ba0)( f推论 （根的存在定理）若函数 闭区间 上连续，且 与 异号（即 ) ，则至少存在一个 ，使得 )( xfy , ba)(af )(bf 0)()( bfaf即 为方程 的根 0)( xf注： 根不一定唯一 b a )(xf),( ba例 1-39 证明 0123 xx 在 0， 1内至少有一个根 . 证明 123 xxxf )( 在 0 1上连续 0)(f0)1()0(,1)1(,1)0( ffff而 由根的存在定理知，存在 (0 1),使得 0123 xx 在 0， 1内至少有一个根 . 即 1函数连续的定义 2间断点 类型 ： 第一类 第二类 可去型 跳跃型 无穷 振荡 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 主要内容 介值定理最值定理
