1、二次函数压轴题解题思路一、基本知识1 会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。二、典型例题：（一） 、求解析式1.（2014莱芜）过 A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y=4x 于 C、 D 两点抛物线y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点 （1）求抛物线的表达式；2.（2012莱芜）顶点坐标为（2， 1）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于A、B 两点 （1
2、）求抛物线的表达式；练习：（2014 兰州）把抛物线 y=2x 2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A.y=2 （x+1） 2+2 B.y= 2（x+1 ） 22 C.y=2（x1） 2+2 D.y=2（x1） 22（二） 、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题. （2012 莱芜）如图，顶点坐标为（2， 1）的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于 A、B 两点（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x2） 21=x24x+3 ）（2）设抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 D，连接 AC
3、、AD ，求ACD 的面积；2. （2014莱芜）如图，过 A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线y=4x 于 C、D 两点抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C 、D 三点（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y= x2+ x ）（3）若AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合） ，在平移的过程中AOC 与OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值3.（2014兰州）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0） ，C（0 ，2）
4、（1）求抛物线的表达式；（3 ）点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标第二类：.构造问题（1）构造线段（2013莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；（2）构造相似三角形（2013莱芜）
5、如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为 y= ） （3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）构造平行四边形（2014莱芜）如图，过 A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线y=4x 于 C、D 两点抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C 、D 三点 （1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x
6、轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M，使得以 A、C 、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（4）构造等腰三角形（2013泰安）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，-4） ，与 x 轴交于1点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE面积的最大值 （3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标练习：（2014 遵义）如图，二次
7、函数 的图象与交于 （ 3,0） 、cbxy234A(-1,0),与 轴交于点 .若点 ， 同时从 点出发，都以每秒 1 个单位长ByCPQA度的速度分别沿 ， 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运AB动. （1）求该二次函数的解析式及点 的坐标.（2）当点 运动到 点时，点 停止运动，这时，在 轴上是否存 在 点 ， 使 得PxE以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出 点 的坐标， 若不存在，EQ请说明理由. （3）当 ， 运动到 秒时， 沿 翻折，点 恰好落在抛物线上 点处，tAPAD请 判 定 此 时 四 边 形 的形状,并求出 点坐标.D（5）构造直角三角形2
8、2.（2014四川内江） 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3.0） 、C（0，4） ，点 B在抛物线上，CBx 轴，且 AB 平分CAO （1）求抛物线的解析式；（2）线段 AB 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，说明理由（6）构造角相等（2014娄底）如图，抛物线 y=x2+mx+（m1）与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，x 1x 2，与 y 轴交于点 C（0，c） ，且满足 x1
9、2+x22+x1x2=7 （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点 P，使POC=PCO？若能，请求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由（7）构造梯形（2011 莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，4)，OB2，抛物线 yax 2bxc 经过点A、O、B 三点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AMOM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由练习：（2010 临沂）如图：二次函数 y=x 2 + ax + b 的图象与 x 轴交
10、于 A（- ，0） ，B（2，0）两点，1且与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式，并判断ABC 的形状；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一点 D，且 A、C 、 D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点 P，使得以 A、C 、 B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由（8）构造菱形（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下
11、方的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的表达式（2）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POPC，那么是否存在点P，使四边形 POPC 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积ACB（9）构造对称点（2011 莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，4)，OB2，抛物线 yax 2bxc 经过点A、O、B 三点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求 AMOM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否
12、存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由（10）构造平行线（2013威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+ 与直线 y=x 交于点 A，点 B 在直线 y= x+ 12312上，BOA=90抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，顶点为点 E （1）求点 A，B 的坐标；32（2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标；（3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E 作 FEx 轴，交直线 AB 于点 F，连接 OD，CF，CF 交 x 轴于点 M试判断 OD 与 C
13、F 是否平行，并说明理由练习：（2014山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB=90，OA= ，抛物线 y=ax2axa 经过点 B（2， ） ，与 y 轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由（11）构造垂直（2014 宜宾市）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 的顶点坐标为 M(0，1) ，与 x 轴交于 A、B 两点. (1)求抛物线的解析式； (2)判断MAB 的形状，并说明理由； (3)过原
14、点的任意直线( 不与 y 轴重合)交抛物线于 C、D 两点，连结 MC、MD，试判断 MC、MD 是否垂直，并说明理由（12）构造圆(2014 年淄博) 如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0） ， （ 5，0） ，点 P 是该直角坐 标系内的一个动点 （1）使APB=30 的点 P 有 无数 个；（2）若点 P 在 y 轴上，且 APB=30，求满足条件的点 P 的坐标；（3）当点 P 在 y 轴上移动时， APB 是否有最大值？若有，求点 P 的坐标，并说明此时APB 最大的理由；若没有，也请说明理由（13）轴对称（2012 浙江丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 yx 2 在第
15、二象限上的点，连接 OA，过点 O 作OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC(1)如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形；yxOMDCBA第 24题图(2)如图 2，当点 A 的横坐标为 12时，求点 B 的坐标；将抛物线 yx 2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 yx 2，试判断抛物线 yx 2 经过平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由（14）规律（2014 江西抚州，第 23 题，10 分） 如图，抛物线 ( )位于 轴上方的图象记为 1 ，yax20xF它与 轴交于 1 、 两点，
16、图象 2 与 1 关于原点 对称， 2 与 轴的另一个交点为 2 ，将 1xPOFOFP与 2 同时沿 轴向右平移 1 2 的长度即可得 3 与 4 ；再将 3 与 4 同时沿 轴向右平移 1 2F的长度即可得 5 与 6 ； 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象 1 , 2 , ， n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. 当 时，a 求图象 1 的顶点坐标； 点 (2014 , 3) 不在 (填“在”或“不H在”)该“波浪抛物线”上；若图象 n 的顶点 nFT的横坐标为 201，则图象 n 对应的解析式为，其自变量 的取值范围为 . 设图象 m、 m+1 的顶yx201xx202F点
17、分别为 m 、 m+1 (m 为正整数), 轴上一点 Q 的坐标为 (12 ,0).试探究：当 为何值时，以 、 m T aOT、 m+1、Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时 m 的值.解析：(1)当 时， ，F 1的顶点是（-1,1)；a1yxx221由知：“波浪抛物线”的 值的取值范围是-1 1， 点 H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；y由平移知：F 2： yx,21F3： ， F n的顶点横坐标是 201，F n的3解析式是： ，此时图象与 轴的两个交点yx201x坐标是（200,0)、(202,0), 200 202 .(2)如下图，取 OQ 的中点 O,连接 Tm
18、Tm+1 , 四边形OTmQTm+1是矩形，T m Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 经过 O, OT m+1=6,F 1： T m+1的yaxaxa221纵坐标为 ， ( )2+12 =62 , = ,已知 0 35， .当 时，以以 O、T m 、T m+1、Q 四点为顶点的四边形为矩形. 此时 m=4. a35a解：（1）抛物线 y= x2+mx+n 经过 A（1，0） ，C（0，2） 解得： ，抛物线的解析式为：y= x2+ x+2；（2）y= x2+ x+2，y= （x ） 2+ ，抛物线的对称轴是 x= OD= C（0，2） ，OC=2 在 RtOCD 中，由勾股定理，得
19、 CD= CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，CP 1=CP2=CP3=CD作 CHx 轴于 H，HP 1=HD=2，DP 1=4P 1（ ，4） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） ；（3）当y=0 时，0= x2+ x+2x 1=1，x 2=4，B （4，0） 设直线BC 的解析式为 y=kx+b，由图象，得 ，解得：，直线 BC 的解析式为：y= x+2如图 2，过点C 作 CMEF 于 M，设 E（a ， a+2） ，F（a， a2+ a+2） ，EF= a2+ a+2（ a+2）= a2+2a（0x4） S 四边形 CDBF=SBCD +S CEF+SBEF = BDOC+ E
20、FCM+ EFBN，= + a（ a2+2a）+ （4a） （ a2+2a） ，=a 2+4a+ （0x 4） =（a 2） 2+ a=2 时，S 四边形 CDBF 的面积最大 = ，E （2，1） （2014莱芜）解：（1）由题意，可得 C（1，3） ，D（3，1） 抛物线过原点， 设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx ，解得 ，抛物线的表达式为：y= x2+ x（2）存在设直线 OD 解析式为 y=kx，将 D（3，1）代入求得 k= ，直线 OD 解析式为 y= x设点 M 的横坐标为 x，则 M（x， x） ，N（x， x2+ x） ，MN=|y MyN|=| x（ x2+ x）|=
21、| x24x|由题意，可知MNAC，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有 MN=AC=3| x24x|=3若 x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x= 或 x= ；若 x24x=3，整理得：4x 212x+9=0，解得：x= 存在满足条件的点 M，点 M 的横坐标为： 或 或 （3）C（1，3） ，D（3，1）易得直线 OC 的解析式为 y=3x，直线 OD 的解析式为 y= x如解答图所示，设平移中的三角形为AO C，点 C在线段 CD 上设 OC与 x 轴交于点 E，与直线 OD 交于点 P；设 AC与 x 轴交于点 F，与直线 OD 交于点 Q设水平方向的
22、平移距离为 t（0t 2） ，则图中 AF=t，F（1+t） ，Q（1+t， + t） ，C （1+t，3t） 设直线 OC的解析式为 y=3x+b，将 C（1+t，3 t）代入得：b= 4t，直线 OC的解析式为y=3x4tE（ t，0） 联立 y=3x4t 与 y= x，解得 x= t，P（ t， t） 过点 P 作 PGx 轴于点 G，则 PG= tS=S OFQSOEP= OFFQ OEPG= （1+t ） （ + t） t t= （t1） 2+ 当 t=1 时， S 有最大值为 S 的最大值为 （2013莱芜）解：由题意可知 解得 抛物线的表达式为 y= （2）将 x=0 代入抛物线
23、表达式，得 y=1点 M 的坐标为（0，1） 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 解得 直线 MA 的表达式为 y= x+1设点 D 的坐标为（ ） ，则点 F 的坐标为（） DF= = 当 时，DF 的最大值为 此时 ，即点 D 的坐标为（ ） （3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似设 P（m， ） 在 RtMAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM， ，即 m2+11m+24=0解得 m=3（舍去）或m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在
24、当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM， ，即m2+11m+24=0解得 m=3 或 m=8此时点 P 的坐标为（8，15） 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则3 ，即 m2+m6=0解得 m=3（舍去）或m=2当 m=2 时， 此时点 P 的坐标为（2， ） 若 PN=3NA，则 ，即 m27m30=0解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，39） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（8，15） 、 （2， ） 、（10，39） （2012莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x2） 21，代入 C（O，
25、3）后，得：a （0 2） 21=3，a=1抛物线的解析式：y=（x2） 21=x24x+3（2）由（1）知，A（1，0） 、B（ 3，0） ；设直线 BC 的解析式为：y=kx+3，代入点 B 的坐标后，得：3k+3=0，k=1直线 BC：y=x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1） ；AD 2=2，AC 2=10，CD 2=8即：AC 2=AD2+CD2，ACD 是直角三角形，且 ADCD；S ACD= ADCD= 2 =2（3）由题意知：EFy 轴，则 FED=OCB，若OCB 与FED 相似，则有：DFE=90，即 DFx 轴；将点 D 纵坐标代入抛物线的解析式中，
26、得：x 24x+3=1，解得 x=2 ；当 x=2+ 时，y= x+3=1 ；当 x=2 时，y=x+3=1+ ；E 1（2+ ，1 ） 、E 2（2 ，1+ ） EDF=90；易知，直线 AD：y=x1，联立抛物线的解析式有：x 24x+3=x1，解得 x1=1、x 2=4；当 x=1 时，y= x+3=2；当 x=4 时，y=x+3=1；E 3（1，2） 、E 4（4，1） ；综上，存在符合条件的点 E，且坐标为：（2+ ，1 ） 、 （2 ，1+ ） 、 （1，2）或（4，1） （2011 莱芜）解得： 抛物线的函数表达式为 。02abc， ， yx（2）由 ，可得，抛物线的对称轴为直线
27、 ，且对称轴 是线段 OB 的垂直21()yxx 1平分线，连结 AB 交直线 于点 M，即为所求。MO=MB，则 MO+MA=MA+MB=AB 作 ACx 轴，垂足为 C，则AC=4，BC=4，AB= MO+MA 的最小值为 。 （3）若 OBAP，此时点 A 与点 P 关于直 线 对称，44来源:学由 A(2 ，4),得 P(4,4),则得梯形 OAPB。若 OABP，设直线 OA 的表达式为 ，由 A(2，4)得，yk。yx设直线 BP 的表 达式 为 ，由 B(2,0)得， ，即 ，直线 BP 的表达式为 由yxm04m4yx，解得 ， （不合题意，舍去）当 时， ，点 P( )，则得
28、梯241yx142 x12y412，形 OAPB。若 ABOP，设直线 AB 的表达式为 ，则 ，解得 ，AB 的表达式ykxm420k12km为 。直线 OP 的表达式为 。由 ，得 ，解得 ， （不合题意，舍去） ，2yx21yx2x0x此时点 P 不存在。综上所述，存在两点 P(4,4)或 P( )使得以点 P 与点 O、A 、B 为顶点的四边形是梯形。，（2014山东 临沂）解：（ 1）直线 y=2x1，当 x=0 时，y= 1，则点 C 坐标为（0，1） 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，点 A（1 ，0） 、B（1，0） 、C（0，1）在抛物线上， ，解得 ，抛物线的解析式为
29、：y=x 21（2）如答图 2 所示，直线 y=2x1，当 y=0 时，x=；设直线 CD 交 x 轴于点 E，则 E（，0） 在RtOCE 中，OC=1 ，OE=，由勾股定理得： CE= ，设 OEC=，则sin= ，cos= 过点 A 作 AFCD 于点 F，则 AF=AEsin=（OA+OE） sin=（1+） = ，点 A 到直线 CD 的距离为 （3） 平移后抛物线的顶点 P 在直线 y=2x1 上，设 P（t，2t1） ，则平移后抛物线的解析式为y=（xt） 2+2t1联立 ，化简得：x 2（ 2t+2）x+t2+2t=0，解得：x 1=t，x 2=t+2，即点 P、点 Q的横坐标
30、相差 2，PQ= = = GPQ 为等腰直角三角形，可能有以下情形：i）若点 P 为直角顶点，如答图 3所示，则 PG=PQ= CG= = = =10，OG=CGOC=101=9，G（0，9） ；ii）若点 Q 为直角顶点，如答图 3所示，则 QG=PQ= 同理可得：Q（0，9） ；iii）若点 G 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PQ= ，则 GP=GQ= 分别过点 P、Q 作 y 轴的垂线，垂足分别为点 M、N易证 RtPMGRtGNQ，GN=PM ，GM=QN 在 RtQNG 中，由勾股定理得：GN 2+QN2=GQ2，即 PM2+QN2=10 点 P、Q 横坐标相差 2，NQ=PM+
31、2，代入式得：PM 2+（PM+2） 2=10，解得 PM=1，NQ=3直线 y=2x1，当 x=1 时，y=1，P（1，1） ，即OM=1OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，G（0，4） 综上所述，符合条件的点 G 有两个，其坐标为（0，4）或（0，9） （2010 临沂） （1）根据题意，将 ，B（2，0）代入 中， 得 解这1,A2yxab0,42.ab个方程，得 该抛物线的解析式为 当 时， .点 的坐标为 . 在3,21.ab231.yx0x1yC(0,1)中， .在 中，AOC2215AOCBOC. . ，225B12BA2 254ABAB 是直角三角形.（2）点 的坐标为D
32、3,2（3）存在.由（1）知， . 若以 BC 为底边，则 BCAP ，如图 5 所示. 可求得直AC线 BC 的解析式为 .直线 AP 可以看作是由直线 BC 平移得到的，12yx所以设直线 AP 的解析式为 .把点 代入直线 的解析式，求得b1,02AAP，直线 AP 的解析式为 .点 既在抛物线上，又在直线 上, 点 的纵坐标相等，14b4yx P即 解得 (不合题意，舍去). 当 时， .点 的坐标为231.24xx125,52x3y.若以 为底边，则 BPAC，如图 6 所示. 可求得直线 的解析式5,ACAC为 .直线 可以看作是由直线 平移得到的， 所以直线 的解析21yxBPA
33、CBP式为 . 把点 代入直线 的解析式，求得 直线b(2,0)BP4.b的解析式为 .点 既在抛物线上，又在直线 上. 点 的纵BP4yx坐标相等, 即 .解得 (不合题意，舍去). 231125,x当 时， .点 的坐标为 .综上所述，满足题目条件的点 为 或 .52x9yP5,92P53,2,9（2014 遵义） 438)(134xx),0(C（2）存在分三种情况讨论如下：以 为圆心， 为半径画弧，交 轴于点 , . =4， =3， =1， =3+4=7. ,AQ1E2AQO1E2A)01(E)0,7(E以 为圆心， 为半径画弧，交 轴于 , (与 点重合，不合题意)过 作 轴于点 ,则
34、x34 QNx 轴， 即 ， ,NyACO5N, , , .531212E59123E)0(3，E作 的中垂线交 轴于点 ,垂足为 , = , = = . AQx5GA5COGAo9GE5 即 ， , CG530),1(5综上，这样的点有四个， , ， ， .)1(E)7(2)59(3，E0,3（3） （6 分）四边形 是菱形.APD解法一：过 作 轴于点 ,设运动的时间为 秒，则Hxt= = .t , = , = = .COCHPAo90 , , ,即5432C， ， , ， 354PtDtD54t3tO 点 在抛物线上，8)(ttOH),8(D 解得 （舍去） ，)3(101t64152t
35、， 856435t 6945t ),8(（2014 娄底）解（1）依题意：x 1+x2=m，x 1x2=m1，x 1+x2+x1x2=7，（x 1+x2）2x 1x2=7，（ m） 2（m1 ）=7 ，即 m2m6=0，解得m1=2，m 2=3，c=m10， m=3 不合题意m=2 抛物线的解析式是 y=x22x3；（2）能如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO，PC，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D若POC=PCO 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线C 的坐标为（0，3）D 的坐标为（0， ）P 的纵坐标应是令 x2 2x3= ，解得，x 1= ，x 2= 因此所求点 P 的坐
36、标是（ ， ） ， （ ， ）(2014 年淄博) （1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形 ABC，以点 C 为圆心，AC 为半径作C，交 y 轴于点P1、 P2在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1，则 APB= ACB= 60=30使APB=30的点 P 有无数个故答案为：无数（2）当点 P 在 y 轴的正半轴上时，过点 C 作 CGAB，垂足为 G，如图 1点 A（1，0） ，点 B（5，0） ，OA=1，OB=5 AB=4点 C 为圆心，CGAB，AG=BG= AB=2OG=OA+AG=3ABC 是等边三角形，AC=BC=AB=4CG= = =2 点 C 的坐标为（3，2
37、） 过点C 作 CDy 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1，点 C 的坐标为（3，2 ） ，CD=3，OD=2 P1、P 2 是C 与 y 轴的交点，AP 1B=AP2B=30CP 2=CA=4，CD=3，DP 2= = 点 C 为圆心，CDP1P2，P 1D=P2D= P 2（ 0，2 ） P 1（0，2 + ） 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可得： P3（0，2 ） P4（0 ，2 + ） 综上所述：满足条件的点 P 的坐标有：（0，2 ） 、 （0，2 + ） 、 （0，2 ） 、 （0，2 + ） （3）当过点 A、B 的E 与 y 轴相切于点 P 时，APB 最大当点 P
38、 在 y 轴的正半轴上时，连接 EA，作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2E 与 y 轴相切于点 P，PEOPEHAB，OPOH， EPO=POH=EHO=90四边形 OPEH 是矩形OP=EH，PE=OH=3 EA=3EHA=90 ，AH=2，EA=3 ，EH= = OP= P（0， ） 当点 P 在 y 轴的负半轴上 时，同理可得：P（0， ） 理由：若点 P在 y 轴的正半轴上，在 y 轴的正半轴上任取一点 M（不与点 P 重合） ，连接 MA，MB，交 E 于点 N，连接 NA，如图 2 所示ANB 是AMN 的外角，ANBAMBAPB= ANB，APB AMB 若点 P 在 y 轴的
39、负半轴上，同理可证得：APBAMB综上所述：当点 P 在 y 轴上移动时，APB 有最大值，此时点 P 的坐标为（ 0， ）和（0， ） 2014 泰安解：（1）由题设可知 A（0，1） ，B（ 3， ） ，根据题意得： ，解得： ，则二次函数的解析式是：y= x+1；（2）设 N（x， x2 x+1） ，则 M、P 点的坐标分别是（x， x+1） ， （x，0） MN=PNPM= x2 x+1（ x+1）= x2 x= （x+ ） 2+ ，则当 x= 时，MN 的最大值为 ；（3）连接 MN、BN、BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，由于BCMN，即 MN=BC，且 B
40、C=MC，即 x2 x= ，且（ x+1） 2+（x+3）2= ，解得：x=1，故当 N（1， 4）时，MN 和 NC 互相垂直平分（2014四川内江，第 28 题，12 分）解：（1）如图 1，A（3，0） ，C（0，4） ，OA=3，OC=4AOC=90，AC=5 BCAO，AB 平分CAO，CBA=BAO=CABBC=ACBC=5BCAO，BC=5，OC=4，点 B 的坐标为（5，4） A（3.0） 、C（0，4） 、B （5，4）在抛物线y=ax2+bx+c 上， 解得： 抛物线的解析式为 y=x 2+x+4（2）如图 2，设直线 AB 的解析式为 y=mx+n，A（3.0） 、B （
41、 5，4）在直线 AB 上，解得： 直线 AB 的解析式为 y=x+设点 P 的横坐标为 t（ 3t5） ，则点 Q 的横坐标也为 ty P=t+，y Q=t 2+t+4PQ=y Q yP=t 2+t+4（t+ ）=t 2+t+4t=t 2+=（t 22t15）= （t1） 216=（t1） 2+0，315，当 t=1 时，PQ 取到最大值，最大值为 线段 PQ 的最大值为（3）当BAM=90 时，如图 3 所示抛物线的对称轴为 x= = =x H=xG=xM=y G=+= GH= GHA= GAM=90 ，MAH=90GAH= AGM AHG=MHA=90 ，MAH=AGM，AHGMHA =
42、 解：MH=11点 M 的坐标为（，11） 当ABM=90时，如图 4 所示BDG=90，BD=5= ，DG=4 =，BG= = 同理： AG= AGH=MGB，AHG=MBG=90 ，AGHMGB = = 解得：MG= MH=MG+GH= + =9点 M 的坐标为（，9） 综上所述：符合要求的点 M 的坐标为（，9）和（，11） （2014 宜宾市）解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的顶点坐标为 M（0，1） ，b=0 ，c= 1，抛物线的解析式为：y=x 21（2）MAB 是等腰直角三角形，由抛物线的解析式为：y=x 21 可知 A（1，0） ，B（1，0） ，OA=OB=OC=1，A
43、MO= MAO=BMO=BOM=45，AMB=AMO+BMO=90y 轴是对称轴，A、B 为对称点，AM=BM ，MAB 是等腰直角三角形（3）MCMF；分别过 C 点，D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、F，过 M 点作x 轴的平行线交 EC 于 G，交 DF 于 H，设 D（m，m 21） ，C （n，n 21） ，OE=n，CE=1 n2，OF=m ，DF=m 21，OM=1，CG=n 2，DH=m 2， FGDH， = ，即 = 解得 m= ， = =n， = = ，= ，CGM=MHD=90，CGMMHD，CMG= MDH，MDH+DMH=90 CMG+DMH=90，CMD=
44、90，即 MCMF（2013泰安）解：（1）把点 C（0，-4） ，B（2，0）分别代入 y= x2+bx+c 中，得 ，解得12-410cbc。该抛物线的解析式为 y= x2+x-4 （2）令 y=0，即 x2+x-4=0，解得 x1=-4，x 2=2，A（-4，0） ，S -4bc1ABC= ABOC=12设 P 点坐标为（x，0） ，则 PB=2-xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，12，即 ，化简得：S PBE = （2-x） 2S PCE =SPCB -SPBE = PBOC-SPBE = （2-2PBEACS()V 2BES()16xV1312x）4- （2-
45、x） 2=- x2- x+ =- （x+1） 2+3当 x=-1 时，S PCE 的最大值为 31338（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M 点的坐标为（-2，-2） ；（II）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（-1，-3） ；（III）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4=2 ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2 22，OD=OM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（-2，-2）或（-1，-3） （2013威海）解：（1）由直线 y= x+ 与直线 y=x 交123于点 A，得 ，解得， ，点 A 的32yx
