1、阅读理解看得懂的问题，请仔细看；看不懂的问题，请硬着头皮看。阅读：要理解新定义，不允许一知半解就解题 转化：把它转化为熟悉的相关数学知识解决1. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可） ；（2）如图 1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0） ， A（3，0） ，B （0，4） ，请你画出以格点为顶点，OA，OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形 OAMB；（3）如图 2，将ABC 绕顶点 B
2、按顺时针方向旋转 60，得到DBE，连接 AD，DC ，DCB=30度求证：DC 2+BC2=AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形 2阅读下面的情景对话，然后解答问题老师：我们新定义一种多边形：把一个 n（n 为大于等于 3 的整数）边形的内角及外角从小到大分别排序后，若按这个顺序得到的 n 个内角的比与 n 个外角的比相等，则这个多边形叫做内外等比多边形（说明：每个顶点处只取一个外角）小华：平行四边形一定是内外等比四边形 小明：三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？（1 ）根据“内外等比多边形的定义 ”，请你判断小华的命题的真假，并说明理由（2 ）已知内外等比四边形 ABCD 的四个
3、内角分别是1 、2、3、4，1 ： 2 ：3：4= ，请探索 、 、 、 之间的关系，并说明理由。dcbadc: abcd（3 ）请回答小明问题：“三角形有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？” ，并说明理由。3.通过学习勾股定理的逆定理，我们知道在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形。类似的，我们定义：对于任意三角形，设其三个内角的度数分别为 、 和 ，xyz若满足 ，则称这个三角形为勾股三角形22zyx（1 ）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断： “直角三角形是勾股三角形 ”是真命题还是假命题？（2 ）若某一勾股三角形的内角度数分别为 、 和 ，且
4、， 求 的值xyzzyx,2160xyx（3 ）已知ABC 中，AB= ，AC=1+ ，BC=2，求证： ABC 是勾股三角形634 （ 2010永州）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点 P 为ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离；如图（B），若四边形 ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有 ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点 P 为等边ABC 外接圆的 BC 弧上任意一点求证：PB+PC=PA ；根据（2）的
5、结论，我们有如下探寻ABC（其中A 、B、C 均小于 120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆；第二步：在 BC 弧上任取一点 P，连接 PA、PB、PC、PD易知 PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+ ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC 的费马点 P，并请指出线段 的长度即为ABC 的费马距离（3）知识应用：2010 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄 A、B、C 构成了如图（ E）所
6、示的ABC （其中A、B、C 均小于 120），现选取一点 P 打水井，使从水井 P 到三村庄 A、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值5.(2010 年宁波)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）四面体 4 4长方体 8 6 12正八面体 8 12正十二面体 20 12 30你发现顶点数（V） 、面数（F） 、棱数（E）之间存在的关系式是_。（2）一个多
7、面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是_。（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 24个顶点，每个顶点处都有 3 条棱，设该多面体外表三角形的个数为 个，八边形的个数为 个，求xy的值。yx6.（2011 宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两 边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形小华：等边三角形一定是奇异三角形！（1 ）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2 ）在 RtABC 中，ACB 90，AB=
8、 ，AC= ，BC= ，且 ，若 RtABC 是奇异三角形，求cbab； :abc（3 ）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点( 不与点 A、B 重合) ，D 是半圆 ADB 的中点， C、 D 在直径 AB 两侧，若在O 内存在点 E，使得 AE=AD，CB =CE 求证：ACE 是奇异三角形； 当ACE 是直角三角形时，求AOC 的度数A BCDEO四面体 长方体 正八面体 正十二面体7 （ 2012淮安）阅读理解如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B nAnC 的平分线
9、AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是 ABC 的好角小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿 BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合探究发现（1 ） ABC 中，B=2 C，经过两次折叠，BAC 是不是ABC 的好角？ （填“ 是”或“不是” ） （2 ）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究 B 与C（不妨
10、设B C）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠BAC 是 ABC 的好角，则 B 与C（不妨设 BC）之间的等量关系为 应用提升（3 ）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15、60、105，发现 60和 105的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角8.（2012宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第 n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n 阶准菱形如
11、图 1，ABCD 中，若 AB=1，BC=2，则ABCD 为 1 阶准菱形（1）判断与推理：邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 _ 阶准菱形；小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图 2，把ABCD 沿 BE 折叠（点 E 在 AD 上） ，使点 A落在 BC 边上的点 F，得到四边形 ABFE请证明四边形 ABFE 是菱形（2）操作、探究与计算：已知ABCD 的邻边长分别为 1，a （a1） ，且是 3 阶准菱形，请画出ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出 a 的值；已知ABCD 的邻边长分别为 a，b（ab） ，满足 a=6b+r，b=5r，请写出ABCD 是几阶准菱形9对
12、于二次函数 yx 2 3x2 和一 次函数 y2 x4，把 yt(x 23x2 )(1t)(2x4)称为这两个函数的“再生二次函数” ，其中 t 是不为零的实数，其图象记作抛物线 E现有点 A(2，0)和抛物线 E 上的点 B(1 ，n)，请完成下列任务：【尝试】(1)当 t2 时，抛物线 E 的顶点坐标是 ；(2)判断点 A 是否在抛物线 E 上；(3)求 n 的值【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于 t 取任何不为零的实数，抛物线 E 总过定点，这个定点的坐标是 【应用 1】二次函数 y3x 25x 2 是二次函数 yx 23 x2 和一次函数 y2 x4 的一个“再生二次函数”吗？
13、如果是，求出 t 的值；如果不是，说明理由【应用 2】以 AB 为一边作矩形 ABCD，使得其中一个顶点落在 y 轴上，若抛物线 E 经过点 A、B、C 、D 中的三点，求出所有符合条件的 t 的值10 （2011台州）已知抛物线 y=a（x-m） 2+n 与 y 轴交于点 A，它的顶点为点 B，点 A、B 关于原点 O的对称点分别为 C、D若 A、B 、C、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形 ABCD 为抛物线的伴随四边形，直线 AB 为抛物线的伴随直线（1）如图 1，求抛物线 y=（x-2） 2+1 的伴随直线的解析式（2）如图 2，若抛物线 y=a（x-m） 2+n（m 0）的伴随
14、直线是 y=x-3，伴随四边形的面积为 12，求此抛物线的解析式（3）如图 3，若抛物线 y=a（x-m） 2+n 的伴随直线是 y=-2x+b（b0 ） ，且伴随四边形 ABCD 是矩形用含 b 的代数式表示 m、n 的值；在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得PBD 是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标（用含 b 的代数式表示） ；若不存在，请说明理由11.阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图 8所示，矩形 ABEF 即为ABC的
15、“友好矩形”. 显然，当ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形” ；(2) 如图 8，若ABC 为直角三角形，且C=90，在图 8中画出ABC 的所有“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若ABC 是锐角三角形，且 BCACAB，在图 8中画出ABC 的所有“友好矩形” ，指出其中周长最小的矩形并加以证明.12.如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G ，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若1=2=3= 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABC
16、D 为矩形，且AB=4，BC=8 理解与作图：（1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH计算与猜想：（2）求图 2，图 3 中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想13.（2011陕西）如图 ，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使 B 落在边 AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边 BC 或者边 CD（含端点）交于 F，然
17、后展开铺平，则以 B、E、F 为顶点的三角形BEF 称为矩形 ABCD 的“ 折痕三角形”（1）由“折痕三角形 ”的定义可知，矩形 ABCD 的任意一个 “折痕BEF” 是一个 三角形（2）如图、在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点 E 位于 AD 的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点 F 的坐标；（3）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点 E 的坐标？若不存在，为什么？14 （ 2012十堰）阅读材料：例：说明代数式 的几何意义，并求它的最小值221(3)4x解： =
18、，2() 201(3)xx如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点，则 可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离，2(0)1x可以看成点 P 与点 B（3，2 ）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，3它的最小值就是 PA+PB 的最小值设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PA+PB 的最小值，只需求 PA+PB 的最小值，而点A、B 间的直线段距离最短，所以 PA+PB 的最小值为线段 AB 的长度为此，构造直角三角形 ACB，因为 AC=3，CB=3，所以 AB=3 ，即原式的最小值为 3 22根据以上阅读材料，解答下列问题：（1 ）代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点22(1)()9xxP（x，0）与点 A（1，1） 、点 B 的距离之和 （填写点 B 的坐标）（2 ）代数式 的最小值为 2249137xx
