1、1量子力学期末习题课高斯积分： 2xed一、一维无限深方势阱问题质量为 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：m0;,xaUx1）求解能量本征值 和归一化的本征函数 ；nE()n2）若已知 时，该粒子状态为： ，求 时刻0t12,0()2xxt该粒子的波函数；3）求 时刻测量到粒子的能量分别为 和 的几率是多少？t 1E24）求 时刻粒子的平均能量 和平均位置 。x解：1） 2sinnnaEm2） ,niEtnnxtxe时刻的波函数：t 1212,()()2iEtiEttxexe3） 时刻测量到粒子的能量为 的几率是：t 121 1,txt时刻测量到粒子的能量为 的几率是：t 2E22
2、,xtt4）平均能量： 215,4EExtxtxtixtma2平均位置： 12216,cos9Etaxtxt二、考虑两个电子组成的系统，它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全3部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。1）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为： 。求： 和 的本征值；12Ss2Sz2）假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， 和 的本征值；2Sz3）假设两电子系统哈密顿量为： ，分别针对（1） （2）两种情2 HJs形，求系统的能量。解：1）空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称，对应于自旋三重态： 12s对应总自旋平方 本征值为：2S对应总自旋第三分量 本征值分别为：z ,02）空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称，对应于自旋单态： 12A对应总自旋平方 本征值为：02S对应总自旋第三分量 本征值分别为：0z3）哈密顿： ，利用：12 HJs2211Sss针对自旋三重态： ，对应能量：21234s24TJE4针对自旋单态： ，对应能量：2212304s 234SJE
