1、2012 届湘潭市高三跟踪考试(A)数 学 试 题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数 （ 是虚数单位）的虚部是 （ ）i2A B C D332112若集合 |,0,|,0yxByx集 合 ，则 RACB等于（ ）A0，1 B ,1C (1,)D1 3.下列四个函数中，在区间 ， 上是减函数的是 ( )(0). . . .2logyx13yx1)2xy1yx4已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率2ab4等于 ，则该双曲线的方程为 （ ）5A B C D21
2、4yx2154xy2154yx2451yx5下表是某工厂 14 月份用电量（单位：万度）的一组数据：月份 x 1 2 3 4用电量 y 45 4 3 25由散点图可知，用电量 y 与月份 x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则 a= （ ）0.7aA10.5 B5.25 C5.2 D5.156已知直线 20xby与曲线 3yx在点 P（1，1）处的切线互相垂直，则 ab为（ ）A 13B C 2D 137右图是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分的 茎 叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）A3 与 3 B23 与 3C3 与 23 D23 与 238在 中， ，且 ，点
3、 满足 等于（ B90CAM2,BACMB则）A B C D23469已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） 。可得这个几何体的体积是（ ）A 31cmB 2C 34cD 8m10.等差数列 中，若 为方程 的两根，则 （ na120,a2106x2106201aa）A 15 B10 C20 D4011程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S的值是 （ ）A 2 B 13 C 3 D 120 8 91 1 2 3 4 6 7 8 92 0 1 1 3 3 3 5 7 8 83 0 1 2 2 3 4 8 94 0 112已知 0x，由不等式 32221442, ,xx可以
4、推出结论：*(),naxNa则= （ ）A2n B3n Cn 2 D n第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。请直接在答题卡上相应位置填写答案。13设函数 ，则 = 。3,0()logxf1()2f14已知 ，则 = 。cs,(,)52tanx15若不等式组 表示的平面区域 所表示的平面的区域为,40yx2,1MyN，现随机向区域 M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 N 内的概率为 。16有下列命题：若 0ab，则一定有 ab; 将函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像cos2yx3sin(2)6yx命题“若 ，则 或 ”得否命题是
5、“若 ，则 ”|2x| 方程 20xyDEF表示圆的充要条件是 240DEF 对于命题 ： ,使得 ，则 ： ，均有pR21xpxR21x其中假命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本题满分 12 分）已知函数 21()3sincos,fxxxR() 求函数 的最小值和最小正周期；（）已知 内角 的对边分别为 ，且 ，若向ABC、abc、3,()0fC量 与 共线，求 的值(1,sin)m(2,sin)、（18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 满足： ， ， 的前 n 项和为 na375726aanS（）求 及 ；
6、S（）令 bn= ( )，求数列 的前 n 项和 21a*NbT19.（本小题满分 12 分）如图，矩形 中， 平面 ， 为 上的点，且 平ABCDABE,BCFEBF面 .E（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .F20、 （本小题满分 12 分）为了了解 2011 年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2， （4.2，4.5 ， ， （5.1，5.4.经过数据处理，得到如下频率分布表：分组 频数 频率（3.9，4.2 3 0.06（4.2，4.5 6 0.12（4.5，4.8 25 x（4.8，5.1 y z（5.1，5.4 2 0
7、.04合计 n 1.00（I）求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值；（II）从样本中视力在（3.9，4.2 和（5.1，5.4的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率21.（本小题满分 12 分）已知函数 32()fxax()若 ,令函数 ,求函数 在 上的极大值、极小值；1a()()gf()gx1,2)()若函数 在 上恒为单调递增函数,求实数 的取值范围.()f3a22 （本题满分 14 分）已知椭圆 1C、抛物线 2的焦点均在 x轴上， 1C的中心和 2的顶点均为原点 ，从O每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： x3 24 2y0 4（）求 的标准
8、方程；12C、（）请问是否存在直线 l满足条件：过 2C的焦点 F；与 1C交不同两点,MN、且满足 ？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由ON数学试题答案：一：选择题：1-5： CBDAB 6-10： DDBCA :11-12： BD二、填空题：13. 14. 15. 16. 124736三、解答题：17 解：() 2131()sincossin2cosfxxx3 分sin216 的最小值为 ，最小正周期为 . 5 分()fx（） ， 即si()0Csin(2)16C ， ， ， 7 分01266 3 共线， mn、siniBA由正弦定理 ， 得 9 分iiab2,a ，由余弦定理
9、，得 ， 10 分3c9cos3b解方程组，得 12 分32ab18.（）设等差数列 的公差为 d，因为 ， ，所以有n37a5726，解得 ，12706ad13,2a所以 ； = = 。3)n+n（ nS(-1)2n+（）由（）知 ，所以21abn= = = ，21a2+)（ 4n(+)1(-)n所以 = = ，nT1(-431 (-)4+4(1)即数列 的前 n 项和 = 。bT4(+1)19. 解：（1）证明： 平面 ， ADBEADC平面 ，则 2 分BCE又 平面 ，则FF平面 5 分A（2）证明：依题意可知： 是 中点6 分GAC平面 ，则 ，BFCEBF而 是 中点9 分 在 中
10、， AGA又 12 分 EBFDE、 BFD、20.解：（I）由表可知，样本容量为 ，由 ，得n04.25n由 ；3 分5.02nx， 6 分1463y 28.501nyz（II）设样本视力在（3.9，4.2 的 3 人为 ，,abc样本视力在（5.1，5.4的 2 人为 .7 分de由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为：，.9 分(,),(),(),(,),(),adebcabcde ，且各个基本事件是等可能发生的 .10 分10n设事件表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5”，则事件 A 包含的基本事件有：，(,),(),abcde4m ， . . .11 分25PAn故抽取的
11、两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 . . .12 分2521. （本小题满分 12 分）解：() ，所以3232()()gxxx2()31gxx由 得 或 2 分01x1(,)31(,)31(,)()g 00xA5927A1A所以函数 在 处取得极小值 ；在 处取得极大值 6 分()g131x() 因为 的对称轴为2fxax3a（1）若 即 时，要使函数 在 上恒为单调递增函数，则有13a()fx1,)，解得： ，所以 ；8 分2403aa（2）若 即 时，要使函数 在 上恒为单调递增函数，则有1()fx,)3，解得： ，所以 ；10 分21()3()()03fa2a12a综上，实数
12、 的取值范围为 12 分22解：（）设抛物线 )0(2:2pxyC，则有 )0(2xpy，据此验证 个点4知（3， 2） 、 （4， 4）在抛物线上，易求 C4:2 2 分设 ： )0(:22bayx，把点（ 2，0） （ ， ）代入得：1 1242ba解得 142 方程为 4yx6 分1C（）法一：假设存在这样的直线 l过抛物线焦点 ，设直线 的方程为 ,1myx两交点坐(1,0)Fl标为 ),(),(21yxNM，由 42m消去 ，得 ,032)4(2my8 分 3,42121 yy 22 11()()xmy43422 m 11 分由 ，即 0ONM，得 (*)021yxO将代入（*）式，得 4322， 解得 13 分所以假设成立，即存在直线 l满足条件，且 l的方程为：或 2yxyx14 分法二：容易验证直线 的斜率不存在时，不满足题意；6 分l当直线 斜率存在时，假设存在直线 l过抛物线焦点 ，设其方程为l (1,0)F，与 的交点坐标为 ,(),(21yxNM(1)ykxC由 消掉 ，得 ， 10 分24()ykx2(4)84(1)0kk于是 ， 21821()4k22 12()()()ykxx即 12 分2124183)44kk由 ，即 0ONM，得 (*)021yxO
