1、 线性代数 第四章 向量组的线性相关性 4-1 向量组及其线性组合 一、向量及向量组 1. n维向量 定义 1 n个有次序的数 a1,a2, ,an 所组成的数组称为 n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，第 i个数 ai 称为第 i个分量。 仅讨论实向量。 n维向量写成一列 n维列向量，用 a， b， ， 表示。 或 n维向量写成一行 n维行向量，用 aT， bT， T， T表示。 2. n维向量空间 （ 1） 3维向量空间 3维向量的全体所组成的集合 叫做三维向量空间。 例如点集 是三维向量空间 3中的一个平面（二维）。 向量集 是三维向量空间 3中的一个平面（二维）。 （ 2） n
2、维向量空间 n维向量的全体所组成的集合 叫做 n维向量空间。而 n维向量的集合 叫做 n维向量空间中的一个 n 1维超平面。 3. 向量组 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。例如 （ 1） m n矩阵 有 m个 n维行向量 行向量组 A： ； 有 n个 m维列向量 列向量组 B： b1,b2, ,bn 。 （ 2） m个方程 n个未知数的线性方程组 Ax=0的解 x是 n维向量， 若 R(A) n，则解向量的集合为无限多个 n维列向量的解向量组。 （ 3）只含有有限个向量的向量组与矩阵的相对应 m个 n维列向量所组成的向量组 A： a1,a2, ,am构成n m矩阵 A=
3、( a1,a2, ,am) m个 n维行向量所组成的向量组 B： 构成m n矩阵 总之，含有有限个向量的有序向量组可以与矩阵的一一对应。 二、向量组的线性组合 定义 2 给定向量组 A: a1,a2, ,am，对于任意一组实数k1,k2, ,km，表达式 k1a1+k2a2+ +km am 称为向量组 A的一个线性组合， k1,k2, ,km称为这个线性组合的系数。 定义： 给定向量组 A: a1,a2, ,am和向量 b,若存在一组数1,2, ,m，使 b=1a1+2a2+ +m am 则向量 b是向量组 A的线性组合，称向量 b能由向量组 A线性表示。 也可以写成线性方程组 1a1+2a2
4、+ +m am=b 的形式。向量 b能由向量组 A线性表示，也就是说线性方程组有解。由第 3章定理 5即可得 定理 1 向量 b能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示的充分必要条件是矩阵 A=( a1,a2, ,am)的秩等于矩阵 B=( a1,a2, ,am,b)的秩。 定义 3 设有两个向量组 A： a1,a2, ,am及 B： b1,b2, ,bl。若向量组 B中的每个向量都能由向量组 A线性表示，则称向量组B能由向量组 A线性表示。若向量组 A与 向量组 B能相互表示，则称这两个向量组等价。 记由两个向量组构成的矩阵为： A=(a1,a2, ,am)和 B=(b1,b2, ,b
5、l)。向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即对每个向量 bj (j=1,2, ,l)存在数 k1j,k2j, ,kmj ，使 从而 矩阵称为这一线性表示的系数矩阵。 1. 若 Cm n Am lBl n ，则 （ 1）矩阵 C的列向量组能由矩阵 A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵。 （ 2）矩阵 C的行向量组能由矩阵 B的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵。 2. 若矩阵 A与 B行等价，则 A的行向量组与 B的行向量组等价。 证明（或说明）： 若矩阵 A与 B行等价，则 A经有限次初等行变换化为 B，则 B的每个行向量都是 A的行向量组的线性组合，即B的行向量组能由
6、 A的行向量组线性表示；由于初等变换的可逆性，亦知 A的行向量组能由 B的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与 B的行向量组等价。 3. 同理，若矩阵 A与 B列等价，则 A的列向量组与 B的列向量组等价。 4. 向量组的线性组合、线性表示、等价等概念，便通过矩阵做桥梁，移用到线性方程组： （ 1）对线性方程组 A的各个方程进行线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A的一个线性组合； （ 2）若方程组 B的每一个方程都是方程组 A的线性组合，就称方程组 B能由方程组 A线性表示，方程组 B的解一定是方程组 A的解； （ 3）若方程组 A与方程组 B能互为线性表示，就称两方程组可互推，可互推的
7、线性方程组一定同解。 向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示，其涵义就是存在矩阵 Km l使 (b1,b2, ,bl)=(a1,a2, ,am) Km l ，也就是矩阵方程 (a1,a2, ,am) X= (b1,b2, ,bl) 有解。由第 3章定理 7(6)可得 定理 2 向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示 矩阵 A=(a1,a2, ,am) 的秩等于矩阵（ A,B)=(a1,a2, ,am,b1,b2, ,bl)的秩，即 R(A) R(A， B)。 推论 向量组 A： a1,a2, ,am与向量组 B
8、： b1,b2, ,bl等价的充分必要条件是 R(A) R(B) R(A,B) 证明推论： 因向量组 A和 B互为线性表示，由定理 2知，它们等价的充分必要条件是 R(A) R(A,B)，且 R(B) R(B,A) 而 R(A,B) R(B,A)，合起来即得充分必要条件为 R(A) R(B) R(A,B) 例 1 证明向量 b能由向量组 a1,a2, a3线性表示，并求出表示式， 设 解： R(A) R(B) 2 3，向量 b能由向量组 a1,a2, a3线性表示。 由上面的行最简形，可得方程 (a1,a2, a3)x=b的通解为 从而得表示式 例 2 证明向量组 a1,a2与 b1,b2,
9、b3等价，设 解： 得 R(A) R(A， B) 2。 求 R(B),应对（ B， A）做初等行变换，但我们很容易看出 B中有不为零的 2阶子式，故有 2R(B)R(B， A) R(A， B) 2，所以 R(B) 2。因此R(A) R(B) R(A， B)，向量组 a1,a2与 b1,b2, b3等价。 定理 3 若向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示，则 R(b1,b2, ,bl)R(a1,a2, ,am) 证明：记 A=(a1,a2, ,am )， B： b1,b2, ,bl 。 根据定理 2有 R(A) R(A， B) 而 R(B)R(A， B
10、) 因此 R(B)R(A) 即 R(b1,b2, ,bl)R(a1,a2, ,am) 本章的定理 1上章定理 5； 本章的定理 2上章定理 7； 基础是向量组 矩阵。故有下述对应： 本章的定理 3上章定理 8。 向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示 有矩阵 K，使 B AK方程 AX B有解。 定理 3 若向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示，则 R(b1,b2, ,bl)R(a1,a2, ,am) 证明：记 A=(a1,a2, ,am )， B： b1,b2, ,bl 。 根据定理 2有 R(A) R(A
11、， B) 而 R(B)R(A， B) 因此 R(B)R(A) 即 R(b1,b2, ,bl)R(a1,a2, ,am) 本章的定理 1上章定理 5； 本章的定理 2上章定理 7； 基础是向量组 矩阵。故有下述对应： 本章的定理 3上章定理 8。 向量组 B： b1,b2, ,bl能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示有矩阵 K，使 B AK方程 AX B有解。 例 3 设 n维向量组 A： a1,a2, ,am构成 n m矩阵 A=(a1,a2, ,am)， n阶单位矩阵 E=(e1,e2, ,en)的列向量叫做 n维单位坐标向量。证明： n维单位坐标向量组 e1,e2, ,en能由向
12、量组 A： a1,a2, ,am线性表示的充分必要条件是 R(A)=n。 证明： 根据定理 2，向量组能由向量组 A： a1,a2, ,am线性表示的充分必要条件是 R(A)=R(A， E)。 由于矩阵 (A， E)只含有 n行，所以有 n=R(E)R(A， E)n。合起来就是 R(A， E) n。 因此 R(A) R(A， E) n，即 R(A) n。 例 3的命题用方程语言叙述：方程有解的充分必要条件是 R(A) n。 例 3的命题用矩阵语言叙述： （ i）对矩阵 Am n，存在矩阵 Qn m，使 AQ=Em的充分必要条件是R(A)=m。 （ ii） 对矩阵 Am n，存在矩阵 Pn m，
13、使 PA=En的充分必要条件是 R(A)=n。 4-2 向量组的线性相关性 定义 4 给定向量组 A： a1,a2, ,am ，如果存在不全为 0的数k1,k2, ,km，使 k1a1+k2a2+ +km am=0 则称向量组 A是线性相关的。否则称之为线性无关。 或定义 给定向量组 A： a1,a2, ,am，当仅当时 k1=k2= =km=0， k1a1+k2a2+ +km am=0 成立，则称向量组 A线性无关。 1. 特殊情况 m 1，向量组只含一个向量 a，当 a 0时是线性相关；当a0时线性无关。 2. 一般情况 m2 m 2时，向量组 a1,a2线性相关的充分必要条件是 a1,a
14、2的分量对应成比例。几何意义就是两向量共线。 m 3时， 3个向量线性相关的几何意义是 3向量共面。 。 （ 1）向量组 A： a1,a2, ,am 线性相关，则 A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。 证明： 由定义 4知，若向量组 A： a1,a2, ,am线性相关，则有不全为 0的数 k1,k2, ,km ，使 k1a1+k2a2+ +km am=0 成立。不妨设 k10 ，则 （ 2）如果 A中有某个向量能由其余 m-1个向量线性表示，则向量组 A线性相关。 证明： 不妨设 am能由 a1, ,am-1线性表示，即有 am=1a1+ +m-1am-1 ，也即 1a1+ +m-
15、1am-1+(-1)am=0 因 1, ,m-1,(-1)这 m个数不全为 0（至少 -10），故向量组 A线性相关。 3. 向量组的线性相关性应用于线性方程组 （ 1）方程组的线性相关：当方程组中某个方程是其余方程的组合时，此方程是多余的，称方程组线性相关； （ 2）方程组的线性无关：当方程组中无多余方程时，称该方程组线性无关； （ 3）列向量组 A： a1,a2, ,am构成矩阵 A=(a1,a2, ,am )。 向量组 A线性无关就是齐次线性方程组 x1a1+x2a2+ +xm am=0 或 Ax 0 只有零解； 向量组 A线性相关就是齐次线性方程组 x1a1+x2a2+ +xm am=
16、0 或 Ax 0 有非零解。 例 4 试讨论 n维单位坐标向量组的线性相关性。 解： n维单位坐标向量组构成的矩阵 E=(e1,e2, ,en ) 是 n阶单位矩阵， |E| 0 ， R(E) n，与向量组中向量个数相同，由定理 4知 n维单位坐标向量组线性无关。 例 5 已知 试讨论向量组 a1,a2,a3及向量组 a1,a2的线性相关性。 解： 对矩阵 (a1,a2,a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 R(a1,a2)= R(a1,a2,a3)=2,由定理 4知 ,a1,a2,a3线性相关， a1,a2线性无关。 例 6 已知向量组 a1,a2,a3线性无关， b1=a1+a2,b3=a
17、2+a3,b3=a3+a1，试证向量组 b1,b2,b3线性无关。 证法 1 设有 x1,x2,x3使 x1b1+x2b2+x3b3=0 即 x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0 整理得 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0 因 a1,a2,a3线性无关，故有 而方程组的系数行列式 故方程组只有零解 x1=x2=x3=0 ，所以向量组 b1,b2,b3线性无关。 证法 2 用向量组构成矩阵 记作 B AK。设 Bx 0，以 B AK代入得 A(Kx) 0。因矩阵 A的列向量组 a1,a2,a3线性无关，可推知 Kx 0。又因 |K| 20，知
18、方程 Kx0只有零解 x 0，所以矩阵 B的列向量组 b1,b2,b3线性无关。 证法 3 用向量组构成矩阵 记作 B AK。因 |K| 20，知 K可逆，所以 B的列向量组 b1,b2,b3能由矩阵 A的列向量组 a1,a2,a3线性表示；又因 K可逆，所以，故矩阵 A的列向量组 a1,a2,a3能由矩阵 B的列向量组 b1,b2,b3线性表示， a1,a2,a3与 b1,b2,b3互为线性表示，故 R(a1,a2,a3)=R(b1,b2,b3)=3，即 b1,b2,b3线性无关。 本例的三种证法都是常用的。证法 1的关键是转化为证明线性方程组是否无非零解；证法 2则是利用矩阵来证明是否有非
19、零解；证法 3则是利用两向量组互为线性表示即等价，来证明待证向量组的线性相关性，而不涉及线性方程组的求解。 定理 5 （ 1）若向量组 A： a1,a2, ,am线性相关，则向量组 B：a1,a2, ,am,b也线性相关。反言之，若向量组 B： a1,a2, ,am,b线性无关，则向量组 A： a1,a2, ,am也线性无关。 部分相关则全体相关；全体无关则部分无关。 （ 2） m个 n维向量组成的向量组，当维数 n小于向量个数 m时一定线性相关。特别是， n 1个 n维向量一定线性相关。 任意 n 1个 n维向量必线性相关。 （ 3）设向量组 A： a1,a2, ,am线性无关，而向量组 B： a1,a2, ,am,b线性相关，则向量 b必能由向量组 A线性表示，且表示是唯一的。
