1、12.1.3 质点运动学方程为 . 则质点轨迹方程质点自 t=0 至jtir)32(4t=1 的位移 2)3(yx jijir243540(12.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度 v0=0；初速度 v0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。解： 200,2,20 tvtdtdadxvxx 31002020 ,)( ttttvtxx cmxttx 76)(;, 2313120 时 ， Smx7)(6路 程 txtvvx 9,99
2、3120 时 ， cx18)(令 vx=0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动，3 秒后质点沿 x 轴正向运动，所以路程： cmxxS543618)93(218 )(2|(|0)| 2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0 时速度为 v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。解： btvdtbvdtbvtdv xxx 00 |, 10tttt xxx 0000 ,1,1,1 )1ln( ,1)(1,0 000btvx btvdbtvdtdtt2.5.1 质点在 o-xy
3、平面内运动 ,其加速度为 ，位置和速度的初始条jtitasnco2件为：t=0 时， ，则质点的位失 irjv, jtirsnco3.5.11 棒球质量为 0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为 70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。解：由 Ft 图可知： max03.85.0.5. Fttt时 ，当 时 ，当斜截式方程 y=kx+b，两点式方程 (y- y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)由动量定理： 08.5.305.08. ).(maxmax dttdtvFF可求得 Fmax = 245N3.8.3 气球下悬软梯，总质量为 M
4、，软梯上站一质量为 m 的人，共同在气球所受浮力F 作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度 am 上升时，气球的加速度如何？解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)a C 设人相对地的加速度为 a1，气球相对地的加速度 为 a2，由相对运动公式：a 1=am+a2，由质心定义式可知：（m+M）a C = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 联立，可求得： gMF4.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大小不变的力 T=50N，木块在 A 点时具有向右的速率 v0=6m/s，求力 T 将木块
5、从 A 拉至 B 点时的速度。解：以 A 为原点建立图示坐标 o- x，木块由 A 到 B，只有拉力 T 做功： 403)(4040 2cosxdxTdFA Jx xxdT 10)35(|9)4(50 |9)4(29402 402/154 22/12 设木块到达 B 时的速度为 v，由动能定理： 2121mvA，方向向右svmv /8.065./12/24.3.2 质量为 1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力 F,F=60N,木块在 A 处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至 B 时的速度。0.5m y 0.5mB
6、 0.5m F N FW A A xx4m3mA BTx0.05 0.08 t(s)F(N)Fmax03解：以地为参考系，建立图示坐标 A-xy，木块在由 A 到 B 的运动过程中受三个力的作用,各力做功分别是：AN = 0；A W = -mg(yB-yA)=-1.29.80.5= -5.88J；F 大小虽然不变，但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 JFyyddyFdyF y43.12)(605.)12(5.0|(. )5.0(.)50(.cos52/150 2/22/12 5.0).(5.05. 22由动能定理： 2ABFWNmvA代入数据，求得 vB =3.86 m/s.4.3.
7、4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为 m 的活塞将气体密封，气体膨胀前后的体积各为 V1,V2，膨胀前的压强为 p1，活塞初速率为 v0. 求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气体压强与体积满足 pv=恒量. 若气体压强与体积的关系为 pv =恒量， 为常量，活塞末速率又如何？解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为 v， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力 mg，气体对活塞的压力 N=pS（S 为气缸横截面） ，忽略重力所做的功（很小） ，对活塞应用动能 定律：mAvmvANN /2,020121 若 pV=p1V1， 1222121 ln1VVN pdpdpSx若 pV =p
8、1V1 )(1122121 AN5.1.2 一个质量为 m 的质点沿着 的空间曲线运动，其中jtbitarsncoa、b 及 皆为常数。则该质点对原点的角动量。解： vrpLkmabtabktabmjtiji )sincos( )cos(22 5.1.8 一个质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动，其位置矢量为，其中 a、 b 和 是正常数，试以运动学和动力学观点证明该jtitrncs p,v mSx4质点对于坐标原点角动量守恒。证明： rjtbitadtvar 222sincos/ cn运动学观点：显然与时间 t 无关，kmabtabktmabLkijiji jtitjttr sncos
9、)(,0 )cos(22是个守恒量。动力学观点： ,该质点角动量守恒。0)(22rrrFr 5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为 10g小球，沿半径为 40cm 的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为 10-3N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为 10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的 F速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为 m=1010-3kg,原来的运动半径为 R1=40cm,运动速率为 v1;后来的运动半径为 R2=10cm,运动速率为 v2.先求小球原来的速率 v1：据牛顿第二定律，F=mv 12/R1，所以，smmFv /
10、.0/4.0/31 由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒，m v1R1=m v2R2，v 2=v1R1/R2=0.20.4/0.1=0.8m/s在由 R1R 2 的过程中，只有拉力 F 做功，据动能定理，有 JvvvAF 32 121212210).80)(.(0 )( 7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔 t 内的角位移为则 t 时刻的角速度和角加速度。):,(43stradctbat解： 232 16ctbcbdtdt 7.3.8 斜面倾角为 ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为 R，转动惯量为 I，受到驱动力矩 ，通过绳所牵动斜面上质量为 m 的物体，物体与斜面间的摩
11、擦系数为 ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中 T 为绳中张力，f=N 为摩擦力，重物上5滑加速度与鼓轮角加速度的关系为 a=R对重物应用牛二定律：T- N- mgsin =ma, N=mgcos，代入前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 对鼓轮应用转动定理：- TR=I=Ia/R 由联立，可求得重物上滑的加速度： 22)sinco(mRIg7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为 m1=0.46kg，m 2=0.5kg，滑轮半径为 0.05m。自静止始，释放重物后并测得 0.5s内 m
12、2 下降了 0.75m（匀加速直线运动） ，则滑轮转动惯量是多少？解： T2 T1 x o Ra a y m2g m1g T2 T1 隔离 m2、m 1 及滑轮，受力及运动情况如图所示。对 m2、m 1 分别应用牛顿第二定律：)();(11aaT对滑轮应用转动定理： （3）RIT/)2质点 m2 作匀加速直线运动，由运动学公式： ，21aty22/065/70/ smtya由 、 可求得 ,代入（3）中，可求得 mgT)()(121212 ，代入数据：212)(/)( RagmI 22039.05.96.0.84. k7.3.6 匀质杆可绕支点 o 转动，当与杆垂直的冲力作用某点 A 时，支点
13、 o 对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则 A 点称为打击中心。设杆长为 L，求打击中心与支点的距离。 y解：建立图示坐标 o-xyz,z 轴垂直纸面向外。 N 据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运 o x动定理： ac )1(,02LcmaFmgN由转动定理； A F31IAo把代入中，可求得 2mgTNfa T m1m2mg67.4.2 质量为 M，长为 的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线 o 转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为 m，以水平速度 v 射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角 . o 解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象，整个过程可分为两个阶段研
14、究：第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞， 获得共同的角速度 ，此过程时间极短，可认 为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零， m v因此角动量守恒， 2312312 )(lMlmlvlMmv)3/(第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度 摆动到最大角度 ，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体系原来的动能等于重力势能的增量： 2)2(3/ 2312cos )cos1()cos1( gMml lgl7.4.3 一质量为 m1，速度为 v1 的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为 m2=99m1，长度为L 的棒的端点，速度 v1 与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同
15、运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？解：以地为参考系，把子弹和棒看 作一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，可视为随质心 C 的 平动和绕质心 C 的转动，绕质心 C 转动的角速度即为所求。据质心定义: CALOmA2910,2121 ， LLCOLA 05.49.5.0,495.02/9 据角动量守恒： )(22121 COmAvml MOCA m2,Lv1m17LvLm/058. )05.912/49( ).5.0(1 22 217.5.1 10m 高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。解：设烟囱质量为 m，高为
16、h，质心高度 hC=h/2，对转轴的转动惯量，倒在地面上时的角速度为 231221)(hIh由机械能守恒： hghgIghC /3,231221 上端点到达地面时的线速度： smhv /.708.937.5.4 质量为 m 长为 l 的匀质杆，其 B 端放在桌上，A 端用手支住，使杆成水平。突然释放 A 端，在此瞬时，求： 杆质心的加速度，杆 B 端所受的力。解：以支点 B 为转轴，应用转动 B A定理： ，质lglg232312心加速度 ，方向向下。 xalc4设杆 B 端受的力为 N，对杆应用 y质心运动定理：N y=0，Nx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) =
17、mg/4 N = mg/4，方向向上。9.2.6 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为 k=9.8N/m,物体的质量为 200g,现将弹簧自平衡位置拉长 cm 并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为 7.0cm/s,求该振子的运动学方2程（SI） 。解：弹簧振子的圆频率 .设振子的运动学方程为 72.0890mk.)(sin(),1(7cos( tAvtAxdtx据题意,t=0 时， ,代入、中，有 sv/1.,22)(si70.,)(cs1022由、 可解得：A=3 10-2m； ,3/n,3/co= - 19.47= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的运动学方程为：x = 310-2 co
18、s (7t - 0.34).89.3.2 弹簧下面悬挂质量为 50g 的物体，物体沿竖直方向的运动学方程为 x=2sin10t,平衡位置为势能零点（时间单位：s,长度单位；cm）.求弹簧的劲度系数，求最大动能，求总能。解： mNmk/510., 22020 scvtvdtx ./1cosaxjmEk 322ax1ax 5. 根据能量守恒，总能量等于最大动能，为 1.010-3j9.2.7 质量为 1.0103g 的物体悬挂在劲度系数为 1.0106dyn/cm 的弹簧下面，求其振动的周期；在 t=0 时，物体距平衡位置的位移为 +0.5cm，速度为+15cm/s，求振幅。解：以平衡位置为坐标原
19、点，建立图示坐标 o-x 10310.0256mksT9.120设运动学方称为 )co(tAx，将 t=0 时，x=0.510 -2,v=1510-2 代入，有)sin(tv ）（ ，sin102/3co105.2 A 2+ 2，可求得 A2=0.47510-4，A=6.8910 -3m10.2.3 已知平面简谐波的振幅 A=0.1cm,波长 1m,周期为 10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源 9m 和 10m 两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为)10(2cos)(2cos)(cos 3xttyxTtVx 10910210
20、.2.4 写出振幅为 A,频率 v=f,波速为 V=C,沿 o-x 轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点 o,且当 t=0 时，波源的振动状态是位移为零，速度沿 o-x 轴正方向。解：设波源振动方程为 .)cos(tAyt=0 时， 2,0in,0cos uAydt波方程 )(2cs)(22CxVxtfv10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m.至少求出三个 x 数值使得在 P 点合振动最强， 求出三个 x 数值使得在 P 点的合振动最弱。解：由于两个波源的相位相同，因而二波在 P 点引起的两个分振动的 l POx9相位差 l-x xxl2)(
21、当 ）时，,102n合振动最强。取 n=0,1,2, 得 x1=0, x2=0.34m, x3=2=0.68m当 ）时，合振动最弱。取 n=0,1,2, 得 x1=/2=0.17m, ,()(xx2=3/2=0.51m, x3=5/2=0.85m10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为：（应用三角函数tkxAkxtAkxttty Akxykxcos2)cos()( )()(s)( ),c(,cs2121 21 公式： ）css显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波10.5.
22、4 入射波 在固定端反射，坐标原点与固定端相)(20cos10344xty距 0.51m,写出反射波方程.无振幅损失 .(SI)解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为 ，固定端反射有半波损失，所以 .综合以上 61)()1(,20 10/345.4 考虑，反射波方程为 60cos1344xty)(210.5.5 入射波方程为 ，在 x=0 处的自由端反射，求反射波的波方)(cosxTtAy程。无振幅损失。解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在 x=0 处的自
23、由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为 )(2cosxTtAy1010.5.8 一平面简谐波自左 x/m向右传播，在波射线上某质元 0.2A 的振动曲线如图示。后来此 0 1 2 3 4 5 t/s波在前进方向上遇一障碍物而 -0.2 反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为 3m,以质元 A 的平衡位置为 o-y 轴原点，写出该入射波波方程。解：相邻波节波腹间距离是 /4=3,=12m,k=2/=/6 ；从 A 点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,=2 /T= ；设 A 点振动方程为t=0.5s 时，x= - 0.2,- 0.2=0.2cos(),(cos2.0tx )2.综合以上考虑，入射波波方程应为2, )cos(2.0)cs( 26ytkytx
