1、取简化假设 k=1，u=1 ，m=1, A= , ， （L ）2/1在地面上看小球的坐标随时间变化是（M）ttxsin)(小车上看小球的坐标的变化是（N）tti2)(小球往程出发时（t=0）的坐标是 x（0）= x（0）=0，那么在地面上看，从（M）式显然可见，在时间 0t/2 中，小球的坐标 x 随着时间t 增加，直至 t=/2，x（t）达到最大值 /2。在小车上看，从（N）式容易证明，在时间 0tcos-1(2/)内 x随着时间 t 增加，直至 t= cos-1(2/)，此时 x（t）达到最大值（O） )/2(cos)/(sinc21-1-ma 然后 x（t）随着时间减小，至时间 t=/2
2、, 达到 x=0，即回到出发点。两者比较，由于 cos-1(2/)/2, 所以在小车上看小球达到（ O)式所表示的最大坐标 xmax时，地面上看小球还未达到它的振幅呢！而当在小车上看，小球已经从最大坐标值回到出发点 x=0 时（t=/2 ） ，地面上的观察者看到小球正好第一次达到它的振幅。所以，在小车上看，小球在时间 0 到 /2 内完成了一个往返。力的往返路径积分是 Q1）00maxmax dfdf返 程往 程这等式的等号右边两个积分的被积力函数 和 有不同的函数形式。)(xf往 程 )(f返 程因为约定（L）所以 )()(txutkxf 将此式代入 Q1）式得 Q2）00maxmax )(
3、)dtdt（两个积分的被积函数中的 项可以互相抵消，但是 作为 的函数 是函数 tx)(t（）的反函数，在 的区间 和 中的表示式是不同的，分别记 ),0(max)0,(ax为 和 ，它们不能相互抵消，所以 Q2）不是零。具体计算就是：)(xt往 )(t返从(Q1)出发。注意到在（Q1）中，积分的自变量是 x，其往程和返程的转折点在 xmax，由（O）式表示。现在做变量代换 x=x-ut ，往程和返程的转折点就要用 xmax所对应的 x 和 t 来表示了。上面（ N）和（O）之间的文字已经说明，往程和返程的时间转折点是 cos-1(2/)，而根据（ M）得此时 x 达到，此即转折点所对应的 x
4、 值。所以（Q1 ）式化为)/2sincoi2)(1-（ttx )(2/(cos2/)/(cosin)/(s0)/(cosin0 1111 dtuffdtufxf（） 2/02/0dtufxf(P)因为 又因为（ ）式，所以上式化为,kf1 ！ Q)2/022/0/22/0/0 cos8sin ttdxdtx 80现在用另一种方法计算：在Q2 ）的两个积分的被积函数中先消除 项，再分别用分部积分得到x 2/)/(cos0)/2(cos0000 1max1mamaxmax ) dttdtdtdt （ 返往返往 2/02/02/02/)/(cos)/2(cos0 )sin()(11 ttxtttx
5、！ Q3)2-8-从小车系看来弹力是不是保守力，必须看它是否符合保守力定义。保守力定义是：移动质点做的功仅与质点所处位置有关的力叫做保守力。因为 ，由于只研究（ 0，/2） ，是一个一元单值函数，所以存在反ttxsin2)(函数 t(x)，所以 Xxutxu(x)，所以 x(X)从小车系看来，弹力做的功是：。dWFdXfdXkxd(xut)kxdxkxudtkxdxmuAcos(t)d(t)， dx uAcos(t)d(t)，)()0(tAktm0WtW0 kA2 kx2muAsin (t)muAsin (0)，1Wt0 kA2 kx2muAsin (x)Wx，Wt kA2 k2(X)muAs
6、in(X)WX所以，从小车系看来，弹力做的功 WtWxWX仅与弹簧振子的位置 X 或 x有关，所以从小车系看来，弹力是保守力。方法二：设 0 时刻参照系 o，O 完全重合，且 O 系相对于 o 系以正常数 u 的匀速开始运动则 o 系中的保守力在 O 系中也是保守力证明：设 t 时刻，质量为 m 的质点 m 的位矢、速度、加速度、受的力、做的功 在 o系中分别为：r，v ，a，f ，w，在 O 系中分别为：R，V ，A ，F，W ，则有Rrut，Vvu，A a0a，Fm Amaf；dRVdtvdtudtdrudtdWFdRf(drudt)fdrmaudtdwmudvdwmd(uv)， d(uv)，W wmuvmu 0w0 0由 dvadt 知，v 是 t 的函数 ；由 drvdt 知，r 是 t 的函数，所以 t 是 r 的函数(当 r 不是 t 的单值函数时，我们可以分单调区间分别研究，在这里只考虑它的一个单调区间，其他单调区间类似)因 v 是 t 的函数，t 是 r 的函数，故 v 是 r 的函数；因 t 是 r 的函数，故 Rrut 是 r 的函数， 所以 r 是 R 的函数因为 w，v 是 r 的函数，所以Wwmuvmu 是 r 的函 数；因为 r 是 R 的函数，所以 Wwmuvmu 是 R 的0 0函数，所以 O 系中的力 FmAmaf 是保守力
