1、第四章 多变量反馈系统的性能和鲁棒性Performance and Robustness of Multivariable Feedback Systems本章内容： 主增益 principal gains (奇异值 singular values) 系统性能的评估 assessing performance 特征轨迹 characteristic loci 算子范数 operator norms 利用算子范数说明性能 不确定的表示 representations of uncertainty 稳定性鲁棒 stability robustness 性能鲁棒 performance robust
2、ness4.1 Introduction使用反馈的目的：减少不确定性的影响；镇定不稳定系统。不确定性：环境的扰动和噪声(disturbance and noise) ；系统本身的行为变化的不可预知(unpredictable ways)。系统的性能：输出跟踪参考输入的能力系统的鲁棒性：在外部扰动下系统回复原状的能力4.2 主增益 Principal gains (singular values)在 SISO 系统中：稳定裕度(stability margins)和暂态响应(transient response)可以由开环频率特性确定(增益特性 gain characteristic)。MIMO
3、 系统：增益不唯一，即 依赖于 的方向(解()Gsu)us释)。因此，研究的思路：从 SISO 系统单一的增益到 MIMO 系统限制增益的范围，即使用矩阵范数限制比值： 1()(), GsyGsu定义从向量的范数到诱导的矩阵范数欧氏范数(Euclidean vector norm) Hxx诱导的矩阵范数0()supxGGHilbert 范数或谱范数(spectral norm)s的奇异值(singular values): 或 的正特征值的平方根HHG的主增益(principal gains): 的奇异值()Gs ()j一般假设： 12 0m称 为最大，最小主增益， , ()()sjj注意 与
4、频率相关，与 ， 不同。()Gj2G奇异值分解(the singular value decomposition-SVD):orthogonal matrix, ,HHHmlYUYIUI2 2GG12diag,m, , , HUYHGH表示 的伪逆(pseudo-inverse) ，也直接表示为 。G 1G(前面). , rank()min,)Glrank()rank()Gr10r的谱范数： 1()j 11()()sj因此， ， 1()()jyj()() ()juj上面最后不等式表明：多变量系统增益在最大主增益和最小主增益之间。(the gain of a multivariable syst
5、em is sandwiched between the smallest and largest principal gains.)也说明特征值的绝对值在奇异值之间.主方向 principal directions: (简要介绍)iy4.3 使用主增益评估系统的性能The use of principal gains for assessing performance从图 3.1 (P128)，得到下面关系式()()()()()ysSsdISsPrsISsm或 ()ITTT这里，是灵敏度函数(sensitivity function)1()()SsIGsK是补灵敏度函数()TsK(compl
6、ementary sensitivity function) (闭环传递函数)评估闭环系统的干扰抑制(灵敏度)特性(disturbance- rejection(sensitivity) properties): 通过检查 的主增益。S(1) 保持灵敏度尽可能小(keeping sensitivity as small as possible)(2) 保持测量噪声传播最小(to minimize the propagation of measurement noise)和 的最小和最大主增益如图 3.2 (P129)所示。ST如果曲线 与 之间区域非常狭窄，那么可以精确地描述()S()灵敏度特
7、性（类似于 SISO 系统） 。通常，这个区域不很狭窄，则区域的上界 是重要的。()S()()SsTI(1)要求保持 小，而(2) 要求保持 小冲突(conflict)S()T设计时经常处于两难的境地(be in a dilemma)，采取折中方案(trade-off)定理 4.1 ， 1()()1()STS1()()1()TST如果系统只有一个自由度( )，那么参考信号的传输特性PsI由传递函数 的主增益确定。()s定义： (0)/2tyTjT当频率范围在 tyby时，由于传感器噪声，输入信号不能被很好的跟踪。所以，设计目标应为 minize()byty从图 3.1 可以得到另一个关系： 1
8、 1()()()()()()i iusFsKPsrFsKmsd 这里 1iIG如果要求保持控制信号小，那么一定保持 小。1()i而 11()()()/i i iFKFKF1()iIGIKG如果要求 ，则 ，因此()()i=1()=1/()()1KG=因此，如果要求控制信号小，只需要或 ()G=()K如果我们用最大或最小主增益估算系统的性能，通常考虑最坏情况(理论上) 。实际设计中，一些不利的方向(the least favourable signal directiona)可能并不出现，因此设计中不必太悲观。例如同时控制飞行器的偏航(yaw)和滚角(roll angles)，略。4.4 闭环和
9、开环主增益之间的关系Relations between closed-loop and open-loop principal gains对于 SISO 系统，闭环性能可以转换为对开环增益的要求，即对的要求(单位反馈系统回比的模).)Gj开环增益(open-loop gain) 闭环特性(closed-loop performance)通常对闭环系统的要求：(1) 灵敏度：保持 尽可能小1()IGK(2) 噪声传播：保持 尽可能小(与(1)冲突)1(3) 跟踪参考信号(一自由度系统)：保持 和1()IGK(与(2)冲突)1)IGK(4) 控制能量最小化：保持 尽可能小(与(1),(3)冲突)K
10、引理： max(0,)1()()1QQI, 上面四个要求进一步简化：(1) 灵敏度： 1()/()1/()1/()IGKIGKGK(if ) 【 尽可能大】=(2) 噪声传播： 1 1 1()()/() /()IGKIGKIGK (if ) 【 尽可能小】(1=()(3) 跟踪参考信号(一自由度系统 )：or 1)IGKI1(0GKor or (=)I=()1GK=【 尽可能大】(4) 控制能量最小化： 【保持 尽可能小】)K总结开环要求：(1) large()GK(2) small(3) large()(4) smallK(1), (3)与(2), (4)冲突，这与 SISO 系统设计相同解
11、决方案：如图 3.3(P137)所示在低频段，让 大()GK在高频段，让 小控制能量：控制能量由矩阵 确定11()iFKIGK，(if )11()()() ()i iFKKI(1IG=4.5 主增益与特征轨迹Principal gains and characteristic loci 定义： 是方阵，称 是正规的(normal)，如果 。()Qs()Qs HHQ引理：设 是正规阵，且 ，()s 1()()()sWs，则 。()diagis1H定理 4.2: 设 是正规阵，具有特征值 和主增益 ，()Qs ()is()is则 经排序后有 。()is()()iis定理表明，我们可以用特征轨迹的模
12、估算闭环特性，这个结果在设计中(比分析中) 更有用。( 设计 使 是正规的)。KG4.6 性能的局限性 Limitations on performance理想的、但不能实现的开环增益特征如图 3.4(P141)所示。接近这个特征在穿越频率处将伴随着过多的相位滞后，所以不可避免地导致系统不稳定(或条件稳定)。4.6.1 增益-相位关系 Gain-phase relationships性能指标转化为开环主增益指标(specification)，按图 3.3(P137)，对于 ， ，且 ，而对于 ，1()GKL12。并且从()GK()() ()Gjuj得 ，(或 )。()()ij()()(iGKG
13、K( ， -谱半径 spectral Radius)i更进一步，有 1det()(), miGKGKL2iBode 幅值 -相位关系(Bodes gain-phase relationship) (chp 1)设 是最小相位系统传递函数，极零点在开左半平面上，且设()Qslog(), ()arg(), log(/)Lj Qj则(Bode 1945):1d()()logcth/2dL由于 ，得近似公式21logcth/()d()()2L根据 Bode 幅值- 相位关系，设 是最小相位的，则当det()GK时1221log(/)argdet() , aproximatelymLGK4.6.2 右半
14、平面零点和极点 Right half-plane zeros and poles是否单个轨迹服从 Bode 增益-相位关系？Smith 1982: 如果回比的特征值函数在右半平面没有分支点(branch points)，那么单个轨迹也服从增益 -相位关系。分支点： ， ，右半平面上0s0000()()()()i jGsKGsK分支点尚未认识清楚。4.7-4.9 略4.8 算子范数 和 The operator norms2G, 图 3.5 所示(P147).sup()j, .GH 2supyG4.10 不确定性表示 Representations of uncertainty4.10.1 非结
15、构不确定性 Unstructured uncertainty经典的反馈系统设计处理对象不确定问题是通过给定的幅值裕度或相角裕度或谐振峰值 M 等。这样的设计适合相当粗略的模型。非结构不确定性模型不是精确已知，但已知界。设 是标称(nominal)传递函数，是真实对象的估计模型。0()Gs设 是被控对象的真实传递函数，则加摄动(additive perturbation)0()()()ass或 输入乘摄动(input multiplicative iGIperturbation)输出乘摄动(output multiplicative 00()()sIsperturbation)仅通过 或 限制摄
16、动的大小，或设 ， 是()12W12, 最小相位传函，作为与频率有关的权函数(weighting function). 可以总设 。1加性模型常被用于研究鲁棒控制问题，可得到漂亮(nice)解。乘性模型更实际，因为 与 表示相对幅值而不是绝对幅i0值(magnitudes).例如， 暗含 0.1i000.1iGG而 暗含 a .a例 4.1 流速模型 flow-rate model:流速 100 kmol/min 10 kmol/min 通过流速测量控制伺服控制阀门影响这个变化，流测量误差在 1以内，当流速变化从 100 到 110 kmol/min 时实际变化到 111 kmol/min 可
17、能发生，误差变化大约10，这样，对象模型不确定性可以表示为或 diag, 0.1ikkidiag, 10ik还有另一些乘摄动模型，如 00()()()iGsIsGIs1()RMFD矩阵分式描述，这里()()sNDs， 0()N0()()()Dss4.10.2 结构不确定性 Structured uncertainty例 4.1 中，如果有两个阀门，不确定性表示为， 120i0.1k但如果记 ，我们将失去所有结构信息，因为也允许摄i动为和 0.1i0.1.2i结构不确定性-模型中某位置具有不确定性。非结构不确定性描述通常导致补偿器的设计有更大的(不必要的)保守性(conservative)。4.
18、11 稳定性鲁棒 Stability robustness检查一个具体的系统模型是否对其不确定性是鲁棒的。4.11.1 非结构不确定性 Unstructured uncertainty0()()()aGss， ，12aaW1图 3.13 (P159)带有加不确定性的反馈环。图 3.14 (P160)与图 3.13 等价的结构(按图 3.9(P155)的形式表示)122Qyvvuzz1100()QGKI21W10()I122QKG检查反馈系统是否在允许摄动范围内稳定。无摄动时闭环系统稳定： (指数) 稳定(这时称 镇1212, , QK定 )。0G有允许摄动 时，设 是稳定的，则反馈系统可以是不
19、稳定的，aa仅当 的特征轨迹包围点 。根据一般 Nyquist 定理，有2Q1222()()()aaaQQ任意特征值 谱半径(spectral radius) 最大主增益如果在每个频率上， ，即 ，则闭环系统稳2()1a21a定。由于 ，且 ，所以 是闭2aQ 21Q环系统对任意可能摄动稳定的充分条件，由于 的任: a意性， 也是闭环系统稳定的必要条件(书中详细证明略)。21任意 ， 稳定，则 稳定: a 2, aQ 12()aIQ.-小增益定理，一般表示为：2 1Q小增益定理(small gain theorem): 稳定( 在其变化范围内具,有任意性)，反馈控制系统 内部稳定的充分必要条件
20、是：(,)Q或 ., 1/Q, 1/3.11.2 结构不确定性 Structured uncertainty如图 3.9(P155), 是块对角结构： ，1diag,n1j是系统鲁棒稳定的充分条件，但条件是保守的2 Q(conservative)。 1BD: diag, nj 一个容许摄动使系统不稳定(destabilizes)当且仅当对于某个 和某个 。2det()()0IQjj1BD定义2 12 20, det0, forany BD()min():det0,otherwisBDIQQj jI 而且定义 并不是范数22sup()j函数 称为 的结构奇异值(structured singul
21、ar value).()Q定理 3.6 (稳定性鲁棒定理 Stability robustness theorem, Doyle, et al, 1982):图 3.9 所示系统对于所有摄动 稳定当且仅当 。1BD21Q3.12 性能鲁棒 Performance robustness在稳定性鲁棒的基础上，保持性能鲁棒性能达到要求。不确定性的一种标准表示如图 3.9。，且122Qyvvxzz1Q例 3.4: 图 3.17 所示，性能要求12WST加入摄动 后： ，输入输出之关系zx111222()yQIQv性能鲁棒性判据能被精确表示为且 111222()I21Q1Q，1diag,n 001,di
22、ag,n定理 3.7 (性能鲁棒定理 Performance robustness theorem, Doyle, et al., 1982):对所有的 ， 且 1BD111222()QIQ成立的充要条件是 ，这里21Q122总结 Summary 掌握主增益的概念 了解系统性能的评估方法 了解特征轨迹 算子范数 operator norms 利用算子范数说明性能 熟悉不确定的表示 掌握小增益定理 了解稳定性鲁棒与性能鲁棒的概念作业：1. 设 ，求 .3()1)(2sGs()Gs2. 设 ，求 ， 与 .21()0Gs()()()Gs3. 如图 3.13【P159】所示反馈控制系统，如果 , 0()1/()s，若保持系统鲁棒稳定，摄动 的 H范数 4/(3)Ks a（ ）界是多少？如果摄动范围 ，求常数 使闭a /3K环系统鲁棒稳定。
