1、玖佰教育成就学生的未来！1第六讲 函数的奇偶性第一部分：奇偶性1定义：如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫偶函数；)(xff如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫奇函数。2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数 为奇函数，且在 x=0 处有定义，则 ；)(xf 0)(f3判断一个函数的奇偶性的步骤先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断 或 是否恒成立。)(xff)(xff4奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象
2、关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数为偶函数。5具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称6常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性、 、 xf2)(3 243)(xxf、 、 1)(23xf 2)(f,1、 、xf2)( 22)(xxf解：为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数玖佰教育成就学生的未来！2
3、7.关于函数奇偶性的题型1、利用奇偶性求函数值例 1：已知 且 ，那么8)(35bxaxf 10)2(f )2(f2、利用奇偶性比较大小例 2：已知偶函数 在 上为减函数，比较 ， ， 的大小。)(xf0,)5(f1(f)33.利用奇偶性求解析式例 3：已知 为偶函数 ，求 的解析式？)(xf 时当时当 01,)(,10xxf )(xf4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 是偶函数，讨论函数 的单调区间？3)()2()xkxf )(xf5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知函数 是偶函数，判断 的)0()(23acxbaxf cxbaxg23)(奇偶性。玖佰教育成就学生的未来！36、利
4、用奇偶性求参数的值例 6：定义在 R 上的偶函数 在 是单调递减，)(xf)0,若 ，则 的取值范围是如何？123)12(afaf7、利用图像解题例 7（2004.上海理）设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时,f(x)的图象如右图, 则不等式 的解是 .0xf8.利用定义解题例 8.已知函数 ，若 为奇函数，则 _。1().2xfafa综合练习1判断下列函数是否是偶函数（1） 2()1,fx（2） 2x1.解：（1）因为 定义域不关于原点对称 是非奇非偶函数,()fx（2） 需满足条件 关于原点对称()fx210x 1为偶函数22()()f ffx玖佰教育成就学生的未来！42：
5、判断函数 的奇偶性。)0()(2xf.)(,)( )()(0,: 222为 奇 函 数故总 有 有时即当 有时即当解 xffxf xff3、已知函数 是定义在 上的奇函数，且21)(baf)1,( .52)1(f（1）确定函数 的解析式 ；（2）判断并证明 在 的单调性；x)(xf,3、解：（1）由 (0) 0， ，可得 a1，b0， ff5)(xf21（2）任取 ，且 ，12,(,)x12x则 ，因为 ，且112121222()() xff 12,(,)x， ，12x120x221210,0x12ff在 是增函数()f,4：已知 ()fx是奇函数，且当 0x时， 2()3fx，求当 0x时
6、()f的解析式。4.解：当 0时， ，所以有 ，又已知 是奇函数，所以有 ()ff 23。即当 时， 2()3f。5.已知函数 ()fx的定义域为 1,，且同时满足下列条件：（1） 是奇函数；（2） f在定义域上单调递减；（3） 2()()0,af求 a的取值范围。5 解： 1(1)fff，则 21a，0a玖佰教育成就学生的未来！56函数 在 R 上为奇函数，且 ，则当 ， .7.函数 ， 是（ ）A偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与 有关第二部分：周期性周期函数的定义：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得1. ()fxxT恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，()fxTf()f ()fx则 （ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小k,0Zkx正周期.具有周期性的抽象函数：函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数）,2yfxa ，则 是以 为周期的周期函数；fxfaxTa ，则 是以 为周期的周期函数；f2 ，则 是以 为周期的周期函数；1fxafxfa ，则 是以 为周期的周期函数；ff2T ，则 是以 为周期的周期函数.1()()fxfxafa主要方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的 恒有3. x;二是能找到适合这一等式的非零常数 ，一般来说，周期函数的定义域()(fxTfT均为无限集.
