1、1新教材下册习题解答(教师用)第 12 章12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为 l0),如图 12-30 所示.当两侧各充以 p1,T1 与 p2,T2 的相同气体后,问平衡时隔板将位于什么位置上(即隔板两侧的长度之比是多少)?解: 活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程左侧: 得, TV11TpV1右侧: 得, p22 2即隔板两侧的长度之比 121TpV 121Tpl12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为 T=273K,p=1.010-2atm,密度.求
2、该气体的摩尔质量 .32kg/m04.解: (1)nTp(2)(3) 由以上三式联立得 :ANM 1235232 08.10.610.1.7804.1 molkgpkT12.3可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为 V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为 p1,温度为 T,并测出容器连同气体的质量为 M1,然后除去一部分气体,使其压力降为 p2,温度不变,容器连同气体的质量为 M2,试求该气体的摩尔质量.解：V22pT)(21MV1pTMV2pT(1) (2)21RTM212图12-30 习题12.1图0l0l2（1） 、 （2）式联立得： VpRTMVpRTM212112.4 在实验室中
3、能够获得的最佳真空相当于大约 1014atm(即约为 1010mmHg 的压强),试问在室温(300K)下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子？解： 由 得， nkTp353123514 104.204.08.3 cm12.5 已知一气球的容积 V=8.7m3,充以温度 t1=150C 的氢气 ,当温度升高到 370C 时,维持其气压 p 及体积不变,气球中部分氢气逸出,而使其重量减轻了 0.052kg,由这些数据求氢气在 00C,压力 p 下的密度.解：Vp1tmVp2tV2p2tm3Vptm由 （1）21tV（2）m2（3）31tV（4） 由以上四式联立得：332312 109.85
4、.273.805.2 mkgVtmt12.6 真空容器中有一氢分子束射向面积 的平板 ,与平板做弹性碰撞.设分子束中cm.S3分子的速度 ,方向与平板成 60 夹角,每秒内有 个氢分子射向13sm0.v 2310.N平板.求氢分子束作用于平板的压强. 2.910 3Pa解： ANMPaSmFp 32343230 109.10.610.6sin2 v12.7 下列系统各有多少个自由度:在一平面上滑动的粒子；可以在一平面上滑动并可围绕垂直于该平面的轴转动的硬币；一弯成三角形的金属棒在空间自由运动.解：（1） 2 （2） 3 （3） 612.8 容器内贮有氧气,其压强 ,温度 t=270C,求: (
5、1)单位体积内的分Pa10.3atm5p子数;(2)分子的质量 m;(3)氧气的密度 ;(4)分子的方均根速率;(5)分子的平均平动能；(6)在此温度下,4g 氧的内能.解：(1) 由 得,nkTp325235104018. m(2) kgNMmA26236(3) 32650.1.104n(4) 1232 84.83smRTv(5) Jk 2120.615.0.1(6) TMm793.85342 mol 氢气,在温度 270C 时,求具有若干平动动能；具有若干转动动能；温度每升高 10C 时增加的总动能是多少？解: (1) JR31074.5.1.823(2) T2 9230(3) J.512
6、.10 试求mol 氢气分别在 0和 500时的内能.4解： JRT311 1067.5.23.852412.11 (1)求在相同的 T、p 条件下,各为单位质量的 H2 气与 He 气的内能之比.(2)求在相同的 T、p 条件下,单位体积的 H2 气与 He 气的内能之比.解：（1） REH51032 RTEe31042e（2） 由 , 相同的 、 条件，可知：nkTppeH2kE522 kTnEeeH2332eH12.12 设山顶与地面的温度均为 273K,空气的摩尔质量为 0.0289kgmol-1.测得山顶的压强是地面压强的 3/4,求山顶相对地面的高度为多少 ? 解：依题意有， 由气
7、压公式有：340pmgRTh 310.2ln81.92.7ln12.13 求速率大小在 与 1.01 之间的气体分子数占总分子数的百分率. pvp解：速率间隔在 ,即.0pv0.1pWv1.pW在 间隔的分子数占总分子数的百分数为0.%83.042efNW12.14 求 00C 的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率和最概然速率.解: 氢气分子相对应的各种速率为513307.102586.10. smMRTv 1332 84.7.3. 13305.1028411 smRTpv由于三种速率均与分子的摩尔质量平方根成反比 42oHM所以氧气分子的三种速率为氢气分子相应速率的四分之一1206.4
8、smov2127.3sop12.15 如图 12-31 所示.两条曲线分别表示氧气和氢气在同样温度下的速率分布曲线.试问哪条曲线对应氧(氢)气的分布曲线? 氧气和氢气的最概然速率各是多少? 方均根速率各是多少?解: 由 可知,温度相同时, 与 成反比MRTp2vpvM又由图可知, 因此 可得,12p21所以, (1)为氧气的速率分布曲线(2)为氢气的速率分布曲线22HMOpv1250smpv122 3pp由 得, RT32vRTpvpv23126250smO v（ m/s） )(vfo 50 图12-31 习题12.14图61224503smHv12.16 设质量为 m 的 N 个分子的速率分
9、布曲线如图 12-32 所示.（1）由 N 和 求 a 值.0v（2）在速率 到 3 /2 间隔内的分子数；（3）分子的平均平动能.2/0v0解：（1）在 区 间 内0v0af在 区 间 内02vNf在 ，分子总数为 区 间 内020202 3000 vvvvaadaN03（2） NaadaN 1278202302320 000 vvvvv(3) f2020200222 36194611110 vvvvv mmadNdaNm设 N 个粒子系统的速度分布函数为)0）,0(dv（ 为 常 量KKv画出分布函数图；用 N 和 v0 定出常数 K；用 v0 表示出平均速率和方均根速率.解：（1） fK
10、Ov o )(vf02图 12-32 习题 12.15 图70v（2） 00vKdN 0NK（3） 211000 vvvd002 54.3812.18 试从麦克斯韦速率分布律出发推写出如下分布律:(a)以最概然速率 作为mkTp2v分子速率单位的分子速率 的分布律；(b) 分子动能 的分布律.并求出最概pxv21k然动能 ,它是否就等于 ？kp21m解：麦克斯韦速率分布律 2234vvkTmef（a） mkTp2vpx24xekxf(b) 21vkkTkekmf 23401223df kkTk得， 01T2pkpmv12.19 设容器内盛两种不同单原子气体,原子质量分别为 m1 和 m2 的此
11、混合气体处于平衡状态时内能相等,均为 U,求这两种气体平均速率 和 的比值以及混合气体的压力 .设容器12体积为 V.8解： 得，RTMmU231RTMmU2321 21则 118mkTv228mkTv12mv得，RpVRTUM34121VUT3412.20 求在标准状态下一秒内分子的平均自由程和平均碰撞次数.已知氢分子的有效直径为2.010-10 m.解： 32523510697108. mkTpnd 7252102 109. 1337.58smmRTv19730.109.2sz12.21 在足够大的容器中,某理想气体的分子可视为 d=4.010-10 m 的小球,热运动的 平均速率为 m/
12、s,分子数密度为 n=3.01025 /m3.试求：(1) 分子平均自由程和平均碰撞2.5v频率；(2) 气体中某分子在某时刻位于 P 点,若经过与其他分子 N 次碰撞后,它与 P 点的距离近似可表为 ,那么此分子约经多少小时与 P 点相距 10 米？(设分子未与容器壁NR碰撞) 解: (1) mnd 8252102 107.4.3.41 1086.107.5szv(2) NR9hRzNt 18207.410.51222 设电子管内温度为 300K,如果要管内分子的平均自由程大于 10cm 时,则应将它抽到多大压力？(分子有效直径约为 3.0108cm)解: 若使 nd21cm10需使 319
13、2102 53 31905.2mn即需使 PankTp .3815.9 Pap.计算在标准状态下,一个氮分子在 1s 内与其他分子的平均碰撞次数；容积为 4L的容器,贮有标准状况下的氮气,求 1s 内氮分子间的总碰撞次数.(氮分子的有效直径为3.76108cm）解: (1) z32523510697108. mkTpnd 8252102 109. 1234.8578 smMRT19820.19.54sz(2) olVmol 7.2AN 1329230.817.0.6179.0 szz实验测知 00C 时氧的粘滞系数 ,试用它来求标准状态下氧分s)g/(cm4子的平均自由程和分子有效直径.10解
14、： 31MRT8其中 , 得：nmkpnANmRTpM所以mRTppRT 8355 105.91028.7.103.1092.38 pdkTn22d 108523.310.901.78今测得氮气在 00C 时的导热系数为 ，计算氮分子的有效直径.WmK1已知氮的分子量为 28.解： MV31RVM25RTpMnmTpRTp 7353 1069.1.8527010.107.256628 pdkn22Td 1075232.1069.01.812.26 在 270C 时,2mol 氮气的体积为 0.1L,分别用范德瓦耳斯方程及理想气体状态方程计算其压强,并比较结果.已知氮气 a=0.828atmL2
15、mol, b=3.05102Lmol.解： RTpVPa73109.410.5.82RTbVap211p0p020V02VVacbPaVbRTp7 25322104.9 1.038.4105.31.0.8 第 13 章13.1 (1)理想气体经过下述三种途径由初态I(2p 0,V0)变到终态(p 0,2V0).试计算沿以下每一路径外界对气体所作的功:(a)先从V 0到2V 0等压膨胀然后等体积降压；(b)等温膨胀；(c)先以V 0等体积降压到p 0后再等压膨胀.(2)对1mol的范氏气体重复以上三个过程的计算？答案：(1)(a)2p 0V0,(b) 2p0V0ln2,(c)p0V0; (2)
16、(a)2p0V0, （b) ,(c)p0V0 020ln)( ab解：(1) (a) 000220 ppdAV(b) 22lnl00 RTVV(c) 0020(2) 范德瓦尔斯方程： bapmoll2(a) 020VdAV(b)00020 02222lnln000 VabVap VaRTdRTbVVV (c) 00dAV13.2 由如图13-40所示.一系统由状态a 沿acb到达状态b,吸热量80Cal,而系统做功126J.12经adb过程系统做功42J,问有多少热量传入系统？当系统由状态b沿曲线ba返回状态a时,外界对系统做功为84J,试问系统是吸热还是放热？热量是多少？解：1Cal=4.2
17、J(1) AEQJ362.480J210所以经 adb 过程传入系统的热量AEQ541(2) J8402980J所以系统是放热，热量是 294J13.3 如图13-41所示.单原子理想气体从状态a经过程abcd到状态d,已知pa=pd=1atm,pb=pc=2atm,Va=1L,Vb=1.5L,Vc=3L,Va=4L.试计算气体在abcd 过程中内能的变化、功和热量；如果气体从状态d保持压力不变到状态a(图中虚线),求以上三项的结果；若过程沿曲线从a到c状态,已知该过程吸热257Cal,求该过程中气体所做的功.解：(1) abmVTCE.aaRpRVpaabbTVbbabab VpRVpE23
18、23J23104.105.1pdVAba 23762JEQ280.3同理： cJpb 231056.41025.132 d p V O a b c 图13-40 习题13.2图O 1 1.5 3 4 2 1 d a b c aP/035pLV/图 13-41 习题 13.3 图 13p1p2V1 V2ODpCABVJpdVAcb 23104.105.1032JEQ6.7cJVpcd 23104.10253412323 JAdcV .051JEQ205.J216.4总 JA213.总 JQ2108.9总(2) Vpda 35640543 JAadV 23.025JEQ16.7(3) c220.5
19、.40.3JA219.36713.4 如图13-42所示 .一定质量的氧气在状态A时,V 1=3L,p1=8.2105Pa,在状态时V2=4.5L,p2=6105Pa.分别计算气体在下列过程吸收的热量,完成的功和内能的改变：经ACB过程,经ADB过程. 解：(1) ACB过程CA35012.86525 AVpEJ3106.AQ35.BCJVpEC 353102.6105.422 JA 351 9.06JQ35.图 13-42 习题 13,4 图14JE3106.总 JA3109.总 JQ3105.总(2) ADB过程DAJVpA 353107.102.85.4225 J310.8JQ305.4
20、BDJVpED 335 10475.210.42.8652 JA0Q31475.E6总 JA3102.总 JQ3108.总13.5 压强为 p=1.01103Pa,体积为 0.0082 m3 的氮气,从初始温度 300K 加热到 400K. (1)如加热时分别体积不变需要多少热量？(2) 如加热时分别压强不变需要多少热量？ 答案: Q V =683J; Qp=957J 解：(1) RTTpV JCEmV 69013082.1.25304255. JQ690(2) JTRpTmp 9610382.1.271255. 13.6 将 500J 的热量传给标准状态下 2 mol 氢气.(1)若体积不变
21、,问此热量变为什么?氢气的温度变为多少?(2)若温度不变,问此热量变为什么?氢气的压强及体积各变为多少?(3)若压强不变, 问此热量变为什么? 氢气的温度及体积各变为多少？答案: (1) T=285K; (2) ,V2=0.05m3,(3)T=281.6K; V2=0.046 m3 Pa107.942p解：(1) 全部转化为内能TCQmV.KR1250. KT15.2815.27315Pap510./O V0V02Vabcd(2) 全部转化为对外界做功12lnVRTQ2eT 331048.4.2m305.m21Vp PaVp4521 107.90 (3) 一部分用于对外做功，一部分用于内能增加
22、TCQmp.KRp6.82750. KT75.2816.527321TV 3212 04815.304mT13.7 一定量的理想气体在某一过程中压强按 的规律变化,c 是常量.求气体从 V1增2Vp加到 V 2所做的功.该理想气体的温度是升高还是降低? 答案: 2121);(TVA解： 212121 cdVpWV由理想气体状态方程 得，RTp可知RTVc2c12V因为 ， 所以 即气体的温度降低1221T13.8 1mol 氢 ,在压强为 1.0105Pa,温度为 20oC 时体积为 .今使它分别经如下两个过程0达到同一状态：(1)先保持体积不变,加热使其温度升高到 80oC,然后令它等温膨胀
23、使体积变为原来的 2 倍；(2)先等温膨胀至原体积的 2 倍,然后保持体积不变加热至 80oC.试分别计算以上两种过程中吸收的热量、气体做的功和内能的增量,并作出 p-V 图.答案: Q 2=2933J,A=1687J,U=1246J解：16(1) 定容过程 JA0JRTCQEmV 50.12468025. 等温过程J0JTVRAT 16.2034ln815.273.8lnl12 JQ6.380总 JA6.04总 E5.总(2) 等温过程 EJRTA56.182ln5.931.82ln定容过程 J0JCQEmV 50.1246802. 62935总 A总 JE50.1246总13.9 某单原子
24、理想气体经历一准静态过程,压强 ,其中 c 为常量.试求此过程中该气Tp体的摩尔热容 Cm. 答案: C m=（7/2）R解：由理想气体状态方程 其中 RTpV得， 2cdTc2根据热力学第一定律， AEQTRdcRTpdVTCmV 2323. 则可得， R271713.10 为了测定气体的 可用下列方法：一定量的气体初始温度、压强和体积分别CpV为T 0,p0和V 0,用通有电流的铂丝对它加热，第一次保持气体体积V 0不变,温度和压强各变为T1和p 1；第二次保持压力,p 0不变,温度和体积各变为T 2和V 1,设两次加热的电流和时间都相同.试证明()Vp10解： 过程1为定容过程 不变，
25、V01TCQV由理想气体状态方程得， 00RpRVpT00101V01即 (1)01pRCQV过程2为定压过程 不变，02Tpp由理想气体状态方程得， 即 (2)RVp10201pVRCQp由(1)(2)式即证得， 01CVp13.11 气缸内有单原子理想气体,若绝热压缩使其容积减半,问气体分子的平均速率变为原来速率的几倍?若为双原子理想气体,又为几倍? 答案:1.26;1.15解：由理想气体绝热方程 得，常 量TV1其中 211TV 12112V12T又由 可知， MR8211T18VpO1p2p 1V2Vabc绝 热单原子理想气体 , 则 R3526.1312双原子理想气体 , 则 75.
26、1213.12 一定量的理想气体经历如图 13-43 所示的循环,其中 AB、CD 是等压过程,BC、DA 是绝热过程,A 、 B、 C、 D 点的温度分别为 T1、T 2、T 3、T 4.试证明此循环效率为 . 231T解：等压过程AB 吸热121TQp等压过程CD 放热432CpBC、DA是绝热过程 01243121TQA利用绝热方程 得，常 量p3121T312Tp4121p41212312T13.13 设有一理想气体为工作物质的热机循环,如图 13-44 所示,试证明其效率为. )/(21pV解： 为等体升温过程，吸热baamVTCQ.1为等压压缩过程， 放热cacp.2p V O A
27、 D C B 图 13-43 习题 13.12 图19V E C A B V2 V1 D p V O 图 13-45 习题 13.14 狄赛尔循环 abmVcpTCQ12利用理想气体状态方程 , 得 R211VpRVpRTabab 循环效率为 1221213.14 有一种柴油机的循环叫做狄赛尔循环,如图13-45所示 .其中BC 为绝热压缩过程,DE 为绝热膨胀过程,CD为等压膨胀过程,EB 为等容冷却过程,试证明此循环的效率为1)/(12V解：CD为等压膨胀过程， 吸热CDpTQ1EB为等容冷却过程， 放热BEV2循环效率 CDBETQ12利用理想气体状态方程 , 得RpBEBEVT1CDC
28、D211VpVpBEBE利用绝热方程 ， 得常 量EDpEDpV1212acac20V1 V2 V3 2 1 3 45 p VO 2图13-46 习题13.16图 由 得 BCVpBCpV21CDp2VBE 1111 2212212 VVppBCEBCE 13.15 1mol 理想气体在 400K-300K 之间完成一卡诺循环,在 400K 的等温线上,起始体积为0.001 m3,最后体积为 0.005 m3,试计算气体在此循环中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量. 答案: A=1.24103J,Q2=4.01103J解： JVRTQ3121 05.ln该循环效率为 %25
29、412T可得 JQA310.由 , 得 21 JA31210.13.16 1mol 刚性双原子分子理想气体 ,作如图 13-46 所示的循环,其中 1-2 为直线,2-3 为绝热线,3-1 为等温线,且已知 =450,T1=300K,T2=2T1,V3=8 V1，试求：(1) 各分过程中气体做功、吸热及内能增量；(2)此循环的效率. 解：(1) 21由理想气体状态方程可得，11RTVp又由图可知， , 22 1Vp211RT2RTV12 12JCE5.630512JRTVdpAVVv 5.462211211 吸热JQ7493221利用绝热方程 , 得OQAEpV21322332 pVdpdVA
30、32p23 JRTVVpVA 5.6231578218128 15711232 130EAQJVRTA5184ln301.8ln13放热J54(2) 循环效率 %7.304951812Q*13.17 0.1mol单原子理想气体 ,由状态经直线AB所表示的过程到状态B,如图13-47所示,已知V A=1L, VB=3L,pA=3atm.(1)试证A、B两状态的温度相等;(2)求AB过程中气体吸收的热量;(3)求在AB过程中，温度最高的状态C的体积和压力(提示：写出过程方程T= T(V);(4)由(3)的结果分析从A到B的过程中温度变化的情况,从A到C吸热还是放热？证明Q CB=0.能否由此说从C
31、到B的每个微小过程都有Q =0？解：(1) 由理想气体状态方程, 得AARTVpBB又由已知条件可知 BAVp即证: BAT(2) 0AVCE p(atm)3 A 1 B 0 1 3 V(L) 图13-47 习题13.17图22JpdVA 253 10.410.1021 JQ05.4(3) 由理想气体状态方程 , 得RTp又由图可知： 即 RpVT4VVRT412由极值条件： ， 得 0d02即当 ， 时 取到极大值 L2atmpT(4) 由 (3) 可知， 过程中 温度 满足函数 BAVRT412过程中温度升高，到达 点时取得极大值CAC过程中温度降低， 到达点时温度又回到 点时的值BA过程
32、 0ACVTE0吸热QdAEdVVRCTV 63421p即证： ddQ1040132QLCB但不能说从 到 的每个微小过程都有CB013.18一台家用冰箱放在气温为300K的房间内,做盒-13的冰块需从冷冻室中吸出2.09105J的热量.设冰箱为卡诺制冷机,求：(1)做一盒冰块所需之外功；(2)若此冰箱能以2.0910 2Js-1的速率取出热量,求所要求的电功率是多少瓦? (3)做一盒冰块所需之时间. 解：(1)卡诺循环 制冷系数 212TAQe23abcp VOabcdVOp代入数据得 5.6203eJQA452169(2) WeP2.35.0 (3) hsQt 8.19.232 13.19
33、 以可逆卡诺循环方式工作的致冷机,在某种环境下它的致冷系数为 w=30.在同样的环境下把它用作热机,问其效率为多少？ 答案： %2.3解：卡诺循环 制冷系数 得 AQw2AQ2卡诺热机循环效率 且 121%2.301wA13.20 根据热力学第二定律证明: ()两条绝热线不能相交;() 一条等温线和一条绝热线不能相交两次.解：(1)假设两条绝热线可以相交，如图所示 为等温线 、 为绝热线abbca此循环过程中 即热全部转化为功，AQ1这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾所以，即证得：两条绝热线不能相交(2) 假设一条等温线和一条绝热线可以两次相交，如图所示为等温线 为绝热线abcd此循环过程中
34、 即热全部转化为功AQ1这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾，即证2413.21 一杯质量 180g 温度为 100 0C 的水置于 270C 的空气中 ,冷却到室温后水的熵变是多少？空气的熵变是多少？总熵变是多少？答案：-164J/K，233J/K，69J/K 解：熵变的定义： 热量的计算公式: TdQSmcdTQ112 65307ln2.480ln21 KJmcS水122 8.TTd空 气101658KJSS空 气水总13.22 1mol 理想气体经一等压过程,温度变为原来的 2 倍.该气体的定压摩尔热容为 Cp,m,求此过程中熵的增量. 答案: lnpCS解： l2121 pTpTpdC
35、S一房间有 N 个分子, 某一宏观态时其中半个房间的分子数为 n. 写出这种分布的熵的表达式 S=kln；n=0 状态与 n=N/2 状态之间的熵变是多少？如果 N=61023,计算这个熵差.解：(1)根据玻耳兹曼熵的表达式 , 得Wkln NnkeNkS AA 222llln(2)熵的变化： kNkNkSAAN 22ln2l 202 (3) 时， 熵差为2316123234.108. KJS25第 14 章14.1 作简谐运动的质点,速度最大值为 3cm/s,振幅 A=2cm,若速度为正最大值时开始计时.(1)求振动的周期；(2)求加速度的最大值；(3)写出振动的表达式.解： (1) 由 ，
36、可得2/mATv/0./34.2Ts(2) 22 2510/mma m(3) 由于 时， ，可知 ，而 ，0tv/10.3/2.5sAv所以有 cos().02cos(1.5/2)xAtt14.2 一水平弹簧振子的振幅 A=2cm,周期 T=0.50s.当 t=0 时 (1)物体过 x=1cm 处且向负方向运动；（2）物体过 x=1cm 处且向正方向运动.分别写出以上两种情况下的振动表达式.解： (1) 2cos().01cos(4)3t tT(2) 2.014/3)xt14.3 设一物体沿 x 轴作简谐振动,振幅为 12cm,周期为 2.0s；在 t=0 时位移为 6.0cm,且向x 轴正方
37、向运动.试求:(1)初相位；(2)t=0.5s 时该物体的位置、速度和加速度；(3)在 x=-6.0cm 且向 x 轴负方向运动时 ,物体的速度和加速度以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间.解： (1) 001cos23A又 ，即0v0sinsin3(2) 时12co()0.5xtcmts0.563ts 06x()cm习题 14.3 图262Ao10.52 2.1sin()63co3tstscmsav(3) 1sx当 时6cm1o230sinv1221i656csaxt14.4 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐振动.第一个振子的振动表达式为,当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时,第二个
38、振子恰在正方)cos(1tAx向位移的端点.求:(1)第二个振子的振动表达式和二者的相位差；(2)若 t=0 时,并向 x 负方向运动,画出二者的 x-t 曲线及旋转矢量图.21解： (1) 用旋转矢量法分析，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰好在正方向端点。如图所示，显然第二个振子比第一个振子落后 。即22所以，第二个振子的振动表达式为 )2cos(2tAx(2) 当 t=0 时， 即有1A32所以， )3cos(tx)6cos(22 tAtA27x(cm) t(s) 2 1 0 -1 -2 习题 14.6 图图 14-41 习题 14.7 图习题 14.4 图14.5
39、两质点沿同一直线作频率和振幅均相同的简谐振动,当它们每次沿相反方向互相通过时,它们的位移均为它们振幅的一半,求这两个质点振动的相位差。解：如图所示： 1212cos()cos()3AtAtt或210依题意取 314.6 一简谐振动如图 14-40 所示,已知速度振幅为 10 cms-1,求振动方程.解：由图可知： , 2Acm002Axv1105ss0cos23x而 0002sinv2co(5)(3xtcm14.7 在光滑的桌面上 ,有劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个弹簧以及质量为 m 的物体,用它们构成两种弹簧振子,如图 14-41 所示.分别求这两个系统的固有角频率.解：(1)若物体
40、从平衡位置向左偏移了 x，则由受力分析可得到kxk)()(F2121合所以，x2A12O习题 14.5 图28而 mk21(2)同样，若物体向左偏移了 ，而两弹簧伸长量分别为 ，则有x21x和。21x所以， ，1kF2x即有 Fx)(2121k)(21所以， 21)(21kmk14.8 有一轻弹簧,下面挂一质量为 10g 的物体时,伸长量为 4.9cm,用此弹簧和一质量为 80g的小球构成一竖直方向的弹簧振子,求振动的周期及振动表达式.解： 弹簧挂 10g 物体平衡时有 kxg)/N(2109.48mxmgk当挂 80 物体时， )/(51083sradk在初始状态 时， 0t0cos./xA
41、cmsv由上方程可求得200tan14x所以 )45cos(12tx14.9 劲度系数 k,质量 M 的水平弹簧振子 ,作振幅为 A 的简谐运动时 ,一块质量为 m 的粘土从 h 高度自由下落到振动物体上并与之一起运动.如果粘土落到振动物体上时,(1)振子刚好处于最远处,(2) 振子刚好处于平衡位置,分别求上面两种情况下振子的周期和振幅？解： (1) m 在 M 处于最远处时落在物体上一同运动且振幅仍为 A。292MmTk(2) 振子处于平衡位置时 m 下落粘合：此时水平方向无外力作用， ，动量守恒：0xF设振子运动速度 ，一同运动速度 。则0vv0 0()MMm振子系统机械能守恒：22011
42、()kAmv,M2mTk14.10 质量为 m=0.01kg,摆长为 l=1m 的单摆开始时处在平衡位置.(1)若 t=0 时给摆球一个向右的水平冲量 I=0.05kg.m/s,且摆角向右为正,求振动的初相位及振幅；(2) 若冲量向左则初相位为多少？解： (1) 由 时， 可知0t0,v025/IImms201(cos)glvcos.61.mmrad(2) 时，0t002v14.11 一物体放在水平木板上,此板沿水平方向作简谐振动,频率为每秒 2 次,物体与板面间的最大静摩擦系数为 0.50.问:(1)当此板沿水平方向作频率为 2Hz 的简谐振动时,要使物体在板上不致滑动,振幅的最大值应是多大？(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动,振幅为5.0cm,要使物体一直保持与板面接触,则振动的最大频率是多少？解： (1)当板沿水平方向运动时，物体是在静摩擦力作用下作简谐振动，当该静摩擦力未达到最大静摩擦力时，物体不致在木板上滑动。Ak(1)2习题 14.9 图 mlI习题 14.10 图30xmaf2最大静摩擦力 gax物体不致在木板上滑动，满足 ，maxaf所以 mg
