1、 本页已使用福昕阅读器进行编辑。福昕软件，版权所有，仅供试用。第二十四章 时间序列模型时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。1按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。2按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。3按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的（狭义的）平 稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足：（1）均值为常数（2）协方差为时间间隔
2、的函数。则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。4按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。1 确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。（1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。（2）季节变动。（3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。（4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。通常用Tt表
3、示长期趋势项，St 表示季节变动趋势项，Ct表示循环变动趋势项，Rt表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型：（1）加法模型yt = Tt + St + Ct + Rt（2）乘法模型yt = Tt St Ct Rt（3）混合模型yt = Tt St + Rtyt = St +Tt Ct Rt2 2其中 yt是观测 目标的观测记录， E(Rt ) = 0， E(Rt ) = 。如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。2 移动平均法移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项
4、数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序-280-本页已使用福昕阅读器进行编辑。福昕软件，版权所有，仅供试用。列的长期趋势。移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。2.1 简单移动平均法设观测序列为 y 1,L, yT，取移动平均的项数 N 0. 00001Te r r = ;f or j =N+1: m- 1yha t ( j ) =w*yt ( j - 1: - 1: j - N) ;e r r =yt ( j ) - yha t ( j )
5、 ;Te r r = Te r r , a bs ( e r r ) ;w=w+2*k*e r r *yt ( j - 1: - 1: j - N) ;e ndTe r r =ma x( Te r r ) ;yha te ndw,5.2 N,k值和初始权数的确定在开始调整权数时，首先要确定权数个数 N 和学习常数 k。一般说来，当时间序列的观测值呈季节变动时， N 应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节变动时，若数据是月度的，则取 N =12，若季节是季度的，则取 N = 4。如果时间序列无明显的周期变动，则可用自相关系数法来确定，即取 N 为最高自相关系数的滞后时期。k的取值一般可定
6、为1/ N ，也可以用不同的k值来进行计算，以确定一个能使S最小的k值。初始权数的确定也很重要，如无其它依据，也可用1/ N 作为初始权系数用，即wi = N1 (i =1,2,L, N)自适应滤波法有两个明显的优点：一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数和学习常数，以控制预测。也可以由计算机自动选定。二是它使用了全部历史数据来寻求最佳权系数，并随数据轨迹的变化而不断更新权数，从而不断改进预测。由于自适应滤波法的预测模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，所以这种预测方法应用较为广泛。6 趋势外推预测方法趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物未来状况
7、的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：（a）选择应预测的参数；（b）收集必要的数据；（c）利用数据拟合曲线；（d）趋势外推；（e）预测说明；（f ）研究预测结果在进行决策中应 用的可能性。趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等。6.1 指数曲线法一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。指数曲线的数学模型为y = y0e Kt （35）其中系数 y0和 K值由历史数据利用回归方法求得。对式（ 35）取对数可得ln y = ln y0 + Kt
8、 （36）-296-令则Y = ln y， A = ln y0Y = A+ Kt其中 A, K可以用最小二乘法求得。6.2 修正指数曲线法利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。yt = K + abt （37）在此数学模型中有三个参数 K,a和b要用历史数据来确定。修正指数曲线用于描述这样一类现象。（1）初期增长迅速，随后增长率逐渐降低。（2）当 K 0， a
9、0 , 0 0。解此微分方程得Ly = 1+cert式中c为常数。下面我们记 Logistic曲线的一般形式为1K + abyt = t， K 0，a 0，0 2，于是I3 1I 2 = 0 1 = II32 。注意：以 AR(3)中的 I 1,I 2,I3替代 ARMA(2,1) 中的 I1,I 2,I3是一种近似代替。通-306-过这种方法求得的1的绝对值若大于 1，则取其倒数作为初始值，以满足可逆性条件。知道了 I1,I 2,I3及1，再用下式来确定 ARMA(2,1)模型中的 1, 2：1 = I1 +1； 2 = 2 1I1 + I 2。（3）以（2）中得到的1, 2,1为初始值，利
10、用非线性最小二乘法得到1, 2,1的终值及置信区间，并且求出残差平方和(RSS)。3n = n +1， 拟合 ARMA(2n,2n 1)模型其基本步骤与 2类似。4用 F准则检验模型的适用性。若 F检验显著，则转入第 2步。若 F检验不显著，转入第 5步。对于 ARMA 模型的适用性 检验的实际就是对at 的独立性检验。检验at的独立性的一个简便而有效的办法是拟合更高阶的模型。若更高阶模型的残差平方和有明显减少，就意味着现有模型的 at不是独立的，因而模型不适用；若更高阶模型的残差平方和没有明显减少，同时更高阶模型中的附加参数的值也很小（其置信区间包含 0），则可认为该模型是适用的。具体的检验
11、准则如下。设有模型 ARMA(n1,m1)和 ARMA(n2,m2)， n2 n1,m 2 m1 。假设A0 = ARMA(n1,m1)模型的残差at之平方和，A1 = ARMA(n2,m2)模型的残差at之平方和， N 是采集数据的数目，则检验准则为：F = 1A A0s N F(s,N )，A0其中 = n2 + m2，s = n2 + m2 (n1 + m1)。若这样得到的 F值超过由 F分布查表所得的在 5%置信水平上的 F(s,N )值，那么由ARMA(n1,m1)模型改变为ARMA(n2,m2)时，残差平方和的改善是显著的，因而拒绝关于模型 ARMA(n1,m1)的适用性假设； F
12、值 低于查表所得之值，就可以认为在该置信水平上这个模型是适用的。5检查 2n, 2n1的值是否很小，其置信区间是否包含零。若不是，则适用的模型就是ARMA(2n,2n 1)。若 2n, 2n1很小，且其置信区间包含零，则拟合 ARMA(2 n 1,2n 2)。6利用 F准则检验模型ARMA(2n,2n 1)和 ARMA(2n 1,2n 2)，若 F值不显著，转入第 7步；若 F值显著，转入第 8步。7舍弃小的 MA参数，拟合m 2n 2的模型 ARMA(2n 1,m)，并用 F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。8舍弃小的 MA参数，拟合m 2n 1的模型ARMA(
13、2n,m)，并用 F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。习题二十四1我国 19741981年布的产量如表 11所示。表 11 19741981年布的产量年份 197480.8197594.0197688.41977101.51978110.31979121.51980134.71981142.7产量(亿米)-307-（1）试用趋势移动平均法（取 N = 3），建立布的年产量预测模型。= y1 + y2 + y3（2）分别取 = 0.3， = 0.6，S (1) = S0(2)0= 87.7，建立布的直3线指数平滑预测模型。（3）计算模型拟合误差，比较 3个模型的优劣
14、。（4）用最优的模型预测 1982年和 1985年布的产量。219601982年全国社会商品零售额如表 12所示（单位：亿元）。表 12 全国社会商品零售额数据年份零售总额年份1960696.91968737.319761961607.71969801.5197719626041963604.51971929.2197918001964638.219721023.319801965670.319731106.719811966732.819741163.619821967770.51975197085819781558.6零售总额年份1271.1零售总额 1339.4 1432.8 2140 2350 2570试用三次指数平滑法预测 1983年和 1985年全国社会商品零售额。3某地区粮食产量（亿千克），从 19691983年顺次为：3.78，4.19，4.83，5.46，6.71，7.99，8.60，9.24，9.67，9.87，10.49，10.92，10.93，12.39，12.59，试选用 23种适当的曲线预测模型，预测 1985年和 1990年的粮食产量。-308-
