1、内蒙古工业大学毕业论文设计1变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理1.变质量指点的运动微分方程1. 变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时
2、的质量为 ，速度为 ；再瞬时 ,有微小质量tmvtd并入，只是指点的质量为 ,速度为 ；微小质量 在尚未并dmddm入的瞬时 ,它的速度为 ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。设作用t1v于质点系的外力为 。()eF质点在瞬时 的动量为：t11pvdm质点系在瞬时 的动量为：t2()v根据动量定理()21edpFdt得()1()(emvmvFdt将上式展开得()1eddt略去高阶微量 ，并以 除各项，得vt()1emvFt或()1(edvt上式中 是微小质量 在并入前相对于质点 的相对速度 ，令1()v mrv内蒙古工业大学毕业论文设计2rdmFvt则可以得到()et上式称为变质量质点的运动
3、微分方程。式中 是变量， 是代数量。mdt变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。其中 常F称为反推力。2. 两种常用的质量变化规律1.质量按线性规律变化。设变化规律为, 0(1)mt1式中 , 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。由0知，其反推力为dt0rrdFvmt由上式可知，当 为常量时，反推力 也为常量，且与 方向相反。r Frv3. 质量按指数规律变化。设变化规律为0tme式中 ， 全为常数。由 知，其反推力为0 0tdmettrrFvvt令 表示仅在反推力 作用下变质量质点的加速度arvm则当 为常量时， 也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量。 rv
4、a2.变质量质点的动力学普遍定理1.变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量 ，其中 是时间 的函数，pmv()tt将动量对时间求导得内蒙古工业大学毕业论文设计3()dpmvdvttt得出rFtt记并入（或放出）质量的绝对速度为 ，即1v1rv则有1dpmFvtt记1at称 为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲aF且能改变质点的动量。得出：= +dpt()mvFa上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数，等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。将上式积分，设 =0 时质点质量为 ，速度为 ，得t00
5、v= + = +0mvtFd0tatFd01m上式称为变质量质点动量定理的积分形式。2.变质量质点的动量矩定理变质量质点对任一点 的动量矩为OOLrv式中 为从点 指向该质点的矢径，点 为定点。将上式对时间 求导，得r t= = + =dt()mdrvt()mt()drvt上式称为变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。3.变质量质点的动能定理变质量质点动量订立的微分形式可以写为+ = +dvmtF1dmvt将上式各项点乘 ，得r1r内蒙古工业大学毕业论文设计4由于 ，
6、因此上式可以写为21()vmvddm21()Frvdm或21()advd上面两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点的动能微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量 的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。4. 实际问题中的变质量质点的动量定理及动量矩定理日常生活或工程实践中，常会遇到质量不断变化的质点系，例如，向外喷射气体的火箭、吸入空气同时又喷出燃气的喷气式飞机、冻结或融化中的浮冰等有的是不断地并入质量，有的是不断地放出质量，有的既并入又放出质量，这样的质点系称为变质量物体变质量问题是理论力学研究的一个重要内容。通常
7、用到的几个变质量物体运动方程1. 变质量物体的平动运动方程 ()ddmmVFuFtt该式是研究变质量问题的一个基本方程，简称密歇尔斯基方程。2. 变质量物体绕定点转动的运动方程 ()()nrvdrdt上式中 叫合外力距， 叫反推力矩， 叫向心力距。FmutdrnF3. 变质量物体绕定点做一般曲线运动的方程 ()()()ndrmvFdrFt 式中 称为切向力矩。F例：用手拿住均匀链条的上端，使下端刚好着地，突然将手放开，使链条竖直下落，求下落速度，并求证地面受到的最大压力是链条重量的 3 倍。解 ： 设 轴向下， 轴原点在链条初始位置的最高点，对空中长为 和即xx lx将落地的微质量链条组成的变
8、质量体系进行考虑， ， ，()mlxd为地面静止链条向上作用于微质量链条 的力， 是 与空中主体链条分Ndu开后的瞬时速度即 ，对该变质量体系应用变质量运动的微分方程可得0()dvdmgNvtt化为： 2t内蒙古工业大学毕业论文设计5再将上面用动量定理求出的 代入得21NTmgvdvmgt于是有2x而地面受到的压力为211TNmgv当全部落下时，2vl2l得出最大压力为 gl=3TM因此，地面受到最大的压力为链条重量的 3 倍。3.参考文献【1】 江优良 廖湘萍变质量物体运动微分方程应用讨【2】 郑荣霞 肖泰明 罗跃 变质量质点力学的动量矩定理及动能定理研究湖北成人教育学院学报 2008【3】 颜振珏 从变质量的运动谈起 黔南民族师范学院学报 2008【4】 王奇文 李建国变质量物体的运动方程和应用 河南科学 2009【5】 余君彦 李德明对变质量质点运动的讨论及应用 科技信息 2006
