1、河 北 省 “ 五 个 一 名 校 联 盟 ” 2019 届 高 三 第 一 次 诊 断 考 试数 学 （ 理 科 ） 试 题 2019.2（ 满 分 ： 1 5 0 分 ， 测 试 时 间 ： 1 2 0 分 钟 ）第 I 卷 （ 选 择 题 共 60 分 ）一 、 选 择 题 ： 本 题 共 1 2 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 .1 i是 虚 数 单 位 ， 41 iz i 则 | |z A2 B 2 2 C 4 D 4 22 集 合 |2lg 1A x x ， 2| 9 0B x x
2、 ， 则 A B A 3,3 B 0, 10 C 0,3 D 3, 103 已 知 向 量 2a ， 1b ， ( 2 ) 2a a b ， 则 a与 b 的 夹 角 为A o30 B o60 C o90 D o1504 如 图 所 示 的 图 形 是 弧 三 角 形 ， 又 叫 莱 洛 三 角 形 ， 它 是 分 别 以 等 边 三 角 形 ABC的 三 个 顶 点 为圆 心 ， 以 边 长 为 半 径 画 弧 得 到 的 封 闭 图 形 .在 此 图 形 内 随 机 取 一 点 ， 则 此 点 取 自等 边 三 角 形 内 的 概 率 是A 32 3 B 32 2 3 C 33 D 34
3、2 3 5 已 知 圆 2 2 2 ( 0)x y r r 与 抛 物 线 2 2y x 交 于 ,A B两 点 ， 与 抛 物 线 的 准 线 交 于 ,C D两点 ， 若 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， 则 r等 于A 22 B 2 C 52 D 56 函 数 1ln( 1)y x x 的 图 象 大 致 为A B C D7 若 1p ， 0 1m n ， 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是A 1pmn B p m mp n n C p pm n D log logm np p8 已 知 棱 长 为 1 的 正 方 体 被 两 个 平 行 平 面 截 去 一 部 分 后 ， 剩 余
4、 部 分 的 三视 图 如 图 所 示 ， 则 剩 余 部 分 的 表 面 积 为A 23 B 3 3C 9 32 D 2 39 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 R， 且 ( ) ( 3)f x f x ， 当 2 0x 时 ， 2( ) ( 1)f x x ； 当 0 1x 时 ， ( ) 2 1f x x ， 则 (1) (2) (3) (2018)f f f f A 6 7 1 B 6 7 3 C 1 3 4 3 D1 3 4 51 0 如 图 所 示 ， 直 三 棱 柱 的 高 为 4 ， 底 面 边 长 分 别 是 5 ， 1 2 ， 1 3 ， 当 球 与 上 底 面 三
5、 条 棱 都 相 切 时球 心 到 下 底 面 距 离 为 8 ， 则 球 的 体 积 为A 160 53 B 64 23 C 96 33 D 256 23 1 1 函 数 ( ) sin 3cosf x x x ( 0) 与 函 数 ( )y g x 的 图 像 关 于 点 ,03 对 称 ， 且( ) ( )3g x f x ， 则 的 最 小 值 等 于A 1 B 2 C 3 D 41 2 已 知 函 数 ( ) ( 1)xf x e x ， 若 关 于 x的 方 程 | ( ) | | ( ) 1| 1f x a f x a 有 且 仅 有 两 个 不同 的 整 数 解 ， 则 实 数
6、 a的 取 值 范 围 是A 22 3 1, 1)e e B 22 3 , )e e C 2 1, e D 20, e第 II 卷 （ 共 9 0 分 ）本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 1 3 题 第 2 1 题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 ；第 2 2 题 第 2 3 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 。1 3 若 x， y 满 足 11 3xyx y ， 则 2z x y 的 最 小 值 为1 4 在 51 1 1xx 的 展
7、开 式 中 常 数 项 等 于1 5 已 知 双 曲 线 22: 13yC x 的 左 右 焦 点 分 别 为 1F 、 2F ， 点 A在 双 曲 线 上 ， 点 M 的 坐 标 为2,03 ， 且 M 到 直 线 1AF ， 2AF 的 距 离 相 等 ， 则 1| |AF 1 6 在 ABC 中 ， 内 角 A B C、 、 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c ， D 是 AB 的 中 点 ， 若 1CD 且1( )sin ( )(sin sin )2a b A c b C B ， 则 ABC 面 积 的 最 大 值 是三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明
8、 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。1 7 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）已 知 数 列 na 满 足 1321 2 1 2 22 2 2 nnna aaa *( )n N ， 4logn nb a（ ） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ ） 求 数 列 11n nb b 的 前 n项 和 nT 1 8 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ） 山 东 省 高 考 改 革 试 点 方 案 规 定 ： 从 2 0 1 7 年 秋 季 高 中 入 学 的 新 生 开 始 ， 不 分 文 理 科 ； 2 0 2 0年 开 始 ， 高 考 总 成 绩 由 语 数 外 3 门 统
9、 考 科 目 和 物 理 、 化 学 等 六 门 选 考 科 目 构 成 .将 每 门 选 考 科 目的 考 生 原 始 成 绩 从 高 到 低 划 分 为 A、 B+、 B、 C+、 C、 D+、 D、 E 共 8 个 等 级 .参 照 正 态 分 布 原 则 ，确 定 各 等 级 人 数 所 占 比 例 分 别 为 3 %、 7 %、 1 6 %、 2 4 %、 2 4 %、 1 6 %、 7 %、 3 %.选 考 科 目 成 绩 计 入 考 生总 成 绩 时 ， 将 A 至 E 等 级 内 的 考 生 原 始 成 绩 ， 依 照 等 比 例 转 换 法 则 ， 分 别 转 换 到 9 1
10、 ,1 0 0 、 8 1 ,9 0 、7 1 ,8 0 、 6 1 ,7 0 、 5 1 ,6 0 、 4 1 ,5 0 、 3 1 ,4 0 、 2 1 ,3 0 八 个 分 数 区 间 ， 得 到 考 生 的 等 级 成 绩 某 校 高 一 年 级 共 2 0 0 0 人 ， 为 给 高 一 学 生 合 理 选 科 提 供 依 据 ， 对 六 个 选 考 科 目 进 行 测 试 ， 其 中 物理 考 试 原 始 成 绩 基 本 服 从 正 态 分 布 N（ 6 0 ,1 6 9 ） （ ） 求 物 理 原 始 成 绩 在 区 间 （ 4 7 ,8 6 ） 的 人 数 ；（ ） 按 高 考
11、 改 革 方 案 ， 若 从 全 省 考 生 中 随 机 抽 取 3 人 ， 记 X表 示 这 3 人 中 等 级 成 绩 在 区 间 6 1 ,8 0 的 人 数 ， 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .（ 附 ： 若 随 机 变 量 2( , )N ， 则 ( )=0682P . ，( 2 2 )=0954P . ， ( 3 3 )=0997P . ）1 9 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）如 图 ， 在 四 面 体 ABCD中 ， ,E F 分 别 是 线 段 ,AD BD的 中 点 ， o90ABD BCD ，2EC ， 2AB BD ， 直 线 EC与 平 面 ABC
12、所 成 的 角 等 于 o30 （ ） 证 明 ： 平 面 EFC 平 面 BCD；（ ） 求 二 面 角 A CE B 的 余 弦 值 2 0 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）椭 圆 2 22 2: 1 ( 0)x yE a ba b 的 离 心 率 是 53 ， 过 点(0,1)P 做 斜 率 为 k 的 直 线 l ， 椭 圆 E 与 直 线 l 交 于 ,A B 两 点 ， 当 直 线 l 垂 直 于 y 轴 时| | 3 3AB （ ） 求 椭 圆 E的 方 程 ；（ ） 当 k变 化 时 ， 在 x轴 上 是 否 存 在 点 ( ,0)M m ， 使 得 AMB 是 以 AB
13、 为 底 的 等 腰 三 角 形 ，若 存 在 求 出 m的 取 值 范 围 ， 若 不 存 在 说 明 理 由 2 1 （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）已 知 函 数 2( )= 2lnf x x ax x （ a为 常 数 ）（ ） 若 ( )f x 是 定 义 域 上 的 单 调 函 数 ， 求 a的 取 值 范 围 ；（ ） 若 ( )f x 存 在 两 个 极 值 点 1 2,x x ， 且 1 2 3| | 2x x ， 求 1 2| ( ) ( )|f x f x 的 最 大 值 请 考 生 在 2 2 ,2 3 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则
14、按 所 做 的 第 一 题 计 分 。2 2 （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ）在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 cos ,sinx ty t （ t为 参 数 ） ， 在 以 坐 标 原 点 为 极点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 1: 2cosC ， 曲 线 2 : cos( )3C （ ） 求 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 若 直 线 l与 曲 线 1C , 2C 分 别 相 交 于 异 于 原 点 的 点 ,M N,求 | |MN 的 最 大 值 .2 3 （ 本 小 题 满 分 1 0 分
15、 ）已 知 ( ) | 1| | 1|f x x ax , ( ) | 1| 2g x x （ ） 若 12a ,求 不 等 式 ( ) 2f x 的 解 集 ；（ ） 设 关 于 x的 不 等 式 ( ) ( )f x g x 的 解 集 为 A,若 集 合 (0,1 A ,求 a的 取 值 范 围 .理 科 数 学 评 分 标 准 参 考一 、 选 择 题1 . B 2 . C 3 .B 4 . B 5 .C 6 . A 7 . D 8 . B 9 . D 1 0 . A 1 1 . D 1 2 .A二 、 填 空 题1 3 . 2 1 4 . 9 1 5 . 4 1 6 . 155三 、
16、 解 答 题1 7 【 解 析 】 （ ） 当 1n 时 ， 1 2a 当 2n 时 由 1321 2 1+ 2 32 2 2 nnna aaa 3 121 2 2+ 2 32 2 2 nnna aaa 两 式 相 减 得 1 22 nnna ， 即 2 12 nna 4 分且 上 式 对 于 1n 时 也 成 立 所 以 数 列 na 的 通 项 公 式 2 12 nna 6 分（ ） 因 为 2 14 2 1log 2 2nn nb ， 8 分11 4 1 12( )(2 1)(2 1) 2 1 2 1n nb b n n n n 1 0 分所 以 1 2 2 3 11 1 1n n nT
17、 b b b b b b 1 1 1 1 1 2(1 ) ( ) ( )3 3 5 2 1 2 1n n 1 2(1 )2 1n 4 2 1nn 1 2 分1 8 【 解 析 】 （ ） 因 为 物 理 原 始 成 绩 2(60,13 )N 则 (47 86) (47 60) (60 86)P P P 0.682 0.954 0.8182 2 3 分所 以 物 理 原 始 成 绩 在 （ 4 7 ， 8 6 ） 的 人 数 为 2000 0.818 1636 （ 人 ） 5 分（ ） 随 机 抽 取 1 人 ， 其 成 绩 在 区 间 6 1 ,8 0 的 概 率 为 25所 以 随 机 抽
18、取 三 人 ， 则 X 可 取 0 ,1 ,2 ,3 ， 且 2(3, )5X B 7 分33 27( 0) 5 125P X 213 2 3 54( 1) 5 5 125P X C 223 2 3 36( 2) 5 5 125P X C 32 8( 3) 5 125P X 所 以 X 的 分 布 列 为1 0 分数 学 期 望 2 6( ) 3 5 5E X 1 2 分1 9 【 解 析 】 （ ） 在 tR BCD 中 ， F 是 斜 边 BD的 中 点 ， 所 以 1 12FC BD .因 为 E F， 是 AD BD， 的 中 点 ， 所 以 1 12EF AB ， 且 2EC ，所
19、以 2 2 2EF FC EC ， EF FC .2 分又 因 为 , /AB BD EF AB ， 所 以 EF BD ，且 BD FC F ， 故 EF 平 面 BCD因 为 EF 平 面 EFC ， 所 以 平 面 EFC 平 面 BCD5 分（ ） 方 法 一 ： 取 AC 中 点 M ， 则 /ME CD因 为 1 22CE AD ， 所 以 CD AC .又 因 为 CD BC ， 所 以 CD平 面 ABC， 故 ME 平 面 ABC因 此 ECM 是 直 线 EC与 平 面 ABC所 成 的 角2 2 cos30 6,AC MC EC 所 以 2CD BC .8 分过 点 B作
20、 BN AC 于 N ， 则 BN 平 面 ACD，2 33AB BCBN AC X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125过 点 B作 BH EC 于 H ， 连 接 HN ，则 BHN 为 二 面 角 A CE B 的 平 面 角 .1 0 分因 为 2BE BC EC ，所 以 2 23 6 6,2 2 6BH BE HN BH BN 1cos 3HNBHN BH 因 此 二 面 角 A CE B 的 余 弦 值 为 13 1 2 分方 法 二 ：如 图 所 示 ， 在 平 面 BCD 中 ， 作 x 轴 BD， 以 B 为 坐 标 原点 ， BD， BA 为 y
21、， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .因 为 2CD BC (同 方 法 一 ,过 程 略 )则 (1,1,0)C ， (0,0,2)A , (0,1,1)E 8 分所 以 =( 1,0,1)CE , (0,1,1)BE , (0,1, 1)AE 设 平 面 ACE的 法 向 量 1 1 1( , , )m x y z则 0C 0AE mE m 即 1 11 1 00y zx z 取 1 1x ,得 1,1,1m （ ） 1 0 分设 平 面 BCE 的 法 向 量 2 2 2( , , )n x y z则 00BE nCE n 即 2 22 2 00y zx z 取 2 1x ,
22、得 1, 1,1n （ ）所 以 1 1cos , =3| | | 3 3m nm n m n 因 此 二 面 角 A CE B 的 余 弦 值 为 13 1 2 分2 0 【 解 析 】 （ ） 由 已 知 椭 圆 过 点 3 3,12 ， 可 得2 22 2 227 1 14 53a ba b cca ， .3 分解 得 2 29, 4a b 所 以 椭 圆 的 E方 程 为 2 2 19 4x y . 5 分（ ） 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， AB 的 中 点 0 0( , )C x y由 2 2 119 4y kxx y 消 去 y 得 2 2
23、(4 9 ) 18 27 0k x kx ，所 以 1 20 0 02 29 4, 12 4 9 4 9x x kx y kxk k . 7 分当 0k 时 ，设 过 点 C且 与 l垂 直 的 直 线 方 程 2 21 9 4( )4 9 4 9ky xk k k 将 ( ,0)M m 代 入 得 ： 54 9m kk 9 分若 0k ， 则 4 49 2 9 =12k kk k ，若 0k ， 则 4 4 49 ( 9 ) 2 ( 9 )= 12k k kk k k 所 以 5 012 m 或 50 12m 1 1 分当 0k 时 ， 0m综 上 所 述 ， 存 在 点 M 满 足 条 件
24、 ,m 取 值 范 围 是 5 512 12m .1 2 分2 1 【 解 析 】 （ ） 22 2 2( ) 2 , (0, )x axf x x a xx x 设 2( ) 2 2g x x ax ， 定 义 域 为 (0, )由 二 次 函 数 图 象 性 质 可 知 ， 函 数 ( )f x 是 单 调 函 数 等 价 于 ( ) 0g x 恒 成 立 ， 2 分所 以 04a 或 2 04 16 0aa 解 得 4a .5 分（ ） 由 （ I） 函 数 ( )f x 的 两 个 极 值 点 1 2,x x 满 足 22 2 0x ax ，所 以 1 2 1 21, 2ax x x
25、x 不 妨 设 1 20 1x x ， 则 ( )f x 在 1 2( , )x x 上 是 减 函 数 ，2 2 11 2 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) 2ln xf x f x x x a x x x 2 2 11 2 1 2 1 2 22 2 12 1 22( )( ) 2ln2ln xx x x x x x xxx x x 2 22 2221 2lnx xx 8 分令 22t x 设 函 数 1( ) 2ln ( 1)h t t t tt 因 为 22 21 2 ( 1)( ) 1 0th t t t t ，所 以 ( )h t 在 (1, ) 上 为 增 函 数 .1 0
26、 分由 1 2 2 21 32x x x x ， 即 22 22 3 2 0x x ，解 得 21 2x ， 故 221 4x 1 2 15( ) ( ) (4) 2ln44f x f x h 所 以 1 2( ) ( )f x f x 的 最 大 值 为 15 2ln44 .1 2 分2 2 【 解 析 】 （ ） 极 坐 标 方 程 cos( )3 可 化 为 1 3cos sin2 2 2 分等 价 于 2 1 3cos sin2 2 ，将 2 2 2cos , sin ,x y x y 代 入 ，所 以 曲 线 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 1 3 02 2x y x
27、y .5 分（ ） 不 妨 设 0 ， 点 ,M N 的 极 坐 标 分 别 为 1 2( , ),( , ) 所 以 1 2MN 2cos cos( )3 7 分3 3cos sin2 2 3 sin( )3 所 以 当 56 时 ， MN 取 得 最 大 值 3. 1 0 分2 3 【 解 析 】 （ ） 若 12a ， 则 1 1 22xx ，等 价 于 13 22x x 或 2 12 22xx 或 213 22x x 3 分解 得 40 3x 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 4|0 3x x 5 分（ ） 由 题 意 可 知 ， 对 于 0,1x ， 不 等 式 1 1 1 2x ax x 恒 成 立可 化 为 1 1 3x ax x 化 简 得 1 2 2ax x 7 分所 以 2 3 2 1x ax x ，即 3 12 2ax x 因 为 1 32 3, 2 5x x 所 以 5 3a 1 0 分
