1、 2019 高考数学百日特训 专题五 三角函数与三角恒等变换 同角三角函数的基本关系诱导公式 【背一背基础知识】 1.同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1+=, sintan cos = . 2. 诱导公式 记忆方法： 可用十个字概括为 “ 奇变偶不变，符号看象限 ” ， 要 把 角 化成 形式为 90k （ k为常整数）； 奇变偶不变 是指：当 k 为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当 k 为奇数时，三角函数名称变，即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变； 符号看象限 是指：把 看成锐角时，为第几象限角，由 原 三角函数在各象限 符号决定正负号，
2、具体 一二象限正弦为正，一 四象限余弦为正，一三象限正切为正，其它为负 【讲一讲释疑解惑】 1.必备技能： （ 1）同角三角函数的基本关系式包括 :(1)平方关系 ,(2)商数关系 . 解题时 常用的变形措施有：大角化小，切割 化弦等，应用 “ 弦化切 ” 的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的 cos ，得到一个只含 tan 的教简单的三角函数式 。 需注意的是 :这是一组同角关系式 ,利用平方关系式进行开方运算时 ,需注意运算结果的正负符号 ,计算中应尽可能少用平方关系式 . （ 2） “ sin cosxx 、 sin cosxx ”的应用 sin cosxx 与 sin cosxx 通
3、过平方关系 联系到一起，即 2( s i n c o s ) 1 2 s i n c o sx x x x = ， 2( s i n c o s ) 1s i n c o s ,2xxxx += 21 ( s i n c o s )s i n c o s .2xxxx = 即 2s in c o s 2 t = （根据 判断正负）；因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个 . （ 3）应用同角关系式的技巧 : “1“的代换 :1 sin2 cos2 cos2 (1 tan2 ) tan4 . 整体代换 :为了计算或化简需要可将计 弦化切：把正弦、余弦化成切得
4、结构形式，这样减少了变量，统一为“切”的表达式，进行求值 . 如 sin ,cos的二次齐次式（如 22s i n s i n c o s c o sa b c +）的问题常采用“ 1”代换法 求解； sin ,cos的齐次分式（如 sin cossin cosabcd+ ）的问题常采用分式的基本性质进行变形 (4)温馨提示： 利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ”号 . 常用结论： s i n c o s c o s4 4 4x x x + = = ； c o s s in44xx + = 常见的互余关系有： 3 + 与 6 ； 3 与 6 + ； 4 + 与 4
5、 等 . 常见的互补关系有： 3 + 与 23 ; 4 + 与 34 等 . 2.典型例题： 例 1【 2017 课标 3，文 6】函数 1 ( ) s i n ( ) c o s ( )5 3 6f x x x= + + 的最大值为（ ） A 65B 1 C 35D 15例 2 若 5sin 13= ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于（ ） A 125 B 125 C 512 D 512 三角恒等变换 【背一背基础知识】 1.两角和与差的三角函数 : s i nc o sc o ss i n)s i n ( = ； s i ns i nc o sc o s)c o s ( = ； ta
6、 n ta nta n ( ) 1 ta n ta n = . 2.二倍角公式 : cossi n22si n = ； 2222 s i n211c o s2s i nc o s2c o s = ； 22 ta nta n 2 1 ta n = . 3.降幂公式 : 2s in21co ss in = ； 2 2cos1sin 2 = ； 2 2cos1cos 2 += . 4.常用结论： tan tan )t a nt a n1)(t a n ( + ； cos2 1 cos 22 ， sin2 1 cos 22 ； 1 sin 2 (sin cos )2,1 sin 2 (sin cos
7、)2， )4s in (2c o ss in +=+ . 拆角、拼角技巧 ： 2 ( ) ( )； 2 2 ； 2 )2()2( + . 5.辅助角公式 : ( )22s i n c o s s i na x b x a b x + = + +，2 2 2 2s i n c o sbaa b a b=+其 中 ，. 其中 可由 a， b 的值唯一确定 【讲一讲释疑解惑】 1.必备技能 ： （ 1） 利用公式化简三角函数的原则和要求 原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三 角函数名称转化，以保证三角函数 名称最少 . 要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽
8、可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 . （ 2）证明三角恒等式的主要思路 由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简 . 左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子 . 转化化归法：先将要 证明的结论恒等变形 ，再证明 . 2.典型例题： 例 1.【 2018 年全国卷文】 函数 的最小正周期为 A. B. C. D. 例 2.【 2017 课标 1，文 15】已知 (0 )2a ， ， tan =2，则 cos( )4 =_ 三角函数的图象与变换 【背一背基础知识】 1.正弦函数 sinyx= ，余弦函数 cosyx= ，正切函数 tanyx= 的图象与性质 性 质
9、 sinyx= cosyx= tanyx= 图象 定义域 R R ,2x x k k + 值域 1,1 ,1R最值 当2 2xk=+( )k时， max1y =；当=( )k时，min 1y = 当( )2x k k= 时， ax1y；当2 ( )k时，min 1y = 既无最大值，也无最小值 周期性 22奇偶性 sin( ) sin ,xx = 奇函数 cos( ) cos ,=偶函数 tan( ) tan , = 奇函数 单调性 在2 , 222kk+( )k上是 增函数；在 32 , 2+( )k上是减函数 在 ( )2 , 2k k k 上是增函数；在 2 , 2 +( )k上是减函数
10、 在,( )k上是增函数 对称性 对称中心( )( ),0 对称轴( )2x k k= + ，既是中心对称又是轴对称图形 . 对称中心( ),02+ 对称轴( )x k k= ，既是中心对称又是轴对称 图形 . 对称中心( ),02k k 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形 . 2函数 ( ) sin ( )f x A x=+的问题： (1)“ 五点法 ” 画图：分别令 30 , , , , 222x += ，求出五个特殊点； ( ) 由 sinyx= 的图象变换出 ( ) sin ( )f x A x=+的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活 进行图象变换。 i.函数图像的变
11、换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数 ( )y f x= 向左平移 ( )0 个单位，得到函数 ( )y f x =+的图像 ; 把函数 ( )y f x= 向右平移 ( )0 个单位，得到函数 ( )y f x =的图像 ; 把函数 ( )y f x= 向上平移 ( )0 个单位，得到函数 ( )y f x =+的图像 ; 把函数 ( )y f x= 向下平移 ( )0 个单位，得到函数 ( )y f x =的图像 . 伸缩 变换 : 把函数 ( )y f x= 图像的纵坐标不变 ,横坐标伸长到原来的 1 ，得到函数 ( )( )01y f x= 的图像 ; 把函数
12、 ( )y f x= 图像的纵坐标不变 ,横坐标缩短到原来的 1 ，得到函数 ( )( )1y f x=的图像 ; 把函数 ( )y f x= 图像的横坐标不变 ,纵坐标伸长到原来的 A ，得到函数 ( )( )1y Af x A=的图像 ; 把函数 ( )y f x= 图像的横坐标不变 ,纵坐标缩短到原来的 A ，得到函数 ( )( )01y A f x A= 的图像 . ii.由 sinyx= 的图象变换 出 ( )sinyx=+( )0 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记
13、每一个变换总是对字 母 x 而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多大变化，而不是 “ 角变化 ”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换 )先将 sinyx= 的图象向左 ( )0 或向右 ( )0 平移 个单位，再将图象上各点的 再将图象上各点的 纵 坐标 不 变 ， 横坐标变为原来的 1 倍 ( 0 )，便得( )sinyx=+的图象 途径二：先周期变换 (伸缩变换 )再平移变换 ： 先将 sinyx= 的图象上各点的 纵 坐标 不 变 ， 横坐标变为原来的 1 倍 ( 0 )， 再沿 x 轴向左 ( 0 )或向右 ( 0 )平移 | 个单位，便得 ( )sinyx=+的图象。
14、注意：函数 sin( ) yx=+的图象，可以看作把曲线 sinyx= 上所有点向左 (当 0 时 )或向右 (当0 时 )平行移动 个单位长度而得到。 【讲一讲释疑 解惑】 1.必备技能： 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 言，即图象变换要看 “变量 ”起多大变化，而不是 “角变化 ”多少。研究类似于 ( ) sin ( )f
15、x A x=+的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成 sinyx= 的形式这样就可通过 sinyx= 的性质来研究 ( ) sin ( )f x A x=+的性质对于 ( ) co s( )f x A x=+和( ) tan ( )f x A x=+用同样的方法来处理 ， 在进行三角 函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由 ( ) sinf x A x= 的图 象得到 ( ) sin ( )f x A x=+)的图象时，需平移的单位数应为 而不是 . 2.
16、典型例题： 例 1 【 2018 年天津卷文】 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 例 2 已知函数 ( ) s i n ( 0 , 0 )f x A x A= 的最小正周期为 2，且 1( ) 16f = ，则函数 ()y f x= 的图象向左平 移 13 个单位所得图象的解析式为（ ） （ A） 2 sin( )3yx=+ （ B） 1 sin ( )23yx= （ C) 12 sin( )3yx=+ (D) 11sin( )23yx=+ 求三角函数的解析式 【背一背
17、基础知识】 由 ( )siny A x=+的图象求其函数式： 已知函数 ( )siny A x=+的图 象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定 ；确定 常根据 “ 五点法 ” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点 ,0作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 【讲一讲释疑解惑】 1.必备技能： 由 ( ) s in ( )f x A x b= + +的图象求其函数式 ， 确定 ( ) s in ( )f x A x b= + +的解析式的步骤 ： (1)求 ,Ab确定函数的最大值 M 和最小值 m ，则 _ ,22M m M mAb +=.
18、 (2)求 ，确定函数的周期 T ，则 2T= . (3)求 ，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时 ,Ab 已知 )或代入图象与直线 yb= 的交点求解 (此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 ) 五点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ”中的第一零点 ,0作为突破口具体如下： “ 第一点 ” (即图象上升时与 x 轴的交点 )为 0x+=；“ 第二点 ” (即图象的 “ 峰点 ” )为 2x += ； “ 第三点 ” (即图象下降时与 x 轴的交点 )为 x += ；“ 第四点 ” (即图象的 “ 谷点 ” )为 32x += ； “ 第五点 ” 为 2x +=
19、 . 2.利用图象变换求解析式： 来源 :Zxxk.Com 由 sinyx= 的图象向左 ( )0 或向右 ( )0 平移 个单位， ，得到函数 ( )sinyx=+， 将图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍 ( 0 )，便得 ( )sinyx=+， 将图象上各点的 纵 坐标变为原来的 A 倍( 0A )，便得 ( )siny A x=+. 有关变换法需注意两点 : 周期 变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行 ; 在不同的变换次序下平移变换的量可能不同 . 2.典型例题 ： 例 1【 2016 高考新课标 2 文数】函数 = sin( )y A x+ 的部分图像如图所示 ， 则 （ ） （
20、 A） 2sin(2 )6yx=（ B） 2sin(2 )3yx=（ C） 2sin(2 + )6yx=（ D） 2sin(2 + )3yx=例 2【 2017 天津，文 7】设函数 ( ) 2 s in ( ) ,f x x x= + R，其中 0,| | .若 5 11 ( ) 2 , ( ) 0 ,88ff=且 ()fx的最小正周期大于 2 ，则 （ A） 2 ,3 12=（ B） 2 11,3 12= = （ C） 1 11,3 24= = （ D） 17,3 24=三角函数的性质 【背一背基础知识】 经过恒等变形化成 “ sin( )y A x=+， cos( )y A x=+， t
21、an( )y A x=+” 的形式 ，利用 xy sin= ，xy cos= ， xy tan= 的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解 1. 三角函数的单调区间： xy sin= 的递增区间是 + 2222 kk ， )( Zk，递减区间是 + 23222 kk ， )( Zk ； xy cos= 的递增区间是 kk 22 ， )( Zk ，递减区间是 +kk 22 ， )( Zk ， xy tan= 的递增区间是 + 22 kk ， )( Zk 2. 对称轴 与对称中心： sinyx= 的对称轴为 2xk=+，对称中心为 ( ,0) k k Z ； cosyx= 的对称轴为 xk= ，对称中
22、心为 ( ,0)2k + ； tanyx= 无对称轴， 对称中心为 ( ,0) 2k kZ . 3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成 “ sin( )y A x=+、 cos( )y A x=+” 的形式，在利用周期公式 2=T ，另外还有图像法和定义法 . 【讲一讲释疑解惑】 1.必备技能： (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量 x 的范围对最值的影响，往往 结合图象求解 (2)求函数 sin( )y A x=+的单调区间时， 要特别注意 ,A 的正负 ,只有当 0 时，才可整体代入并求其解，当 0 时，需把 的符号化为正值后求解 . 2.典型例题： 例 1.【 2018
23、年新课标 I 卷文】 已知函数 ， 则 A. 的最小正周期为 ，最大值为 3 B. 的最小正周期为 ，最大值为 4 C. 的最小正周期为 ，最大值为 3 D. 的最小正周期为 ，最大值为 4 例 2.【 2018 年全国卷理 】 函数 在 的零点个数为 _ 正弦定理、余弦定理 【背一背基础知识】 1.正、余弦定理 在 ABC 中，若角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， R 为 ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 asin A bsin B csin C 2R a2 b2 c2-2bccosA； b2 c2 a2-2cacosB； c2 a2 b2-2abco
24、sC 常见 变形 (1)a 2Rsin A， b 2RsinB， c 2RsinC； (2)sin A a2R， sin B b2R， sin C c2R； (3)a b c sinA sinB sinC； (4)asin B bsin A， bsin C c sin B， asin C csin A cos A b2 c2 a22bc ； cos B c2 a2 b22ac ； cos C a2 b2 c22ab 2.S ABC 12absin C 12bcsin A 12acsin B abc4R 12(a b c)r(r 是三角形 内切圆的半径 )，并可由此计算 R， r. 【讲一讲释疑
25、解惑】 1.必备技能： （ 1） 利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数 ，注意应用 A+B+C= （ 2） 正弦定理、余 弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题 2.典型例题： 例 1.【 2017 课 标 1，文 11】 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知 s i n s i n ( s i n c o s ) 0B A C C+ =，a=2， c= 2 ，则 C= A
26、 12 B 6 C 4 D 3 例 2【 2018 年全国卷文】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则A. B. C. D. 【练一练能力提升】 （一） 选择题（ 12*5=60 分） 1.【 2018 年全国卷文】 若 ，则 A. B. C. D. 2.【 2018 届云南民族大学附属中学高三上学期期末】 要得到函数 2sin2yx= 的 图象，只需将函数2 co s 2 4yx=的图象上所有的点 A. 再向左平行移动 4 个单位长度 B. 再向右平行 移动 8 个单位长度 C. 再向右平行移动 4 个单位长度 D. 再向左 平行移动 8 个单位长度 3.已知函数 ( ) (
27、)s i n ( 0 , 0 , )2f x A x A = + 的部分图象如图所示，则将 ( )y f x= 的图象向左平移 3 个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 ( ) A. cos2yx= B. cos2yx= C. 5sin 26yx=+D. sin 26yx=4 【 2018 届湖南省常德市高三上学期期末】 将函数 ( ) sin 23f x x =+的图像向右平移 6 个单位，得到函数 ()gx的图像，则下列说法不正确的是（ ） A. ()gx的周期为 B. 362g =C. 6x = 是 ()gx的一条对称轴 D. ()gx为奇函数 5 【 2018 届福建省福州市高三 上
28、学期期末】 将函数 2sin cosy x x=+的图象向右平移 12 个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. sin 2cosy x x= B. 2sin cosy x x= C. sin 2cosy x x= + D. 2sin cosy x x= 6.【 2016 高考山东文数】 ABC 中，角 A， B， C 的对边 分别是 a， b， c，已知 22, 2 (1 sin )b c a b A,则A=（ ） （ A） 34（ B） 3（ C） 4（ D） 67. 若 11ta n , ta n ( )32,则 tan = （ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 5
29、6 8. 【 2018 年新课标 I 卷文】 已知 角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，且 ，则 A. B. C. D. 9. 【 2018 年文北京卷】 在平面坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上，角 以 O为始边 ， OP 为终边 ， 若 ，则 P 所在的圆弧 是 A. B. C. D. 10.【 2016 高考新课标文数】 在 ABC 中， 4B， BC 边上的高等于 13BC,则 sinA （ ） （ A） 310（ B） 1010（ C） 55（ D） 3101011.【 2016 高考新课标 2 理数】若将函数 2sin2yx= 的
30、图像向 左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （ A） ()26kx k Z= （ B） ()26kx k Z= + （ C） ()2 12kx k Z= （ D） ()2 12kx k Z= + 12.【 2018 届湖北省武汉市武昌区高三元月调研 】 在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，且 2 cos 2b C a c=+，则 B= A. 6 B. 4 C. 3 D. 23 二、填空题（ 4*5=20 分） 13.【 2018 届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟 】 已知 tan 34+ = ， 则 tan= _ 14【 2018 年江苏卷 】 已知函数 的图象关于直线 对称 ，则 的值是 _ 15.【 2018 年理数全国卷 II】 已知 ， ，则 _ 16.在锐角 ABC 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若 22sin 3A= ， 2a= ， 2ABCS = ，则 b 的值为 . 老师学生通用 ， 找答案或 其它全部章节 资料 联系 QQ： 112905083
