1、破 解 高 考 选 择 填 空 压 轴 题 策 略目 录（ 一 ） 压 轴 选 择 题（ 1） 第 一 关 以 函 数 与 方 程 、 不 等 式 相 综 合 为 背 景 的 选 择 题（ 2） 第 二 关 以 棱 柱 ， 棱 锥 与 球 的 组 合 体 为 背 景 的 选 择 题（ 3） 第 三 关 以 圆 锥 曲 线 的 几 何 性 质 为 背 景 的 选 择 题（ 4） 第 四 关 以 数 列 与 函 数 、 不 等 式 以 及 其 他 知 识 相 结 合 为 背 景 的 选 择 题（ 5） 第 五 关 以 向 量 与 解 析 几 何 、 三 角 形 等 相 结 合 为 背 景 的 选
2、择 题（ 6） 第 六 关 以 考 查 导 数 综 合 运 用 为 主 的 选 择 题（ 7） 第 七 关 以 考 查 三 视 图 、 几 何 体 表 面 积 和 体 积 为 主 的 选 择 题（ 二 ） 压 轴 填 空 题（ 8） 第 一 关 以 归 纳 推 理 为 背 景 的 填 空 题（ 9） 第 二 关 以 新 定 义 为 背 景 的 填 空 题 (理 科 生 做 ， 文 科 生 可 以 跳 过 )（ 10） 第 三 关 以 不 等 式 恒 成 立 或 有 解 问 题 为 背 景 的 填 空 题（ 11） 第 四 关 以 平 面 向 量 数 量 积 相 关 的 求 值 问 题 为 背
3、景 的 填 空 题（ 12） 第 五 关 以 立 体 几 何 为 背 景 的 新 颖 问 题 为 背 景 的 填 空 题第 一 关 以 函 数 与 方 程 、 不 等 式 相 综 合 为 背 景 的 选 择 题【 名 师 综 述 】 本 类 压 轴 题 常 以 超 越 方 程 、 分 段 函 数 、 抽 象 函 数 等 为 载 体 ， 达 到 考 查 函 数 性 质 、 函 数 零 点 的个 数 、 参 数 的 范 围 和 通 过 函 数 性 质 求 解 不 等 式 问 题 等 目 的 。 要 注 意 函 数 ( )y f x 与 方 程 ( ) 0f x 以 及 不等 式 ( ) 0f x
4、的 关 系 ， 进 行 彼 此 之 间 的 转 化 是 解 决 该 类 题 的 关 键 解 决 该 类 问 题 的 途 径 往 往 是 构 造 函 数 ，进 而 研 究 函 数 的 性 质 ， 利 用 函 数 性 质 去 求 解 问 题 是 常 用 方 法 ， 其 间 要 注 意 导 数 的 应 用 .【 典 例 解 剖 】类 型 一 用 函 数 与 方 程 求 解 零 点 问 题典 例 1 【 2017届 河 南 天 一 大 联 考 】 设 函 数 2 ( 2), (1, ),( ) 1 | |, 1,1 ,f x xf x x x 若 关 于 x的 方 程( ) log ( 1) 0af
5、x x （ 0a 且 1a ） 在 区 间 0,5 内 恰 有 5 个 不 同 的 根 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是A 1, 3 B 4( 5, ) C ( 3, ) D 4( 5, 3)【 答 案 】 C【 名 师 指 点 】 求 解 零 点 问 题 时 ， 往 往 转 化 为 ( ) 0f x 的 根 求 解 ， 若 该 方 程 不 易 解 出 ， 可 考 虑 数 形 结 合 转 化为 两 熟 悉 图 象 的 交 点 问 题 求 解 本 题 首 先 应 正 确 求 出 函 数 y f x 的 解 析 式 ， 准 确 画 出 函 数 图 象 ， 注 意分 段 函 数 在 分 界
6、点 处 的 连 续 性 以 及 对 参 数 a的 范 围 的 讨 论 ， 根 据 方 程 解 的 个 数 确 定 图 像 交 点 个 数 ， “ 临 界点 ” 2和 4的 函 数 值 要 倍 加 关 注 【 举 一 反 三 】已 知 函 数 2 4 3 3 , 0,log 1 1, 0ax a x a xf x x x （ 0a 且 1a ） 在 R 上 单 调 递 减 ， 且 关 于 x的 方 程 2f x x 恰 好 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ， 则 a的 取 值 范 围 是 （ ）A 20,3 B 2 3,3 4 C. 1 2 3,3 3 4 D 1 2 3,3 3 4 【
7、 答 案 】 C类 型 二 用 函 数 与 方 程 求 解 不 等 式 问 题典 例 2【 云 南 大 理 2017届 高 三 第 一 次 统 测 】 定 义 在 R上 的 函 数 f x 的 导 函 数 为 f x ， 若 对 任 意 实 数 x，有 f x f x ， 且 2017f x 为 奇 函 数 ， 则 不 等 式 2017 0xf x e 的 解 集 是 （ ）A ,0 B 0, C 1,e D 1,e 【 答 案 】 B【 解 析 】 设 xf xg x e ， 则 0xf x f xg x e ， 所 以 g x 是 R上 的 减 函 数 ， 由 于 2017f x 为 奇
8、函 数 ， 所 以 0 2017, 0 2017f g ， 因 为 2017 0 2017x xf xf x e e 即 0g x g ， 结 合 函 数 的 单 调 性 可 知 0x ， 所 以 不 等 式 2017 0xf x e 的 解 集 是 0, ， 故 选B.【 名 师 指 点 】 结 合 已 知 条 件 f x f x ， 联 想 构 造 函 数 xf xg x e ， 利 用 导 数 判 断 其 单 调 性 ， 利 用单 调 性 解 解 抽 象 不 等 式 问 题 是 解 题 关 键 【 举 一 反 三 】 己 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 ( )f x 的 导
9、函 数 为 ( )f x ， 满 足 ( ) ( )f x f x ， 且 ( 2)f x 为 偶函 数 ， (4) 1f ， 则 不 等 式 ( ) exf x 的 解 集 为 （ ）A 2, B 4, C 1, D 0,【 答 案 】 D类 型 三 用 构 造 法 求 解 问 题典 例 3 设 x， y R ， 且 满 足 33( 2) 2 sin( 2) 2( 2) 2 sin( 2) 6x x xy y y ， 则 x y （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【 答 案 】 D.【 解 析 】 令 3( ) 2 sinf x x x x ， 则 ( )f x 的 图 象 关 于 原 点
10、 点 对 称 ， 由 题 设 33( 2) 2 sin( 2) 2( 2) 2 sin( 2) 6x x xy y y 得 ： 33( 2) 2( 2) sin( 2) 2( 2) 2( 2) sin( 2) 2x x xy y y ， 即 ( 2) ( 2)f x f y ， ( 2) ( 2) 0x y ， 即 4x y .选 D.【 名 师 指 点 】 解 题 中 若 遇 到 有 关 不 等 式 、 方 程 及 最 值 之 类 问 题 ， 设 法 建 立 起 目 标 函 数 ， 并 确 定 变 量 的 限 制条 件 ， 用 函 数 观 点 加 以 分 析 ， 常 可 使 问 题 变 得
11、明 了 ， 从 而 易 于 找 到 理 想 的 解 题 途 径 ， 构 造 函 数 ， 利 用 函 数性 质 解 决 问 题 是 构 造 函 数 法 蕴 含 的 数 学 思 想 【 举 一 反 三 】【 宁 夏 育 才 中 学 2017届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 （ 理 ） 试 题 】 设 函 数 3( )f x x x ， x R .若 当 0 2 时 ， 不 等 式 0)1()sin( mfmf 恒 成 立 ， 则 实 数 m的 取 值 范 围 是 （ ）A. 1( ,12 B. 1( ,1)2 C. 1, )D.( ,1【 答 案 】 D【 解 析 】 易 得 (
12、 )f x 是 奇 函 数 ， 2( ) 3 1 0 ( )f x x f x 在 R上 是 增 函 数 ， 又1 1( sin ) ( 1) sin 1 ,0 sin 1 11 sin 1 sinf m f m m m m m ， 故 选 D.类 型 四 关 于 复 合 方 程 的 解 的 问 题典 例 4【 2017湖 南 长 沙 一 中 月 考 】 已 知 实 数 , 0,(x) lg( x),x 0,xe xf 若 关 于 x的 方 程 2(x) f(x) t 0f 有 三 个 不 同 的 实 根 ， 则 t的 取 值 范 围 为 （ ）A.( , 2 B.1, )C. 2,1 D.(
13、 , 2 1, ) 【 答 案 】 A【 解 析 】 设 m f x ， 作 出 函 数 f x 的 图 象 ， 如 图 所 示 ， 则 1m 时 ， m f x 有 两 个 根 ， 当 1m 时 ， m f x 有 一 个 根 ， 若 关 于 x的 方 程 2(x) f(x) t 0f 有 三 个 不 同 的 实 根 ， 则 等 价 为 2 t 0m m 由两 个 不 同 的 实 数 根 ， 且 1m 或 1m ， 当 1m 时 ， 2t ， 此 时 由 2 2 0m m ， 解 得 1m 或 2m ，满 足 1f x 有 两 个 根 ， 2f x 有 一 个 根 ， 满 足 条 件 ； 当
14、 1m 时 ， 设 2 th m m m ， 则 1 0h 即 可 ， 即 1 1 0t ， 解 得 2t ， 综 上 实 数 t的 取 值 范 围 为 2t ， 故 选 A.QQ群 339444963【 名 师 指 点 】 求 解 复 合 方 程 问 题 时 ， 往 往 把 方 程 ( ) 0f g x 分 解 为 ( ) 0f t 和 ( )g x t 处 理 ， 先 从 方 程( ) 0f t 中 求 t， 再 带 入 方 程 ( )g x t 中 求 x的 值 【 举 一 反 三 】 若 函 数 3 2f x x ax bx c 有 极 值 点 1x ， 2x ， 且 1 1f x x
15、 ， 则 关 于 x的 方 程 23 2 0f x af x b 的 不 同 实 根 的 个 数 是 （ ）A 3 B 4 C 5 D 6【 答 案 】 A.【 解 析 】 函 数 3 2f x x ax bx c 有 极 值 点 1x ， 2x ， 说 明 方 程 2( ) 3 2 0f x x ax b 的 两 根 为 1x ，2x ， 方 程 23 2 0f x af x b 的 解 为 1( )f x x 或 2( )f x x ， 若 1 2x x ， 即 1x 是 极 大 值 点 ， 2x是 极 小 值 点 ， 由 于 1 1f x x ， 1x 是 极 大 值 ， 1( )f x
16、 x 有 两 解 ， 1 2x x ， 2 1( ) ( )f x x f x 只 有 一 解 ， 此 时 只 有 3解 ， 若 1 2x x ， 即 1x 是 极 小 值 点 ， 2x 是 极 大 值 点 ， 由 于 1 1f x x ， 1x 是 极 小 值 ， 1( )f x x有 2解 ， 1 2x x ， 2 1( ) ( )f x x f x 只 有 一 解 ， 此 时 只 有 3解 ， 综 上 可 知 ， 选 A.【 精 选 名 校 模 拟 】1 【 山 东 潍 坊 2017届 高 三 上 学 期 期 中 联 考 】 设 函 数 1 1log 1 1 1axf x x x ， ，
17、 ， 若 函 数 2g x f x bf x c 有 三 个 零 点 1x ， 2x ， 3x ， 则 1 2 2 3 1 3x x x x x x 等 于 .【 答 案 】 22 【 广 东 郴 州 市 2017 届 高 三 第 二 次 教 学 质 量 监 测 试 卷 ， 12】 若 方 程 2| 2 1| 0x x t 有 四 个 不 同 的 实 数根 1 2 3 4, , ,x x x x ， 且 1 2 3 4x x x x ， 则 4 1 3 22( ) ( )x x x x 的 取 值 范 围 是 （ ）A (8,6 2) B (8,4 5 C. (6 2,4 5) D (6 2,
18、4 5【 答 案 】 B【 解 析 】 方 程 2| 2 1| 0x x t 有 四 个 不 同 的 实 数 根 ,在 同 一 坐 标 系 内 作 出 函 数 2( ) | 2 1|f x x x 与 函数 ( )g x t 的 图 象 如 下 图 所 示 ， 所 以 1 4,x x 是 方 程 2 2 1x x t 的 两 根 ， 2 3,x x 是 方 程 2 2 1x x t 的两 根 ， 由 求 根 公 式 得 4 1 3 22 2 , 2 2x x t x x t ， 且 0 2t ， 所 以4 1 3 22( ) ( ) 2(2 2 2 )x x x x t t ， 令 ( ) 2
19、(2 2 2 )f t t t ， 由22(2 2 2 )( ) 04t tf t t 得 65t ， 函 数 ( )f t 在 区 间 6(0, 5 递 增 ， 在 区 间 6 ,2)5 递 减 ， 又6(0) 6 2, ( ) 4 5, (2) 85f f f ， 所 以 所 求 函 数 的 取 值 范 围 是 (8,4 5， 故 选 B.3【 山 东 省 枣 庄 市 2017届 高 三 上 学 期 期 末 】 定 义 在 R上 的 奇 函 数 y f x 满 足 3 0f ， 且 当 0x 时 ， f x xf x 恒 成 立 ， 则 函 数 lg 1g x xf x x 的 零 点 的
20、 个 数 为 （ ）A 1 B 2 C.3 D 4【 答 案 】 C【 解 析 】 因 为 当 0x 时 ， ( ) ( ) 0xf x f x xf x ， 所 以 ( )xf x 在 (0, ) 上 单 调 递 增 ， 又 函 数 ( )f x为 奇 函 数 ， 所 以 函 数 ( )xf x 为 偶 函 数 ， 结 合 3 0f ， 作 出 函 数 ( )y xf x 与 lg 1y x 的 图 象 ， 如 图所 所 示 ， 由 图 象 知 ， 函 数 lg 1g x xf x x 的 零 点 有 3 个 ， 故 选 C QQ 群 3394449634. 【 广 西 柳 州 市 2017
21、届 高 三 10月 模 拟 】 设 定 义 域 为 R的 函 数 | 1|25 1, 0,( ) 4 4, 0x xf x x x x 若 关 于 x的 方程 2 2( ) (2 1) ( ) 0f x m f x m 有 7 个 不 同 的 实 数 解 ， 则 m（ ）A 6 B 4或 6 C 6 或 2 D 2【 答 案 】 D5【 2017四 川 成 都 市 一 模 】 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 1 1f x f x ， 当 1,0x 时 ， 3f x x .则 关 于 x的 方 程 cosf x x 在 5 1,2 2 上 的 所 有 实 数
22、 解 之 和 为 （ ） A -7 B -6 C -3 D -1【 答 案 】 A【 解 析 】 因 为 函 数 是 偶 函 数 ， 所 以 111 xfxfxf ， 所 以 函 数 是 周 期 为 2的 偶 函 数 ， 如 图画 出 函 数 图 像 ， 两 个 函 数 在 区 间 21,25 有 7 给 交 点 ， 中 间 是 1x ， 其 余 6 个 交 点 关 于 1x 对 称 ，所 以 任 一 组 对 称 点 的 横 坐 标 之 和 为 -2， 所 以 这 7 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 7123 ， 故 选 A.6 【 贵 州 遵 义 市 2017 届 高 三 第 一 次
23、 联 考 】 已 知 定 义 域 为 R的 偶 函 数 f x ， 其 导 函 数 为 f x ， 对 任 意 0,x ， 均 满 足 ： 2xf x f x 若 2g x x f x ， 则 不 等 式 2 1g x g x 的 解 集 是（ ）A , 1 B 1,3 C 11,3 D 1, 1 ,3 【 答 案 】 C7 【 河 南 百 校 联 盟 2017届 高 三 11 月 质 检 】 已 知 函 数 f x 满 足 14f x f x ， 当 1,14x 时 ， lnf x x， 若 在 1,44 上 ， 方 程 f x kx 有 三 个 不 同 的 实 根 ， 则 实 数 k的 取
24、 值 范 围 是 （ ）A. 44ln4, e B. 4ln4, ln4 C. 4, ln4e D. 4, ln4e 【 答 案 】 D【 解 析 】试 题 分 析 ：8 【 2017山 西 省 山 大 师 大 附 中 模 块 检 测 】 已 知 函 数 ln( 1), 0( ) 1 1, 02 x xf x x x ， 若 m n ， 且 ( ) ( )f m f n ，则 n m 的 取 值 范 围 是 （ ）A.3 2ln2,2) B.3 2ln2,2 C. 1,2e D. 1,2)e【 答 案 】 A【 解 析 】 如 图 ， 作 出 函 数 ( )y f x 的 图 象 ， 不 妨
25、设 ( ) ( )f m f n t ，由 ( ) ( )f m f n 可 知 函 数 ( )f x 的 图 象 与 直 线 y t 有 两 个 交 点 ，而 0x 时 ， 函 数 ( )y f x 单 调 递 增 ， 其 图 象 与 y 轴 交 于 点 (0,1)，所 以 0 1t .又 m n ， 所 以 0m ， 0n ，由 0 1t ， 得 0 ln( 1) 1n ， 解 得 0 1n e .由 ( )f m t ， 即 1 12m t ， 解 得 2 2m t ；由 ( )f n t ， 即 ln( 1)n t ， 解 得 1tn e ；记 ( ) 1 (2 2) 2 1t tg
26、t n m e t e t （ 0 1t ） ， ( ) 2tg t e .所 以 当 0 ln2t 时 ， ( ) 0g t ， 函 数 ( )g t 单 调 递 减 ；当 ln2 1t 时 ， ( ) 0g t ， 函 数 ( )g t 单 调 递 增 .所 以 函 数 ( )g t 的 最 小 值 为 ln2(ln2) 2ln2 1 3 2ln2g e ；而 0(0) 1 2g e ， (1) 2 1 1 2g e e .所 以 3 2ln2 ( ) 2g t .9 【 中 原 名 校 2017届 高 三 上 学 期 第 三 次 质 量 考 评 】 定 义 在 实 数 集 R上 的 函
27、数 f x ， 满 足 2 2f x f x f x ， 当 0,1x 时 ， 2xf x x .则 函 数 lgg x f x x 的 零 点 个 数 为（ ）A 99 B 100 C.198 D 200【 答 案 】 B【 解 析 】 f x 是 偶 函 数 ， 图 象 关 于 直 线 1x 对 称 ， 周 期 是 2， 画 图 可 得 ， 零 点 个 数 为 100， 故 选 B.10 【 浙 江 杭 州 地 区 重 点 中 学 2017届 高 三 上 学 期 期 中 】 已 知 函 数 2| |( ) 2xf x kxx （ x R ） 有 四 个 不 同的 零 点 ， 则 实 数 k
28、的 取 值 范 围 是 （ ）A 0k B 1k C 0 1k D 1k 【 答 案 】 D【 解 析 】 因 为 0x 是 函 数 ( )f x 的 零 点 ， 则 函 数 2( ) ( )2xf x kx kx R 有 四 个 不 同 的 零 点 ， 等 价 于 方程 1( 2)k x x 有 三 个 不 同 的 根 ， 即 方 程 1 ( 2)x xk 有 三 个 不 同 的 根 记 函 数 ( ) ( 2)g x x x 2 2 2 ,( 0)2 ,( 0)x x xx x x 由 题 意 y=1k 与 ( )y g x 有 三 个 不 同 的 交 点 ， 由 图 知 10 1k ，
29、所 以 1k ， 故 选 D11 【 湖 北 孝 感 2017届 高 三 上 学 期 第 一 次 联 考 】 定 义 域 在 R上 的 奇 函 数 f x ， 当 0x 时 ， 12log 1 ,0 11 3, 1x xf x x x ， 则 关 于 x的 方 程 0 0 1f x a a 所 有 根 之 和 为 1 2 ， 则 实 数 a的 值 为 （ ）A 22 B 12 C. 23 D 14【 答 案 】 B【 解 析 】 因 为 函 数 )(xf 为 奇 函 数 ， 所 以 可 以 得 到 当 0,1(x 时 ，)1(log)1(log)()( 221 xxxfxf ， 当 1,( x
30、 时 ， ( ) ( ) (1 | 3|)f x f x x | 3| 1x ， 所 以 函 数 )(xf 图 象 如 下 图 ， 函 数 )(xf 的 零 点 即 为 函 数 )(xfy 与 ay 的 交 点 ， 如 上 图所 示 ， 共 5个 ， 当 1,( x 时 ， 令 ax 1|3| ， 解 得 ： 2,4 21 axax ， 当 0,1(x 时 ，令 ax )1(log2 ， 解 得 ： ax 213 ， 当 ),1 x 时 ， 令 a|3-x|1 ， 解 得 ： 2,4 54 axax ，所 以 所 有 零 点 之 和 为 ： 1 2 3 4 5 4 2 1 2 4 2 1 2
31、1 2a ax x x x x a a a a ，12a .故 本 题 正 确 答 案 为 B.12 已 知 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ( )f x 满 足 (4 ) ( )f x f x ， 且 当 ( 1,3x 时 ， 2, ( 1,1( ) 1 cos , (1,32x xf x x x ，则 函 数 ( ) ( ) |lg |g x f x x 的 零 点 个 数 是 （ ）A.7 B.8 C.9 D.10【 答 案 】 D.13 【 2017湖 北 重 点 中 学 高 三 联 考 】 已 知 函 数 )20(11ln )02(2)( 2 xx xxxxf ， 若 aaxxfx
32、g |)(|)(的 图 象 与 x轴 有 3 个 不 同 的 交 点 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 （ ）A )1,0( e B )21,0( e C )1,33ln e D )21,33ln e【 答 案 】 C【 解 析 】 )20(11ln )02(2)( 2 xx xxxxf ， 20,1ln 02,22 xx xxxxf ， aaxxfxg |)(|)( 的图 象 与 x轴 有 3个 不 同 的 交 点 ， 函 数 xf 与 函 数 aaxy 的 图 象 有 3个 不 同 的 交 点 ； 作 函 数 xf 与函 数 aaxy 的 图 象 如 下 ， 图 中 0,1A ，
33、3ln2，B ， 故 此 时 直 线 AB的 斜 率 33ln103ln xk ； 当直 线 AB与 1ln xxf 相 切 时 ， 设 切 点 为 1ln, xx ； 则 111 01ln xxx ， 解 得 1ex ； 此时 直 线 AB的 斜 率 ek 1 ； 结 合 图 象 可 知 ， ea 133ln ； 故 选 C第 二 关 以 棱 柱 、 棱 锥 与 球 的 组 合 体 为 背 景 的 选 择 题【 名 师 综 述 】 球 作 为 立 体 几 何 中 重 要 的 旋 转 体 之 一 ， 成 为 考 查 的 重 点 要 熟 练 掌 握 基 本 的 解 题 技 巧 还 有球 的 截
34、面 的 性 质 的 运 用 ， 特 别 是 其 它 几 何 体 的 内 切 球 与 外 接 球 类 组 合 体 问 题 ， 以 及 与 球 有 关 的 最 值 问 题 ,更 应 特 别 加 以 关 注 的 试 题 一 般 以 小 题 的 形 式 出 现 ,有 一 定 难 度 解 决 问 题 的 关 键 是 画 出 正 确 的 截 面 ， 把空 间 “ 切 接 ” 问 题 转 化 为 平 面 “ 问 题 ” 处 理 类 型 一 四 面 体 的 外 接 球 问 题典 例 1 点 DCBA , 均 在 同 一 球 面 上 ， 且 AB 、 AC、 AD两 两 垂 直 ， 且 ，1AB ，2AC 3A
35、D ，则 该 球 的 表 面 积 为A 7 B 14 C 27 D 3147 【 答 案 】 B【 方 法 指 导 】 本 题 属 于 三 棱 锥 的 外 接 球 问 题 ， 当 三 棱 锥 的 某 一 顶 点 的 三 条 棱 两 两 垂 直 ， 可 将 其 补 全 为 长 方体 或 长 方 体 ， 三 棱 锥 与 长 方 体 的 外 接 球 是 同 一 外 接 球 ， 而 长 方 体 的 外 接 球 的 在 球 心 就 是 对 角 线 的 交 点 ， 那么 对 角 线 就 是 外 接 球 的 直 径 2222 cbaR ， cba , 分 别 指 两 两 垂 直 的 三 条 棱 ， 进 而
36、确 定 外 接 球 表面 积 【 举 一 反 三 】 【 云 南 大 理 2017届 高 三 第 一 次 统 测 ， 10】 已 知 三 棱 锥 A BCD 的 所 有 顶 点 都 在 球 O的 球 面上 ， AB 为 球 O的 直 径 ， 若 该 三 棱 锥 的 体 积 为 4 33 ， 4, 3,BC BD 090CBD ， 则 球 O的 表 面 积为 （ ）A 11 B 20 C 23 D 35【 答 案 】 A类 型 二 三 棱 柱 的 外 接 球 问 题典 例 2 【 广 东 2017届 高 三 上 学 期 阶 段 测 评 （ 一 ） 】 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 的 侧
37、 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 AB BC ，1 2AB BC AA ， 若 该 三 棱 柱 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 表 面 积 为 （ ）A 48 B 32 C.12 D 8【 答 案 】 C【 解 析 】 如 图 ， 由 题 可 知 矩 形 1 1AAC C 的 中 心 O为 该 三 棱 柱 外 接 球 的 球 心 ， 221 2 3OC . 该 球 的 表 面 积 为 24 3 12 .选 C.【 名 师 指 导 】 确 定 球 心 位 置 是 解 决 相 关 问 题 的 关 键 ， 确 定 一 个 点 到 多 面 体 各 顶 点 相 等 的
38、 策 略 是 将 问 题 分 解 ，即 先 确 定 到 顶 点 A B C、 、 距 离 相 等 的 点 在 过 ABC 的 外 心 且 垂 直 于 平 面 ABC 的 直 线 上 ， 再 确 定 到 顶 点1 1 1A B C、 、 距 离 相 等 的 点 过 1 1 1ABC 的 外 心 且 垂 直 于 平 面 1 1 1ABC 的 直 线 上 ， 故 直 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 的外 接 球 球 心 为 连 接 上 下 底 面 外 心 的 线 段 的 中 点 ， 进 而 可 确 定 外 接 球 半 径 【 举 一 反 三 】 【 四 川 省 凉 山 州 2017 届 高 中
39、 毕 业 班 第 一 次 诊 断 性 检 测 ,15】 设 正 三 棱 柱 ABC A B C 中 ， 2AA ， 2 3AB ， 则 该 正 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 是 【 答 案 】 20【 解 析 】试 题 分 析 ： 因 为 该 三 棱 柱 为 正 三 棱 柱 ， 所 以 底 面 为 正 三 角 形 ， 底 面 三 角 形 外 接 圆 的 直 径 为2 32 4sin60 32ABr ， 即 2r ， 所 以 该 三 棱 柱 外 接 球 的 半 径 22 2 21 2 1 52AAR r ，所 以 该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 为 24 20S R .类
40、型 三 四 棱 锥 的 外 接 球 问 题典 例 3 【 河 北 省 沧 州 市 第 一 中 学 2017届 高 三 10 月 月 考 数 学 （ 理 ） 试 题 】 已 知 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 平面 PAD 平 面 ABCD， 其 中 ABCD为 正 方 形 ， PAD 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 2PA PD ， 则 四 棱 锥P ABCD外 接 球 的 表 面 积 为 （ ）A 10 B 4 C. 16 D 8【 答 案 】 D【 名 师 指 点 】 某 些 空 间 几 何 体 是 某 一 个 几 何 体 的 一 部 分 ， 在 解 题 时 ， 把 这 个 几 何
41、体 通 过 “ 补 形 ” 补 成完 整 的 几 何 体 或 置 于 一 个 更 熟 悉 的 几 何 体 中 ， 巧 妙 地 破 解 空 间 几 何 体 的 体 积 问 题 ， 这 是 一 种 重 要 的 解 题 策略 补 形 法 常 见 的 补 形 法 有 对 称 补 形 、 联 系 补 形 与 还 原 补 形 对 于 还 原 补 形 ， 主 要 涉 及 台 体 中 “ 还 台为 锥 ” 问 题 本 题 可 以 利 用 补 体 法 ， 将 四 棱 锥 补 体 为 直 三 棱 锥 ， 利 用 直 三 棱 柱 的 外 接 球 半 径 求 法 确 定 其 外接 球 半 径 【 举 一 反 三 】
42、【 广 西 南 宁 、 梧 州 2017 届 高 三 毕 业 班 摸 底 联 考 ， 10】 正 四 棱 锥 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若 该棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， 则 该 球 的 体 积 为 （ ）A 24316 B 8116 C.814 D 274【 答 案 】 A【 解 析 】 设 球 的 半 径 为 R ， 棱 锥 的 高 为 4， 底 面 边 长 为 2， 222 4 2R R ， 94R , 球 的 体 积 为 34 9 2433 4 16V .故 应 选 A.类 型 四 几 何 体 的 内 切 球 问 题典 例 4 (2016 嘉 兴
43、 模 拟 )若 圆 锥 的 内 切 球 与 外 接 球 的 球 心 重 合 ， 且 内 切 球 的 半 径 为 1， 则 圆 锥 的 体积 为 _【 答 案 】 3【 解 析 】 过 圆 锥 的 旋 转 轴 作 轴 截 面 ， 得 截 面 ABC 及 其 内 切 圆 O1和 外 接 圆 O2， 且 两 圆 同 圆 心 ， 即 ABC的 内 心 与 外 心 重 合 ， 易 得 ABC 为 正 三 角 形 ， 由 题 意 知 O1的 半 径 为 r 1， ABC的 边 长 为 2 3， 圆锥 的 底 面 半 径 为 3， 高 为 3， V 13 3 3 3 .来 源 :QQ 群 339444963
