1、 宁德市 2018 2019 学年度第 一 学期高 三 期末质量检测 数学（ 文 科）试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考 如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.解答题只
2、给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题： 本题考查基础知识和基本运算 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1. A 2. D 3. B 4. D 5. B 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A 11. D 12. A 二、填空题 ： 本题考查基础知识和基本运算 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 yx 14 2 15 30 16 80 三、解答题： 本大题 共 6 小题，共 70 分 17. 本 小 题主要考查正弦定理、余弦定理 、面积公式 等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分 12 分 解法 一 ：
3、 （） 在 ABC 中， ( 2 ) c o s c o s 0a c B b C ， ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o s 0A C B B C ， 1 分 得 s in ( ) 2 s in c o s 0B C A B ， 2 分 即 sin 2 sin co s 0A A B， 3 分 (0, )A sin 0A 1cos 2B ， 5 分 (0, )B， 2 .3B 6 分 （） 依题意得 1 3 3sin22ac B， 7 分 23B ， 1 2 3 3sin2 3 2ac ， 得 6ac . 8 分 又 5ac , 2 2 2 2 co sb a
4、 c ac B 9 分 2( ) 2a c ac ac 25619 , 得 19b , 11 分 ABC 的周长为 5 19 . 12 分 解法二 ： （） 在 ABC 中， ( 2 ) c o s c o s 0a c B b C ， 2 2 2 2 2 2( 2 ) 022a c b a b ca c ba c a b 1 分 化简 得 2 2 2a c b ac 4 分 2 2 2 1c o s 2 2 2a c b a cB a c a c 5 分 (0, )B， 2 .3B 6 分 （） 依题意得 1 3 3sin22ac B， 7 分 23B ， 1 2 3 3sin2 3 2ac
5、 ， 得 6ac . 8 分 又 5ac 解得 32ac或 23ac 10 分 2 2 2 2 c o s 1 9b a c ac B 得 19b , 11分 ABC 的周长为 5 19 . 12 分 18 本 小 题 主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分 解 法 一 ： （） 在 PBC 中 ， 1, 2, 3PC PB BC ， 2 2 2PC BC PB， BC PC . 2 分 连接 PN N 为 AC 的中 点 ,PA PC ， PN AC . 3 分
6、 又 平面 PAC 平面 ABC ， 平面 PAC 平面 ABC AC ， PN 平面 PAC . PN 平面 ABC ， 4 分 PN BC . 5 分 又 PC PN P , BC 平面 PAC . 6 分 （） 在 PAC 中 ， PA PC , 1PA PC , 1222PN AC. 7 分 过 M 作 MG BN 于 G , 则 /MG PN . PN 平面 ABC , MG 平面 ABC . 3PM PB , 2233MG PN. 10 分 由 （）得 BC 平面 PAC ， BC AC 1 1 2 632 2 2 4CNBS B C N C ， 11 分 1 1 6 2 33 3
7、 4 3 1 8C M N B M N B C N B CV V S M G . 12 分 解 法二 ： （） 同 解法一 （） 由（）得 BC 平面 PAC , BC PA . PA PC , BC PC C , PA 平面 PBC . 9分 又 N 为 AC 的中 点 , 三棱锥 N MBC 的高 1122h PA. 10 分 3PM PB , 1 2 332 3 3BNCS. 11 分 1 1 3 1 33 3 3 2 1 8C M N B N M B C M B CV V S h . 12 分 19. 本小题主要考查了频率分布直方图， 独立性检验原理 ,函数 等基础知识，考查数据分析能
8、力、运算求解能力，考查化归与转化思想等 .满分 12 分 . 解 ： （） 根据图表得到 22 列联表： 次品 非次品 合计 设备改造前 15 85 100 设备改造后 5 95 100 合计 20 180 200 4 分 GBCPMNA将 22 列联表中的数据代入公式计算得： 22 2 0 0 (1 5 9 5 8 5 5 ) 5 . 5 5 6 3 . 8 4 11 0 0 1 0 0 2 0 1 8 0K . 6 分 有 95%的把握 认为设备 改造与产品为次品有关 7 分 （） 优等品 效益工资 : 10 100 60 600100 (元 ) , 8 分 合格品 效益 工资 : 85
9、50 60 255 0100 (元 ), 9 分 次品 效益 工资 : 5 ( 2 0 ) 6 0 6 0100 (元 ), 10 分 工人 的月工资约为 1 0 0 0 6 0 0 2 5 5 0 6 0 4 0 9 0 （ 元） , 11 分 设备改造后， 一个月生产 60 件 产品的工人 月工资大约为 4090 元 . 12 分 20. 本 小 题主要考查直线、 抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力满分 12 分 解法 一 ： （） 设 (, )Pxy ， 则 ( 8, )Qy 2
10、2 2 2, ( 8 ) , 8O P x y O Q x y P Q x 1 分 OP OQ , 2 2 2OP OQ PQ, 2 分 代入 整理得 2 8yx , 3 分 曲线 C 的 方程为 2 8 ( 0)y x x. 4 分 ( 0x 没写扣 1 分 ) （） 设 直线 l 的 方程为 ( 2)y k x， 0k 联立2 ( 2)8 y k xyx 整理得 2 8 16 0ky y k , 5 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y, 则 1212816yykyy 6 分 1212,33yykkxx 121 2 1 233()xxkk kk k y y
11、1 2 2 112( 3 ) ( 3 )x y x yk yy 122112( 5 ) ( 5 )yyyykkkyy 12 12122 5( )yy yykk yy 10 分 2 ( 16) 85 116 2kkk 11 分 12kkkk 为定值 12 分 解法 二： （） 设 (, )Pxy ，则 ( 8, )Qy, , 8OP OQyykkx 1 分 OP OQ , 18OP OQ yykk x. 2 分 整理得 2 8yx , 3 分 曲线 C 的 方程为 2 8 ( 0)y x x. 4 分 ( 0x 没写扣 1 分 ) （） 依题意得 ， 直线 l 的 方程为 ( 2)y k x，
12、0k 联立2 ( 2)8y k xyx 整理得 2 2 2 2(4 8 ) 4 0k x k x k , 5 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y, 则 212 212484 kxxkxx 6 分 1212,33yykkxx 121 2 1 233()xkk kk k y x y 1 2 2 112( 3 ) ( 3 )x y x yk yy 1 2 2 1212( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )k x x k x xk k x x 1 2 1 21 2 1 22 122( ) 4x x x xx x x x 10 分 2222
13、482 4 12484 2 4kkkk 228 116 2kk . 11 分 12kkkk 为定值 . 12 分 解法 三 ： （） 设 (, )Pxy ，则 ( 8, )Qy, ( , ), ( 8 , )O P x y O Q y 1 分 OP OQ , 280OP OQ x y. 2 分 整理得 2 8yx , 3 分 曲线 C 的 方程为 2 8 ( 0)y x x. 4 分 ( 0x 没写扣 1 分 ) （） 同 解法一 ,解法 二 21.本 小 题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、
14、数形结合思想等满分 12 分 解法 一 ： （）依题意得 2( ) (2 ) xf x x b x b e ， 1 分 又 ()fx的图象在原点处的切线斜率为 2 ， (0) 0,fc 2 分 (0) 2fb 即 2, 0bc. 4 分 （）当 12a 时 ， 设 2( ) ( ) 1 ( 2 1 ) e 1xxg x a f x e a x a x , 且 2( ) ( 2 1) e xg x ax a . 5分 当 1 02 a 时 ， 2 (2 1) 0ax a ， 2( ) ( 2 1 ) e 0xg x ax a , 6 分 ()gx在定义域上单调递减， 当 0x 时 ， min(
15、) (0) 0g x g， 7 分 ( ) 0gx 恒成立 ，即 ( ) 1xaf x e . 8 分 当 0a ， 0x 时 ， 2( ) ( 2 ) 1xxg x a x x e e, 2 20xx, 9 分 2( 2 ) 0xa x x e . 10 分 又 10xe , ( ) 0gx 恒成立 ，即 ( ) 1xaf x e . 0, 0ax时， ( ) 1xaf x e . 11 分综上所述 ， 若 12a ，当 0x 时， ( ) 1xaf x e. 12 分 解法二： （）同 解法一 （）令 2( ) ( ) 1 ( 2 ) 1x x xg x a f x e a x x e e
16、 当 0x 时 ， 2 20xx. 221( 2 ) ( 2 )2xxa x x e x x e. 6 分 21( ) ( 2 ) 12 xxg x x x e e. 7 分 令 21( ) ( 2 ) 12 xxh x x x e e, 21( ) 02 xh x x e , 9 分 ()hx 在 ( ,0 单调 递减 . ( ) (0) 0h x h . 10 分 得 ( ) ( ) 0g x h x , 11 分 当 0x 时 ， ( ) 1xaf x e . 12 分 22选修 44 ；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合
17、思想、化归与转化思想等 满分 10 分 解 法 一： （） 曲线 1C 2 2 c o s (2 s in xy 为 参 数 ） 可化 为直角坐标方程： 22( 2) 4xy ， 1 分 即 2240x y x ， 由 cos sin xy 可得 2 4 cos 0 , 2 分 曲线 1C 的 极坐标方程 为 ： 4cos 3 分 曲线 2 : 2 3 c o s 2 s inC ， 即 2 2 3 c o s 2 s in ， 4 分 则 2C 的 直角坐标方程为： 22( 3 ) ( 1) 4xy 5 分 （） 直线 l 的直角 坐标方程为 33yx， 6 分 l 的 极坐标方程为 5 (
18、)6 R 7 分 联立 5 ,64cos , 得 23A ， 8 分 联立 562 3 co s 2 sin， 得 4B ， 9 分 4 2 3ABAB 10 分 解 法 二： （）同 解法一 （）直线 l 的直角 坐标方程为 33yx， 6 分 联立223 , 34 0,yxx x y 解得 (3, 3)A ， 7 分 联立223 3( 3 ) ( 1) 4yxxy， 解得 (2 3, 2)B ， 8 分 22( 2 3 3 ) ( 2 3 ) 4 2 3AB 10 分 23选修 45 ：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合
19、思想、化归与转化思想等 满分 10 分 解法 一： （ ） 当 1a 时， 21f x x x ， 2 1 4xx ， 1 分 当 1x 时， 2 1 4xx ，解得： 32x，故 32x； 2 分 当 12x 时， 2 1 4xx ， 解得： x ； 3 分 当 2x 时， 2 1 4xx ，解得： 52x，故 52x 4 分 综上： 不等式 4fx 的解集为： 3522x x x 或 5 分 （ ） 即 min 31f x a 6 分 由 2 2 2f x x x a x x a a ， 7 分 故 2 3 1aa ， 2 3 1aa 或 2 1 3aa ， 8 分 解得 32a ，或 14a ， 9 分 综上， 32a 10 分
