1、高三数学试题(文科)答案 第 1 页(共 4 页) 合肥市2019年高三第一次教学质量检测 数学试题(文科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13. 1, 6 14.91615.41nn16.34三、解答题: 17.(本小题满分12分) (I)由已知可得 sin 23gx x,则 sin 2 sin 2 sin 233hx x x x . 令 22 223kx kkZ , ,解得512 12kx kkZ , . 函数 hx的单调递增区间为 512 12kkkZ , . 5 分(II)由163g得21sin 2 sin 26
2、3 3 3 , 1sin 233,即 13h . 12 分 18.(本小题满分12分) (I)取 CD 的中点为 M,连结 EM, BM. BCD 为等边三角形, BM CD . BAD=120, AD = AB , ADB=30 ADCD , /BM AD . 又 BM 平面 PAD , AD 平面 PAD , BM 平面 PAD . E 为 PC 的中点, M 为 CD 中点, EM PD . 又 EM 平面 PAD , PD 平面 PAD , EM 平面 PAD . EM BM M ,平面 BEM 平面 PAD . 又 BE 平面 BEM , BE 平面 PAD . 5 分 (II)连结
3、 AC 交 BD 于 O,连结 PO. CB CD AB AD, , ACBD 且 O 为 BD 的中点 . 又 BAD=120, 23BD , PBD ABD . 1AO PO . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C D D D C B C A A 高三数学试题(文科)答案 第 2 页(共 4 页) 又 2PA ,222PA PO OA, PO OA . 又 PO BD , PO 平面 ABD ,即四棱锥 PABCD 的高为 =1PO , 四棱锥 PABCD 的体积213 1 4323 231 134 2 3V . 12 分 19.(本小题满分1
4、2分) (I)甲班:7140 4920(人 ),乙班7140 4920(人 ),丙班6140 4220(人 ). 5 分 (II) 34x . 设事件 A “3 名学生睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 的学生 ”.丙班睡眠时间少于 x 的有 4 人,设为1234A AAA, ,多于 x 的有 2 人,设为12BB, .从这 6 名学生中随机选取 3 人的基本事件共有20 种,而不满足条件的基本事件 (3 人睡眠时间都低于 x )有432431421321, AAAAAAAAAAAA 共 4种情况,所以满足条件的基本事件数为 16 种,542016)( AP ,即在丙班被抽取的 6 名学生中
5、,再随机地选取 3 人作进一步地调查,选取的 3 人睡眠时间既有多于 x 、又有少于 x 学生的概率为54. 12 分 20.(本小题满分12分) (I)由题意知, 446 6aa, . 又22e , 3c , 3b , 椭圆 E 的方程为22163xy. 5 分 (II)易知,当直线 ABCD、 的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点 M N, 在 x 轴上,OM N, 三点共线; 当直线 ABCD, 的斜率存在时,设其斜率为 k ,且设 11 2 2 0 0A xy Bxy Mxy, , , . 联立方程得221122163163xyxy 相减得22 2 211063 63xy xy ,
6、22 221212 121 212 1263 6 3x xxx yyyyxx yy , , 1212121236yyyyxxxx,01212036yyyxxx ,即12OMkk , 12OMkk . 同理可得12ONkk ,OM ONkk , OM N, 三点共线 . 12 分 高三数学试题(文科)答案 第 3 页(共 4 页) max23S 2312 21.(本小题满分12分) (I) 110xgx f x e axx,121xgx ex . 令 11231200xxxgxe x xe , , g x 在 0 , 上为增函数, 10g . 当 0 1x , 时, 0gx ;当 1x , 时,
7、 0gx , g x 的单调递增区间为 1 , ,单调递减区间为 (0, 1) , () =(1) 2g xg a 极小. 5 分 (II)由(I)知, f x 在 1 , 上单调递增,在 (0, 1)上单调递减, 12f xf a. 当 2a 时, 0fx , f x 在 1 , 上单调递增, 11fx f,满足条件; 当 2a 时, 12 0fa . 又 ln11ln 1 0ln 1 ln 1afa eaaa , 01 ln 1xa , ,使得 00fx , 此时, 01x x , , 0fx ; 0ln 1xx a , , 0fx f x 在 01 x, 上单调递减, 01x x , ,
8、都有 11fx f ,不符合题意 . 综上所述,实数 a 的取值范围为 2, . 12 分 22.(本小题满分10分) (I)221:1Cx y,2:=2cosC ,则2=2 cos , 222x yx . 联立方程组得222212xyx yx ,解得111232xy,221232xy, 所求交点的坐标为1322,1322,. 5 分 (II)设 B , ,则 =2cos , AOB 的面积11sin 4 sin 4cos sin2233SOAOB AOB 2cos 2 36, 当 时, 10 分23.(本小题满分10分) (I) 22fx x,即 12 2x x10 1012 2 12 2xxx xx x 或13x 实数 x 的取值范围是13, . 5 分 高三数学试题(文科)答案 第 4 页(共 4 页) (II) 1a , 11a , (1)2 11(1 ) 1112ax xgx ax xaax xa , ,-, , , 易知函数 g x 在1xa, 时单调递减,在1xa , 时单调递增,则min111gx gaa. 1112a,解得 2a . 10 分