1、河 北 省 “ 五 个 一 名 校 联 盟 ” 2019 届 高 三 第 一 次 诊 断 考 试数 学 （ 文 科 ） 试 题 2019.2（ 满 分 ： 1 5 0 分 ， 测 试 时 间 ： 1 2 0 分 钟 ）第 I 卷 （ 选 择 题 ， 共 60 分 ）一 、 选 择 题 (本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是符 合 题 目 要 求 的 ,把 正 确 答 案 填 涂 在 答 题 卡 上 .)1 已 知 集 合 22 xxM ， 1 xyxN ， 那 么 RC M N IA 12
2、 xx B 12 xx C 2 xx D 2 xx2 设 (1 )i z i （ 其 中 i为 虚 数 单 位 ） ， 则 复 数 zA. 1 12 2i B. 1 12 2i C. 1 12 2i D. 1 12 2i 3.经 调 查 ， 某 市 骑 行 共 享 单 车 的 老 年 人 、 中 年 人 、 青 年 人 的 比 例 为 6:3:1 ， 用 分 层 抽 样 的 方 法抽 取 了 一 个 容 量 为 n的 样 本 进 行 调 查 ， 其 中 中 年 人 数 为 12 人 ， 则 nA.30 B.40 C.60 D.804.“ 1m ” 是 “ 方 程 2 2 11 5y xm m
3、表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 ” 的A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件5.已 知 函 数 )(xf 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 当 0x 时 ， mxxf )(log)( 2 ，1( ) 22f ， 则 实 数 mA. 22 B. 22 C. 12 D. 2 1 6.已 知 等 差 数 列 na 中 ， 19,7 10453 aaaa ， 则 数 列 nan cos 的 前 2018项 和 为A.1008 B.1009 C.2017 D.20187.已 知 点 P为 圆
4、2 2:( 1) ( 2) 4C x y 上 一 点 ， (0, 6), (4,0)A B ,则 PA PB 的 最 大 值 为A. 26 2 B. 26 4 C. 2 26 4 D. 2 26 28.已 知 函 数 ( ) sin 3cosf x x x ， 且 4)()( 21 xfxf ， 则 21 xx 的 最 小 值 为A. 3 B. 2 C. 32 D. 439. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 右 图 所 示 ， 若 该 几 何 体 中 最 长 的棱 长 为 2 5 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为A. 83 B. 163C. 8 33 D. 16 3310.已 知 1
5、 2,F F 分 别 是 椭 圆 2 2: 14x yC m 的 上 下 两 个 焦 点 ， 若 椭 圆 上 存 在 四 个 不 同 点 P ,使 得1 2PFF 的 面 积 为 3， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是A. 1 3,2 2 B. 1,12 C. 3,12 D. 3,13 11.在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， 22,2 ADACBCAB , 30CAD ， 现 沿 对角 线 AC 折 起 ,使 得 平 面 DAC 平 面 ABC ， 则 此 时 得 到 的 三 棱 锥 D ABC 外 接 球 的表 面 积 为A. )3816( B. )33264(
6、 C. )348( D. )3416( 12.已 知 函 数 ( 0)( ) 1 ( 0)1xe e xxf x xx ,若 关 于 x的 方 程 2 2( ) ( ) 3 0f x mf x m 有 5个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 m的 取 值 范 围 为A. 3,2 B.( 3,2) C. 3,2 D. 3,2第 II 卷 （ 非 选 择 题 ， 共 8 0 分 ）二 、 填 空 题 (本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ,把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 上 )13.已 知 向 量 )1,1(a ， )1,2(b ， 则 向 量 ba
7、 在 a上 的 投 影 为 .14.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 ,x y满 足 约 束 条 件 3 02 02 0x yx yx y ， 则 3 2z x y 的 最 大 值为 .15.若 过 定 点 (0, 1) 的 直 线 l与 曲 线 ln 1y x x 相 交 不 同 两 点 ,A B,则 直 线 l的 斜 率 的取 值 范 围 是 .16.在 如 图 所 示 的 四 边 形 区 域 ABCD中 ， 1AB BC ， 3CD ，120ABC BCD ,现 园 林 绿 化 师 计 划 在 区 域 外 以 AD为 边 增 加 景 观 区 域ADM ,当 45AMD 时 ，
8、景 观 区 域 面 积 的 最 大 值 为 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 7 小 题 ， 共 70分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 ）（ 一 ） 必 考 题 ： 共 60 分 .17 (本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 正 项 数 列 1na 是 公 差 为 2的 等 差 数 列 ， 且 24是 2a 与 3a 的 等比 中 项 .（ ） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ ） 若 2n n nb a a ， 求 数 列 1nb 的 前 n项 和 nS .18 (本 小 题 满 分 12 分 ） 进 入 11月 份 ，
9、香 港 大 学 自 主 招 生 开 始 报 名 ， “五 校 联 盟 ”统 一 对 五 校 高三 学 生 进 行 综 合 素 质 测 试 ， 在 所 有 参 加 测 试 的 学 生 中 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 成 绩 ， 得 到 如 图 所示 的 成 绩 频 率 分 布 直 方 图 ：（ ） 估 计 五 校 学 生 综 合 素 质 成 绩 的 平 均 值 ；（ ） 某 校 决 定 从 本 校 综 合 素 质 成 绩 排 名 前6名 同 学 中 ， 推 荐 3人 参 加 自 主 招 生 考试 ， 若 已 知 6名 同 学 中 有 4名 理 科 生 ， 2名 文 科 生 ， 试 求
10、 这 3人 中 含 文 科 生 的 概率 .19 (本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC- 中 ， PA 面 ABC ， 120BAC ， 且AB AC AP= = =1 ， 过 A 点 作 平 面 AMN， 分 别 交 ,PB BC 于 ,M N 点 .（ ） 若 , ,MN AB AN BN = 求 证 ： M为 PB 的 中 点 ；（ ） 在 （ ） 的 条 件 下 ， 求 点 P 到 平 面 MNA的 距 离 20 (本 小 题 满 分 12分 ） 已 知 动 圆 C 过 定 点 (0,2)M ,且 在 x轴 上 截 得 的 弦 长 为 4， 设 该
11、 动 圆 圆心 的 轨 迹 为 曲 线 C .（ ） 求 曲 线 C 的 方 程 ；（ ） 直 线 1L 过 曲 线 C 的 焦 点 F ， 与 曲 线 C 交 于 A 、 B 两 点 ， 且 1AA, 1BB 都 垂 直 于 直 线2: 1L y ， 垂 足 分 别 为 1 1A B、 ， 直 线 2l 与 y 轴 的 交 点 为 Q ， 求 证 1 12QA BQAA QBBSS S 为 定 值 .21 (本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 函 数 ( ) ln ( ).af x x ax R= + （ ） 讨 论 函 数 ( )f x 的 单 调 性 ；（ ） 令 ( 5) 2(
12、) a kg a a ， 若 对 任 意 的 0, 0x a ， 恒 有 ( ) ( )f x g a 成 立 ， 求 实 数 k的最 大 整 数 .(二 )选 考 题 (共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 道 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 1 题 计分 )22 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l过 点 (2,3)P ， 且 倾 斜 角 为 3 ， 以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立
13、 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 4 4 cos 2 sin ( 0). ( )写 出 直 线 L 的 参 数 方 程 及 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 若 直 线 L 与 曲 线 C 交 于 ,A B两 点 ， 且 弦 AB 的 中 点 为 ,D 求 PD 的 值 .23 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 ( ) | 1|.f x x ( )解 关 于 x的 不 等 式 2( ) 1 0;f x x ( ) 若 ( ) | 3|g x x m , ( ) ( )f x g x 的 解
14、集 非 空 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .文 科 数 学 参 考 答 案一 、 选 择CABBD DCCAA BD二 、 填 空13. 22 14.8 15.(1 ln2, ) 16.3( 2 1)三 、 解 答17.解 ： （ 1） 数 列 1na 是 公 差 为 2的 等 差 数 列 ， 1 11 1 ( 1)2, 2 2,n na a n a n a 2 1 3 12 , 4 ,a a a a 又 24是 2a 与 3a 的 等 比 中 项 ，21 1 1 124 (2 )(4 ), 6 16 0,a a a a ， 解 得 1 12( 8a a 舍 掉 )故 数 列 na 的
15、 通 项 公 式 为 2na n .6分2(2) 4 ( 2)n n nb a a n n ， 1 1 1 1 1( )4 ( 2) 8 2nb n n n n .9 分1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1(1 ) ( ).8 3 2 4 3 5 2 8 2 1 2nb b b n n n n 1 2 分 （ 化 简 整 理 成 其 他 形 式 也 给 满 分 ）18.( )依 题 意 可 知 ：55 0.12 65 0.18+75 0.40+85 0.22+95 0.08 ，=74.6 3分所 以 综 合 素 质 成 绩 的 的 平 均 值 为 74.6. 5 分
16、（ ） 设 这 6名 同 学 分 别 为 , , , ,1,2a b c d 其 中 设 1,2为 文 科 生 ，从 6人 中 选 出 3 人 ， 所 有 的 可 能 的 结 果 为( , , ),( , , ),( , ,1),( , ,2),( , , ),( , ,1),( , ,2),( , ,1),( , ,2),( ,1,2)a b c a b d a b a b b c d b c b c c d c d d( , , ),( , ,1),( , ,2),( , ,1)( , ,2),( , ,1),( , ,2),( , ,2),( , ,1),( , ,2)a c d a c
17、 a c a d a d b d b d c e a d a d共 20种 ， 9 分其 中 含 有 文 科 学 生 的 有 ( , ,1),( , ,2),( , ,1),( , ,2),( , ,1),( , ,2),( ,1,2)a b a b b c b c c d c d d( , ,1),( , ,2),( , ,1),( , ,2),( , ,1),( , ,2),( , ,2),( , ,1),( , ,2)a c a c a d a d b d b d c e a d a d 16 种所 以 含 文 科 生 的 概 率 为 16 420 5 . 12分19. 解 ： （ 1
18、） 取 AB 中 点 Q ， 连 接 ,MQ NQ ,AN BN= ABNQ ， 2分 ,MN AB AB 面 MNQ，, , , / / ,AB MQ PA ABC PA AB MQ PA面 Q ABPA ， 又 PAMQ QQ 为 AB 的 中 点 ， M 为 PB 的 中 点 5 分（ ） 设 点 P 到 平 面 MNA的 距 离 为 h， M为 PB 的 中 点 ， 1 1,2 4PAM PABS SD D = =又 ABNQ ， PANQ ， BPANQ 面 ， 30ABC 63NQ 7 分又 3322 MQNQMN ， 33AN ， 22AM ， 9 分可 得 NMAD 边 AM上
19、 的 高 为 1230 ， 241512302221 NMAS 10 分由 PAMNNMAP VV 得 hS NMA31 NQS PAM 31 55h 12 分20 （ ） 设 动 圆 圆 心 坐 标 为 ( , )C x y ， 根 据 题 意 得2 2 2( 2) 4x y y+ - = + ， 2 分化 简 得 2 4x y= . 4分（ ） 设 1 1( , )Ax y ， 2 2( , )Bx y ,由 题 意 知 1L 的 斜 率 一 定 存 在 设 1 : 1L y kx ， 则 2 1,4 .y kxx y ，得 2 4 4 0.x kx 所 以 1 2 4xx ， 1 2 4
20、x x k ，21 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1 1y y kx kx k xx k x x ，21 2 1 2( ) 2 4 2,y y k x x k 7 分Q又 1 1 1,AA y 1 2 1,BB y 1 1 1 2 ,AB x x 1 12 21 21 1 2 21 1( 1) ( 1)2 2QA BQAA QBBS x xS S y x y x 10分21 2 1 21 2 1 2 1 24 ( ) 4( 1)x x x xy y y y x x = 224 16 16 4.4(4 4)kk 12 分21.（ ） 此 函 数 的 定 义 域 为 (0,
21、) ， 2 21( ) ,a x af x x x x- = - =（ 1） 当 0a 时 ， ( ) 0,f x ( )f x 在 (0, )+ 上 单 调 递 增 ， 2 分（ 2） 当 0a 时 ， (0, ), ( ) 0, ( )x a f x f x 单 调 递增 4 分 综 上 所 述 ： 当 0a 时 ， ( )f x 在 (0, )+ 上 单 调 递 增当 0a 时 ， (0, ), ( )x a f x 单 调 递 减 ， ( , ), ( )x a f x + 单 调 递 增 5分 （ ） 由 （ ） 知 min( ) ( ) ln 1,f x f a a ( ) ( )
22、f x g a 恒 成 立 ， 则 只 需 ln 1 ( )a g a 恒 成 立 ，则 ( 5) 2 2ln 1 5 ,a ka ka a 2ln 6a ka ， 8分令 2( ) ln ,h a a a= + 则 只 需 min( ) 6,h a k -则 2 21 2 2( ) ,ah a a a a- = - = (0,2), ( ) 0, ( )a h a h a 单 调 递 减 ，(2, ), ( ) 0, ( )a h a h a 单 调 递 增 ， min( ) (2) ln2 1ha h 10分即 ln2 1 6, ln2 7,k k k+ - + 的 最 大 整 数 为 7
23、. 12分22 解 ： ( ) 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ： 12 ,2 (33 ,2x t ty t 为 参 数 ） ，曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 ： 2 2( 2) ( 1) 9.x y 4 分（ 其 它 形 式 的 直 线 参 数 方 程 均 给 分 ）( )直 线 l的 参 数 方 程 代 入 C得 ：2 (4 4 3) 23 0,t t 1 2 2 2 3.2t tPD 10分（ 利 用 圆 的 几 何 性 质 均 给 分 ）23. 解 ： ( )由 题 意 原 不 等 式 可 化 为 ： 2-11- xx 即 ： 1-1-11- 22 xxxx 或 2分由 2-11- xx 得 2-1 xx 或 由 1-1- 2xx 得 01 xx 或综 上 原 不 等 式 的 解 集 为 1 0x x x 或 5 分( )原 不 等 式 等 价 于 -1 3x x m 的 解 集 非 空 ，令 31-)( xxxh ， 即 min min( ) ( 1 3) ,h x x x m ， 8 分由 43-1-31- xxxx ， 所 以 4)( min xh ，所 以 4m . 10分
