1、人大附中理科数学模拟试题精编(一)(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。2非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设全集Qx|2
2、x25x0，xN，且P Q，则满足条件的集合P的个数是( )A3 B4 C7 D82若复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z( )Ai Bi C2i D2i3已知等差数列an的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6( )A80 B85 C90 D954小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34 B.23 C.12 D.135已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱
3、锥的三视图的是( )6已知p：a1，q：函数f(x)ln(xa2x2)为奇函数，则p是q成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7. 1x24x24 3展开式的常数项为( )A120 B160 C200 D2408我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为( )A3.119 B3.126C3.132 D3.1519已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f 6 |对xR恒成立，且f 2f()，则f
4、(x)的单调递增区间是( )A. k3，k6 (kZ) B. k，k2 (kZ)C. k6，k23 (kZ) D. k2，k (kZ)10已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线C相交于M，N两点，若PF3MF，则|MN|( )A.212 B.323 C10 D1111等比数列an的首项为32，公比为12，前n项和为Sn，则当nN*时，Sn1Sn的最大值与最小值之和为( )A23 B712 C.14 D.5612已知函数f(x)|2xm|的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，若函数f(x)与函数g(x)在区间1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范
5、围是( )A. 12，2 B2,4C.，124，) D4，)第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知|a|2，|b|1，(a2b)(2ab)9，则|ab|_.14已知实数x，y满足不等式组x3y502xy40y20，则zxy的最小值为_15已知F为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且MFNF0，MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为_16我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的
6、平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f(x)1x2，x1，0cos x，x0，2的图象与x轴围成一个封闭区域A，将区域A沿z轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A相等，则此圆柱的体积为_三、解答题(共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分17(本小题满分12分)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且c2，C3.(1)若ABC的面积等于3，求a，
7、b；(2)若sin Csin(BA)2sin2A，求A的值18(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，AC与BD相交于点E，PA平面ABCD，PA4，AD2，AB2 3，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角APCD的余弦值19(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13.(1)若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率
8、不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值20(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|4 3，A 3，132是椭圆上一点(1)求椭圆C的标准方程和离心率e的值；(2)若T为椭圆C上异于顶点的任一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|QM|为定值21(本小题满分12分)已知函数f(x)12x2aln
9、 x(aR)(1)若函数f(x)在x2处的切线方程为yxb，求a和b的值；(2)讨论方程f(x)0的解的个数，并说明理由(二)选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线l的参数方程为x3tcos ytsin (t为参数)，直线l与曲线C：x1cos ytan (为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若3，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|PB|的值23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x3|
10、xm|(xR)(1)当m1时，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)5的解集不是空集，求参数m的取值范围高考理科数学模拟试题精编(一)答案1解析：选D.Qx|0x52，xN0,1,2，满足条件的集合P有238个2解析：选A.由题意，得m(m1)0且(m1)0，得m0，所以zi，1z1ii，故选A.3解析：选C.由题意，得(a15)2a1(a145)，解得a152，所以S6652652590，故选C.4解析：选D.解法一：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A，则P(A)455204054513，选D.解法二：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为
11、事件A，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P(A)140204054513，选D.5解析：选D.由三视图知识可知，选项A，B，C表示同一个三棱锥，选项D不是该三棱锥的三视图6解析：选C.f(x)ln(xa2x2)为奇函数 f(x)f(x)0 ln(xx2a2)ln(xx2a2)0 ln a20 a1.7解析：选B. 1x24x24 31x2x 6，展开式的通项为Tr1Cr6 1x 6r(2x)rCr62rx2r6，令2r60，可得r3，故展开式的常数项为C3623160.8解析：选B.在空间直角坐标系Oxyz中，不等式组0x10y10z1表示的区域是棱长为1的正方
12、体区域，相应区域的体积为131；不等式组0x10y10z1x2y2z21表示的区域是棱长为1的正方体区域内的18球形区域，相应区域的体积为1843136，因此65211 000，即3.126，选B.9解析：选C.因为f(x)|f 6 |对xR恒成立，即|f 6 |sin 3 |1，所以k6(kZ)因为f 2f()，所以sin()sin(2)sin sin ，即sin 0，所以562k(kZ)，所以f(x)sin 2x56，所以由三角函数的单调性知2x562k2，2k2 (kZ)，得xk6，k23 (kZ)，故选C.10解析：选B.设M(xM，yM)，PF3MF，2(2)3(2xM)，则2xM4
13、13，xM23，代入抛物线C：y28x，可得yM4 33，不妨设M 23，4 33，则直线MF的方程为y3(x2)，代入抛物线C：y28x，可得3x220x120，N的横坐标为6，|MN|23262323 .11解析：选C.依题意得，Sn32 112 n112112n.当n为奇数时，Sn112n随着n的增大而减小，1Sn112nS132，Sn1Sn随着Sn的增大而减小，0Sn1Sn56；当n为偶数时，Sn112n随着n的增大而增大，34S2Sn112n1，Sn1Sn随着Sn的增大而增大，712Sn1Sn0.因此Sn1Sn的最大值与最小值分别为56、712，其最大值与最小值之和为56712312
14、14，选C.12解析：选A.由题易知当m0时不符合题意，当m0时，g(x)|2xm|，即g(x)| 12 xm|.当f(x)与g(x)在区间1,2上同时单调递增时，f(x)|2xm|与g(x)| 12 xm|的图象如图1或图2所示，易知log2m1，log2m1，解得12m2；当f(x)在1,2上单调递减时，f(x)|2xm|与g(x)| 12 xm|的图象如图3所示，由图象知此时g(x)在1,2上不可能单调递减综上所述，12m2，即实数m的取值范围为12，2 .13解析：由|a|2，|b|1可得a24，b21，由(a2b)(2ab)9可得2a23ab2b29，即243ab219，得ab1，故
15、|ab|a22abb24213.答案：314.解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分)及直线xy0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(11，2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时zxy取得最小值，最小值为zmin11213.答案：1315解析：因为MFNF0，所以MFNF.设双曲线的左焦点为F，则由双曲线的对称性知四边形FMFN为矩形，则有|MF|NF|，|MN|2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF|NF|2a，所以|MF|NF|2a.因为SMNF12|MF|NF|ab，所以|MF|NF|2ab.在RtMNF中，|MF|2|NF
16、|2|MN|2，即(|MF|NF|)22|MF|NF|MN|2，所以(2a)222ab(2c)2，把c2a2b2代入，并整理，得ba1，所以eca1ba 22.答案：216解析：区域A的面积为S420cos xdx41，所得图一中的几何体的体积为V4 414，即圆柱的体积为V柱4.答案：417解：(1)c2，C3，由余弦定理得4a2b22abcos3a2b2ab，ABC的面积等于3，12absin C3，ab4，(4分)联立a2b2ab4ab4，解得a2，b2.(6分)(2)sin Csin(BA)2sin 2A，sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，sin BcosA2sinAco
17、sA，(8分)当cosA0时，A2；(9分)当cosA0时，sin B2sinA，由正弦定理b2a，联立a2b2ab4b2a，解得a2 33，b4 33，b2a2c2，C3，A6.综上所述，A2或A6.(12分)18解：(1)PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABDADAB33，tanBACBCAB3.(2分)ABD30，BAC60，(4分)AEB90，即BDAC.又PAACA，BD平面PAC.(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2 3，0,0)，C(2 3，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD(2 3，4,0)，PD(
18、0,2，4)，BD(2 3，2,0)，设平面PCD的法向量为n(x，y,1)，则CDn0，PDn0，2 3x4y02y40，解得x4 33y2，n4 33，2，1 .(8分)由(1)知平面PAC的一个法向量为mBD(2 3，2,0)，(10分)cosm，nmn|m|n|8493343 9331，由题意可知二面角APCD为锐二面角，二面角APCD的余弦值为3 9331 .(12分)19解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A，则事件A的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X，故XB 4，13，P(X0)C04 23
19、41681，P(X1)C1413 23 33281，P(X2)C24 13 2 23 22481，P(X3)C34 13 323881，P(X4)C44 13 4181.即X的分布列为：(4分)X 0 1 2 3 4P 1681 3281 2481 881 181(5分)(2)设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为xn，即x0，x1，xn，这n1个互斥事件的和事件，则n 0 1 2 3 4P(xn) 1681 4881 7281 8081 1(6分)728190%8081，至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.(
20、8分)(3)设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18,13,8P(Y18)P(X0)P(X1)P(X2)7281，P(Y13)P(X3)881，P(Y8)P(X4)181，(10分)即Y的分布列为：Y 18 13 8P 7281 881 181(11分)则E(Y)187281138818181140881，故该厂获利的均值为1 40881 .(12分)20解：(1)解法一：|F1F2|4 3，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)(1分)由椭圆的定义可得2a 32 32132 2 32 32132 21214254112528，解得a4，e2 3432，b216124，(3分)
21、椭圆C的标准方程为x216y241.(5分)解法二：|F1F2|4 3，c2 3，椭圆C的左焦点为F1(2 3，0)，故a2b212，(2分)又点A( 3，132 )在椭圆x2a2y2b21上，则3b212134b21，化简得4b423b21560，得b24，故a216，e2 3432，椭圆C的标准方程为x216y241.(5分)(2)由(1)知M(4,0)，N(0,2)，设椭圆上任一点T(x0，y0)(x04且x00)，则x2016y2041.直线TM：yy0x04(x4)，令x0，得yP4y0x04，(7分)|PN|24y0x04|.(8分)直线TN：yy02x0 x2，令y0，得xQ2x
22、0y02，|QM|42x0y02|.(10分)|PN|QM|24y0x04|42x0y02|2x04y08x04 |2x04y08y02 |4|x204y204x0y08x016y016x0y02x04y08 |，由x2016y2041可得x204y2016，代入上式得|PN|QM|16，故|PN|QM|为定值(12分)21解：(1)因为f(x)xax(x0)，又f(x)在x2处的切线方程为yxb，所以f(2)2aln22b，f(2)2a21，解得a2，b2ln2.(2分)(2)当a0时，f(x)在定义域(0，)内恒大于0，此时方程无解(4分)当a0时，f(x)xax0在区间(0，)内恒成立，
23、所以f(x)在定义域内为增函数因为f(1)120，f e1a12e2a10，所以方程有唯一解(6分)当a0时，f(x)x2ax .当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在区间(0，a)内为减函数，当x( a，)时，f(x)0，f(x)在区间( a，)内为增函数，所以当xa时，取得最小值f( a)12a(1ln a)(8分)当a(0，e)时，f( a)12a(1ln a)0，方程无解；(9分)当ae时，f( a)12a(1ln a)0，方程有唯一解；(10分)当a(e，)时，f( a)12a(1ln a)0，因为f(1)120，且a1，所以方程f(x)0在区间(0，a)内有唯一解，当x1时，设g
24、(x)xln x，g(x)11x0，所以g(x)在区间(1，)内为增函数，又g(1)1，所以xln x0，即ln xx，故f(x)12x2aln x12x2ax.因为2aa1，所以f(2a)12(2a)22a20.所以方程f(x)0在区间( a，)内有唯一解，所以方程f(x)0在区间(0，)内有两解，综上所述，当a0，e)时，方程无解，当a0或ae时，方程有唯一解，当ae时，方程有两解(12分) 22解：(1)由曲线C：x1cos ytan (为参数)，可得曲线C的普通方程是x2y21.(2分)当3时，直线l的参数方程为x312ty32 t (t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t26t160
25、，(3分)得t1t26，所以线段AB的中点对应的tt1t223，故线段AB的中点的直角坐标为92，3 32 .(5分)(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2sin2)t26cos t80，(7分)则|PA|PB|t1t2| 8cos2sin2|81tan21tan2 |，(9分)由已知得tan 2，故|PA|PB|403.(10分)23解：(1)当m1时，f(x)6等价于x1x1x36，或1x3x1x36，或x3x1x36，(3分)解得x2或x4，所以不等式f(x)6的解集为x|x2或x4(5分)(2)解法一：化简f(x)得，当m3时，f(x)2x3m，xmm3，mx32xm3，x3，(6分)当m3时，f(x)2x3m，x33m，3xm，2xm3，xm (7分)根据题意得：m3m35，即3m2，(8分)或m3m35，即8m3，(9分)参数m的取值范围为m|8m2(10分)解法二：|x3|xm|(x3)(xm)|m3|，f(x)min|3m|，(7分)|m3|5，(8分)8m2，参数m的取值范围为m|8m2(10分)
