1、前言第 1 页 (共 30 页) 抛物型方程解的估计及其应用1 前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等） ，它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用微积分产生以后，
2、人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究早在 18 世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可
3、以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支偏微分方程理论它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具因此，数学物理方程又是抛物型方程解的估计及其应用第 2 页 (共 30 页) 纯粹数
4、学的许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2 研究目的和意义 数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用 于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程） ，通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微
5、分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用随 着 物 理 科 学 所 研 究 的 现 象 在 广 度 和 深 度 两 方 面 的 扩 展 ， 偏 微 分 方 程 的 应用 范 围 更 广 泛 从 数 学 自 身 的 角 度 看 ， 抛 物 型 方 程 的 求 解 促 使 数 学 在 函 数 论 、变 分 法 、 级 数 展 开 、 常 微 分 方 程 、 代 数 、 微 分 几 何 等 各 方 面 进 行 发 展 2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自 18 世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越
6、丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是热传导方程的一些知识第 3 页 (共 30 页) 说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式求经典解的方法有分离变量法、Fourier 变换法经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经
7、典解于是就提出了广义解 1的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解） ，它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是
8、就有了抛物型方程数值解的理论研究求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的
9、强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用3 热传导方程的一些知识3.1 热传导方程的导出抛物型方程解的估计及其应用第 4 页 (共 30 页) 若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方传递，这就是常说的热传导现象由于热量
10、的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体 在 内部的温度变化规律G设以 表示物体 在 内任一点 处在时刻 的温度,uxyzG,Mxyzt在 内任取一小块区域 ，使 ，并且其边界 是光滑的闭曲面， 上面V积元素的单位外法向量记作 n根据传热学中的傅里叶实验定律 2，物体在无穷小时段 内，从 内经过 流dtVdS出的热量 与时间 ，流经面积 以及温度沿 的外法向量的方向导数 成正dQtdSSun比，即uktkundtn其中 是物体的热传导系数， 上式中的负号表示热流的方向与0k,xyz温度梯度的方向相反
11、（因为热量总是由温度高处流向温度低处） ，因此从时刻 到时1t刻 经过 流入 内的全部热量 2tV21tQdkunsdtA若物体 内有热源，且热源强度为 （即在时刻 点 处的单位面积,Fxyztt,xyz在单位时间内发出的热量） ，则在 内， 从热源上吸收的热量为12tV21,tVQxyztdt另一方面，在 内， 内温度从 升高到 所需吸收的热量为12,t 1,ut1,uxyzt32,Vcxyztxyzd其中为 物体的比热， 为物体的密度c热传导方程的一些知识第 5 页 (共 30 页) 根据能量守恒，有123Q若 关于 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得,uxyzt,xyz2 21 1t t
12、VdkunsdkudxyztA这里 是 laplace 算子，22xyz若 关于 具有一阶连续偏导数，则由 Newton-Leibniz 公式有,uxyztt213ttVQdcuxydz因此有 2 21 1t ttVVdcuxydzkuFdxyz由于时间段 及区域 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则12,t2tuaf其中 ， ，并且当 时，表示 内有热源；当 时，表示 内2kacFf0f0f有冷源（即热汇） 在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数 仅与坐标
13、及时间 有关，我们就得到一维uxt热传导方程 2atx同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程抛物型方程解的估计及其应用第 6 页 (共 30 页) 2uuatxy3.2 定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件定解条件分为初始条件和边界条件初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称 Dirichlet边界条件）是直接给出未知函数在研究区域 的边界 上的值；第二类边界条件（又称 Ne
14、umann 边界条件）是在 上给出未知函数 沿 沿外法方向 的方向导un数；第三类边界条件（又称为 Robin 条件）是在边界 上给出未知函数 及其沿u的外法方向导数的某种线性组合的值从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解初始条件的提法显然为 ,0,uxyzxyz其中 为已知函数，表示物体在 时的温度分布0t第一边界条件：在 中的有界区域 的导热问题中，若 的边界 处于恒温3R的环境下，则边界条件为0u0u若边界温度按已知规律 变化
15、，则,gxyzt第二边界条件：若热量在边界曲面 各点的流速为 ，则由 Fourier,Gxyzt定律，边界条件可写成,ugxyztn定解问题的求解第 7 页 (共 30 页) 其中 ，若 ，则 ，此时称之为绝热边界条件Ggk00un第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界 有热量交换，物体外介质的温度为 ，物体表面的温度为 ，内外两种介质间的热交换系数为 ，2u1u 10k根据 Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有12dQkudst另一方面，由 Fourier 定律 3，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为stn从而有12ukudstkdt即,
16、gxyztn其中， 1k1,uzt4 定解问题的求解4.1 初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过 Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解（1）2,0,txyuafxt视 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题t（2）2,txyu对 进行 Fourier 变换，记,xy抛物型方程解的估计及其应用第 8 页 (共 30 页) ，12,FuxytUt在（1）式两边关于 进行 Fourier 变换，原问题变为,（3）22121212, ,0,dtaitiUttU （2
17、）式是带参数 的常微分方程的柯西问题，它的解为12（4）211,atte函数 的 Fourier 逆变换 4为21ate2 21 1122 21 22F =a aixytixatixetede2 21 1 12111+0cossin atixat attededidx令 21+10cosatIxex212 21 1/ 02in =scos tat atdexxedtxI 解得24xatIce又 定解问题的求解第 9 页 (共 30 页) 212+0 atyIedtat则有 221 4Fxyaatete由（4）可得初值问题（2）的解为（5）2421, ,4xyatuxyt edat再求解非齐次热
18、传导方程具有齐次初始条件的柯西问题（6）2,.0txyufxt由齐次化原理 5，此柯西问题的解可写为0,;tuxyxytd而 为下述柯西问题的解：,;t2,txyatf于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为（7）2420,1,4xyt atuxyt edat由叠加原理 6，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为抛物型方程解的估计及其应用第 10 页 (共 30 页) 2242 4201, ,4 xyatxyt atuxyt edat在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是形式解为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证4.2 初边值问
19、题的求解热传导方程的初边值问题（8）20txua（9）0xl（10）t令（11） ,uxtXTt并要求它满足齐次边界条件（9） ，这里 及 分别表示仅与 有关及仅与 有txt关的特定函数将（11）代入方程（8）中，得到（12）/0XxTtxt将上式分离变量，有（13）/2tXxaT由于在（13）式中，左边仅是 的函数，右边仅是 的函数，左右两端要相等，只有tx等于同一个常数才可能记次常数为 （其值待定） ，就得到（14）/2Ta0tt（15）/Xx定解问题的求解第 11 页 (共 30 页) 这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量 ，另一个仅含有t自变量 ，我们可以通过求
20、解这两个方程来决定 及 ，从而得到方程（8）x TtXx的特解（11）为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件（16）0,0Xl的非平凡解方程（15）的通解随 ， 以及 而不同，下面分三种情况0讨论：情形 1 当 时，方程（15）的通解可写成12xxXCe要使它满足边界条件（16） ，就必须120lle由于10lle只能 故在 的情况得不到非平凡解120C情形 2 当 时，方程（15）的通解可以写成12XxC要满足边界条件（16） ， 也只能恒等于零情形 3 当 时，方程（15）的通解具有如下形式：012cossinXxxx由边界条件 知 ，再由1C2si
21、n0ll可知，为了使 ，就必须 于是20抛物型方程解的估计及其应用第 12 页 (共 30 页) 2(1,)kl这样就找到了一族非零解sin(,2)kkXxAxl将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为2(1,)aktlkTtBe这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：2k, sin(1,2)aktlkuxtXtxkl现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数 使 ka（17）21,sinaktlkuxtexl满足初始条件（10） 故由初始条件（10）应有1sinkxaxl由于 在 上正交，因此， 是在 区间中正弦展开的傅里叶
22、1,sinkl0,lka0,l级数的系数，即 （18）02sinlkkadl故（19）201,sisinaktl lkuxt exll是用级数形式表示的初边值问题的形式解为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验抛物型方程解的估计及其应用第 13 页 (共 30 页) 证当 ，且 ， 是有界函数， （18）式确定的函数 是1C0lx ,uxt混合问题的解分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8） ，因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8） ，此时边界条件（9）和初始条
23、件（10）的满足也是显然的推论了证明：由于式（19）中含有因子 ，因此对于任意 ，当 时，对2aktle 0t任意的 ，级数 均是一致收敛的，而由 是有界函数的假设（0p21paktlkl） ，可得xM0sinlkdMll故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当时，关于 及 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换由于级数的每一项0txt都满足方程（8）及边界条件(9)、(10) ，从而式（19）式表示的级数在 时确实满0t足方程及边界条件当加上条件 时，当 时，对任意 ，0l0t,xl由式（19）给出的级数趋于初值 ，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题
24、（8）x（10）的经典解5 抛物型方程解的估计及其应用先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计 7，能量估计 8等等一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先抛物型方程解的估计及其应用第 14 页 (共 30 页) 验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息5.1 极值原理考虑热传导方程2,txLuaftxQ其中 ， 的侧边和底边统称为 的抛物边界，记作 ，,0,QxtlT 即 ,0,0,ttxtltT
25、xtxl在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到这就是热传导方程的“极值原理” 定理 1（弱极值原理） 设函数 满足 2,1,CuxtQLuf（1） 若 ，则 在 上的最大值必在抛物边界 上达到，即0fuQma,a,xtxt（2） 若 ，则fin,i,Quxtxt（3） 若 ，则0f， max,a,Qtxtmin,i,Quxtxt同时成立，这里 表示在 内关于 二次连续可微，且关于 一次连续可微的2,1C函数全体证明：（1）不妨先考虑 情形0f反设存在点 ，使得0,xtQ0,
26、max,Qutut抛物型方程解的估计及其应用第 15 页 (共 30 页) 则在该点处 ， ， （如果 ，则 ；如果 ，则 ）0xux0tu0tT0tu0tT0tu因此，020,txtfa这与 的假设相矛盾故 不能在 内达到最大值，从而有0f,uQmaa,Qxtuxt当 时，设法将其转化为前面的情形为此构造辅助函数,fxt,vxtut其中 是任意小的正数因为0Lf所以 max,ax,Qvtvt于是 ax,max,QutttTutT令 ，得0ax,ax,Qutut（2）若 ，则对 应用情形（1）的结论即可f（3）结合前面两种情况，若 ，则 在 的上的最大值与最小值都在抛物边界0L上达到下面我们将
27、弱极值原理推广到稍一般的热传导方程21,txxuabtuctfxt定理 2 函数 满足 ，则 在 上的正最大值必在,CQ10LfuQ抛物边界 上达到，即max,ax,utut由于其证明与定理 1 的证明方式类似，这里不再赘述定理 3 设 ，其中 为正常数若函数 满足0,ct0c2,1,uxtCQ抛物型方程解的估计及其应用第 16 页 (共 30 页) ，且 ，则必有10Lufmax,0utax,0Qut证明 令 ，则 满足方程0,ctvxte,v020cttxabcfe由于 ，根据定理 2，得0c0ma,a,max,0ctQvxtvxteut因此结论得证利用定理 3，不难得到下列推论：推论 1
28、（比较原理） 设 ，又设 ，且0,cxtc2,1,uvCQ， ，则对任意的 ，有1Luv Q,uxtvt5.2 初边值问题解的最大模估计设 是 中的有界开集， 记 ，nR0T(0,TQ这里的 称为 的抛物边界我们先在 中研究抛物0,)TTQ型方程记 1,intixAubtuft1,intixBtctfxt考察第一初边值问题（20）1, ,0 ,0,intix TAubtuftxtQxtgttT抛物型方程解的估计及其应用第 17 页 (共 30 页) 定理 4 设 是问题（20）的解，则2,1TTuCQTQmaxuFB其中 ，spTQFf0,maxaxTBg证明 令 ，与 作比较因为vtu，Au
29、fA,Tt， ,00xBxx， vgut由比较原理知， ，即 uFTTQma,xFB推论 2 第一初边值问题（20）的解在函数类 中是唯一的，且2,1TTCQ连续地依赖于 ， 和 fg证明 当 时，对应的解 满足 ，故 ，从而解是唯一0uTQax0u的假设 是对应于 的解， ，则 是对应于iu,iif1,2i12的解于是1212,fgTT1212120,QQmaxaxamxaxTf g所以当 与 充分接近时， 与 也充分接近，这说明问题（20）1,fg2,fg1u2的解连续地依赖于 ， 和 现在考察第一初边值问题（21）, ,0, ,0,TBufxttQtgtt定理 5 设 ， 是问题（21）
30、的解，则0,cx2,1TTuCTQmacTeFB抛物型方程解的估计及其应用第 18 页 (共 30 页) 其中 ， supTQFf0,maxaxTBg证明 不妨认为 ，令 ，与 作比较因为0c0ctveFBu000, =, , tt ctcttt TuexFtfutQ， , ,vxBxx， g0t由比较原理知， ，即0cTuveF0TQma, cTuxeFB5.3 初值问题解的最大模估计记 ，TD0,nR,tCucxtu考察初值问题(22), ,0TnufxttDR设 连续， ， 和 有界，记 ,cxt0ctc,fxt， supTDFfsupnR如果 是初值问题（22）的解，则2,1TuC0s
31、TcTDe证明 令 ，则 满足0,ctvxtuv（23）, t ncxtvftxxR其中 ，0,cxttc0,ctftef由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数 ，记 因为L, 0,LTDxT抛物型方程解的估计及其应用第 19 页 (共 30 页) 解 有界，所以存在正常数 使得 在 上成立，在有界区域 上考虑辅助uKuDT ,LTD函数 2,wxtFxntvL直接计算知，在 上 满足,LTD 002 ,2 ,0 ,ct LTctxLxLKwFctxntefxtDtue利用比较原理知， 在 上成立,wt,TD对于 内的任一
32、点 ，取 充分大使得 ，于是 DT0x0,LTxtD0,wxt即 20000,KvtFntL令 得L00,xtt从而 00,ctTutveFt由 的任意性知，估计式（23）成立0,TxtD推论 3 初值问题（23）的解在函数类 中是唯一的，且连续2,1TTCD地依赖于 ， f由于其证明与推论 3 的证明方式类似，这里不再赘述.5.4 初边值问题的能量估计设 是 中的一个光滑区域，在 上考察第一初边值问题nR0,TQ抛物型方程解的估计及其应用第 20 页 (共 30 页) （24）, ,0 ,0,t TufxtxtQt定理 6 设 是问题（ 23）的解，则存在正常数1,02,1TTuC使得CT（
33、25）2 22 20 00max,T TtTutdxudxtdxfxdt 证明 问题（24 的方程两边乘以 并在 上积分，得TQ（26）000t t ttudxudxfudxt对（26）式左端第一项中关于 的积分利用分部积分以及初值条件，可知（27）2201,t t对（26）式左端第二项关于 的积分利用散度定理以及边界条件，推出x（28）22uudSdxudxn将（27）式和（28）式代入（26）式，得（29）22 200t txxft利用不等式 可知ab220002t t tfudxfdxudxt将上式代入（29）式，得（30）22 22000t t tudxft 记 ，0tYttFdx那么
34、不等式蕴含 ()Ytt利用 Gronwall 不等式 9推出抛物型方程解的估计及其应用第 21 页 (共 30 页) 20 2201 t ttttudxtFYeFtefdx将上式代入（30）式知 222 20 01t ttudxudxefx此式两边关于 在 上取上确界，就得到估计式（25）.t,T下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题设 为 中的有界区域，且有光滑边界 ，在区域中讨论一般形nR0,TQ式的二阶抛物型初边值问题（31）,11,ij innijxixiuatubtuctfxtt（32）0 （33）Tu解的性质式中， 为区域的侧边界；0,T12,nxx为方便讨论，作如下假设：（
35、1） 系数 、 、 及右端项 都是 上的连续函数，并且 在 上还具有一ijaibcfTQijaTQ阶连续偏导数（2） 对一切 ； 且存在正常数 ，使得对一切 及,12,ijn ijjia0,Txt任意给定的实向量 ，有：12,n 2,11,nijijiiaxt成立对于初边值问题的解，定义能量函数：（34）2Etudx定理 7 若 为初边值问题（31）（33）的解，能量函数 按式（34）,ux Et定义，则能量估计式：抛物型方程解的估计及其应用第 22 页 (共 30 页) （35）20 0tCtEtefdxttT成立其中， 为一个不依赖于 的正常数u证明 用 乘以式(31) ，并在 上关于 积
36、分，就得到：u(36),1 1, ,ij in nt ijxixidxatdbtucdfux 0,tT式左端的第一项可以写成 ；当 时，记 为侧边界 法2ut312,n T向量的方向角， 为广义面积微元令 ，固定 ，让dS,iijjxpauj i，利用高维高斯公式 10，并注意边界条件（它隐含着 ） ，边界积1,2jn 0Tu分项为零，可得 1212120cosscos= Tiiininii iniiinxxxii ixppdSdauau 故对固定的 ，有：(37)12 12=iiin inxxxii ixxxauaudauaud 成立，对式(37) 关于 从 到 求和式（36）左端的第二项可
37、以写成：1（38）,1,1,1ij ij innnxjxijxij i ij将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为 ,tQud则有1,1, ,i innt ixijxijxfudbtucaud 则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切 成立0tT（39）21, intTxiQxCd抛物型方程解的估计及其应用第 23 页 (共 30 页) 其中 为一个不依赖于 的正常数，但与 无关对任意给定的 ，有TCTu0（40）22111i innnxxi i iudddx取 ，由式（40）就得到TC（41）2211,innt xi iQudxudCudx其中 ，将式（41）代入式
38、（36） ，容易得到21TnC（42）2221,11 1ij inn njxxi i idEaududCudxft 再注意到由假设（2）有 2,11ij innjxxi ia就可得到（43）22dECtfdt其中 21C在式（43）两边乘以 再对 积分， ，并放大被积函数，即可得2Cte20ttCEefdxt定理证毕5.5 能量不等式的应用5.5.1 初边值问题解的唯一性热传导方程是抛物型方程的典型代表下面考虑二维热传导方程的初边值问题（44）2txyuaf（45）0,t抛物型方程解的估计及其应用第 24 页 (共 30 页) （46）,uxyt这里， 表示 的边界，应用能量不等式可得如下定理
39、定理 8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一证明 设 ， 是该定解问题的两个解，则其差 满足相应的齐次方程1u2 12u及齐次初始条件和齐次边界条件此时的齐次方程满足假设（1） 、 （2） ，有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有 ，故由能量不等式（35）得：0E22xyEtuad即 ，从而可推出 又由于在初始时刻 ，故得0xyu,tconst0u即 这样就证明了初边值问题（44）（46）解的唯一性,t12u5.5.2 初边值问题解的稳定性为了记号简单起见,对于定义在区域 上的函数 和定义在区域上 的函0,T数 ,常以 和 分别表示 和 f2L20,LTf12dxy 1220Tf
40、dxyt定理 9 热传导方程的初边值问题：2txyuaf0,tu的解 ，在下述意义下关于初始值 与方程右端项 是稳定的：对任何给定,xyt f的 ，一定可以找到仅依赖于 和 的 ，只要0T021L21xL抛物型方程解的估计及其应用第 25 页 (共 30 页) (47)21yL210,LTf那么以 为初值、 为右端项的解 与以 为初值、 为右端项的解 之差在上满11f1u22f2u足（48） 21Lu21xLu21yL证明 记 ， ， ，则 满足12121ffu（49）2txyuaf（50）0,t（51）u方程（49）满足假设（1） 、 （2） ，从而利用能量不等式（35） ，可得：（52）
41、220 0t TCtEtefdxytCEfdxyt0,T式中， 为一个仅依赖于 的正常数记2T20,tuxytd则 0 2202tdEtudxydxyuxdyEtt用 乘上式两端得te 0ttdeE再从 到 积分 ，并放大被积函数，利用式（52） ，就得0ttT（53）2000300t TtEeedCEfdxyt 抛物型方程解的估计及其应用第 26 页 (共 30 页) 式中， 为一个仅依赖于 的正常数结合式（52）与式（53） ，就得到3CT（54）20400EtEfdxyt0,tT式中， 为一个仅依赖于 的正常数4T对任何给定 ，取 ， ，则 仅依赖于 和 由式024max,MC5MT（5
42、4） ，只要式（49）成立，就有 2 221105LuudxyEt 即 21Lu类似地可证明其他情况6 解的渐进性估计6.1 初边值问题解的渐进性态先讨论初边值问题（8）（10） 由 4.2 节的讨论，当初始函数 满足 ，x1C且 ，我们用分离变量法得到了一个用级数表示的经典解0l（55）21,sinknatkkuxtex其中（56）0silkkd（57）2kl定理 10 假设初始函数 满足 ，且 则当 趋于无穷时，x1C0lt问题（8）（ 10）的唯一经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当 时，对一解的渐进性估计第 27 页 (共 30 页) 切 0,xl（58）21,0atuxtCe其中 为一个与解无关的正常数C证明 由前面的讨论，唯一的经典解由（56）式给出由（57）式可知，对一切 ，k（59）1kaC其中为仅与的最大模有关的常数由（57）知，当 时， ，故有k2kO另一方面，由指数函数的性质可知，当 ，对一切 成立21k1t2 21 1112k kat akkeeC其中 为一个与 无关的正常数于是当 时，对一切 ，成立2Ct0,xl22112 2112211111212, kk
