1、 本科生科研训练与创新创业项目（创新项目）申报书项 目 名 称 上的集合与测度的研究NA申请人姓名 黄小洁 所 在 部 院 系 数学科学学院申报人电话及手机 15600562075申报人电子信箱 导师姓名 唐仲伟导 师 职 称 副教授导师所在单位 北京师范大学导师电话及手机 010-58807691导师电子信箱 填 表 日 期 2015.5.北京师范大学教务处2015 年制表附件 2填 表 说 明1、 申报书各项内容，务必实事求是，表达明确严谨，字迹清晰，格式正确，否则不予受理。2、 申报书请用 A4 纸双面印制，左侧装订。格式、内容应与电子版相同。一、 项目申请人及参加人情况 项目申请人基本
2、情况姓名 黄小洁 性别 女 民族 汉 身份证号 330381199503215321部院系 数学科学 学院 学号 201311942056 年级 2013 专业 数学与应用数学电话 手机 15600562075 Email 签名项目申请人简历自何年月 至何年月 学校或单位（从高中开始） 备注2010 2013 浙江省瑞安中学 学习委员2013 至今 北京师范大学项目申请人参加科研情况自何年月 至何年月 参加项目名称 项目来源 担任的 工作 完成情况及成果项目申请人入校以来的主要专业必修课成绩课程名称 类别 学分 成绩 课程名称 类别 学分 成绩数学分析 I 专业必 修 6 85解析几何 专业
3、必 修 4 100代数学基础 I 专业必 修 6 80普通物理 I 专业必 修 6 93数学分析 II 专业必 修 6 80代数学基础 II 专业必 修 4 88普通物理 II 专业必 修 4 86数学分析 III 专业必 修 6 88代数学基础 III 专业必 修 4 86常微分方程 专业必 修 4 89概率论 专业必 修 4 92数学分析研讨课 专业必修 2 88基础物理实验 专业必 修 2 86项目组成员情况（不包括项目申请人和导师）姓 名 性别 学号 身份证号 部院系 年级 专业侯文娟 女201311131116142322199502131026 数学科学 学院 2013 统计学电话
4、 手机 Email 分工 签名15501096127 项目名称及来源 起止年月 完成情况及成果参加科研情况姓 名 性别 学号 身份证号 部院系 年级 专业陶宝艳 女201311131036220281199507053824 数学科学 学院 20131级 数学与应用数学电话 手机 Email 分工 签名无 18813042282 项目名称及来源 起止年月 完成情况及成果参加科研情况二、项目研究方案及摘要项目摘要（限 50 字以内）在集合论公理化体系下对实数论，及测度论进行系统性研究，并探讨 zfc 公理的合理性。项目研究方案（可另附纸）立论依据（项目的背景，理论与实践意义，拟研究问题的国内外现
5、状分析，预见其成果应用后的影响与作用，本项目的新意和独到之处）项目的背景：集合论是数学学科的基础，对它的研究总结有重要的意义。集合为数学最原始的概念，以它为基础建立起整个数学世界。现代集合论的研究开始于 1870 年代由康托尔及 理察戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的，但朴素集合论的开始是 1874 年康托尔的一篇论文On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers12 。 从公元前五世纪时，数学家们就在研究有关无穷的性质，最早期是希腊数学家芝诺和印度数学家，十九世纪时 伯纳德波尔查
6、诺在此领域有相当的进展3 。现在对于无限的了解是从186771 年康托尔在数论上的研究开始，1872 年康托尔和 理查德戴德金的一次聚会影响了康托尔的理念，最后产生了 1874 年的论文。直到 恩斯特策梅洛及 亚伯拉罕 弗兰克尔分别在 1908 年和 1922 年的研究最后产生了 策梅洛-弗兰克尔集合论的许多公理。 昂利勒贝格等人在实分析上的研究用到集合论中的许多数学工具，后来集合论也成为近代数学的一部分。集合论已被视为是数学的基础理论，不过在一些领域中范畴论被认为是更适合的基础理论。在集合论 zfc 公理下建立起自然数到实数的严格定义，再由 n 维实数空间的笛卡儿积，引入 n 维空间的测度，
7、即 Lebesgue 测度。 数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集 A 的体积或者说测度 记作 (A)。一个值为的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广为比区间更复杂的集合。我们想构造一个映射 m，它能将实
8、数集的子集 E 映射为非负实数 mE。称这样的映射（集函数）为集合 E 的测度。最理想的情况应该是 m 具有以下性质：mE 对于实数集的所有子集 E 都有定义。对于一个区间 I，mI 应当等于其长度（端点数值之差）。如果En是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 。m 具有平移不变性，即如果一个 m 有定义的集合 E 的每个元素都加一个相同的实数（定义为，记作 E+y），那么 m(E+y)=mE。遗憾的是，这样的映射（集函数）是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。其中一个例子是若当测度，它只满足有限可加性（第三条性质希望具有可数可加性）。勒贝格测度是满足后三条性
9、质的例子。勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。固定 。 中的盒子是形如 的集合，其中 。这个盒子的体积定义为对于任何 Rn 的子集 A，我们可以定义它的外测度 ：是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了然后定义集合 A 为勒贝格可测的，如果对于所有集合 ，都有：这些勒贝格可测的集合形成了一个 代数。勒贝格测度定义为 (A) = *(A)对于任何勒贝格可测的集合 A。根据维塔利定理，存在实数 R 的一个勒贝格不可测的子集。如果 A 是 的任何测度为正数的子集，那么 A 便有勒贝格不可测的子集。理论与实践意义：我们从数学最本质的公理研究起 ，并探究 zfc 公理的合理性及其引发的悖论
10、，并将公理体系基础上建立的实数论及测度论进一部探讨，使得数学整个体系更加完美。拟研究问题的国内外现状分析：到目前为止，zfc 公理化体系争议很大，与之同时在他基础上建立的测度论也有很多版本，而且由其直接推导出的二球悖论也是对公理化体系的一个挑战。在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的 Rn 是一个局部紧群）。豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量 Rn 的维数比 n 低的子集是很有用的，例如 R内的曲线
11、或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。预见其成果应用后的影响与作用：在不同的公理化体系下，测度论，实数论会有什么变化，zfc 公理化的悖论如何合理解释。新意和独到之处：从数学的根基探究，深入数学的公理化思想，以及不同集合论下的数学体系参考文献：1 Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.2 Georg Canto
12、r (1883) “ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V“ On infinite, linear point-manifolds (sets)，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545591. H.-O. Peitgen, H. Jrgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65. Henry J.S.
13、Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140153. Jos Ferreirs, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhuser Verlag, 1999), pages 162165. Ian
14、 Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006. Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduat
15、e Research, Vol 5, No 2, pp 912, 2006.（二）研究目标、内容、拟解决的关键问题（包括实验方案的设计、技术路线等）目标：自然数、整数、有理数、实数的构造，及相应的性质和多种测度的对比。方案设计和技术路线：1. 总结自然数的多种定义、理论、性质及数学归纳法的应用。2. 研究从自然数扩充到整数、有理数，及整数、有理数的理论性质。3. 探究学习无理数存在的必要性、实数构造的多种理论和实数的性质。4. 研究测度的构造过程，特别研究实数上的点集的测度。5. 查阅相关资料，学习各种测度的定义和性质，并将其对比。6. 总结，修改，提交。（三）研究的进度安排 2015 年 6
16、 月7 月：总结自然数的多种定义，研究从自然数扩充到整数、有理数，及整数、有理数的理论性质。2015 年 8 月10 月：探究学习无理数存在的必要性、实数构造的多种理论和实数的性质。2015 年 11 月2016 年 1 月：研究测度的构造过程，学习各种测度的定义和性质。 2016 年 2 月2016 年 4 月：对比分析各种测度，并给出经典例子。2016 年 4 月5 月：总结，修改完善，提交报告。（四）研究工作的条件保障（实验室、研究基地等）研究方法已经具备一些研究实例，可供借鉴，有可行性。小组成员已经具备大多所需的专业知识，可以开展。可依托学校图书馆及各种资源网站。课题组成员与指导老师定
17、期讨论。（五）成果提供形式书面形式的定义，定理的证明及经典应用例子 举例分析，思路，计算过程，相关示意图论文和结题报告三、申请资助金额和经费预算项目经费总额及来源（单位：元）经费来源经费总额 人均经费学校拨款* 部院系配套经费 导师配套经费其他（说明经费来源）*学校拨款：“国家级项目”2 万（含教育部经费和学校配套经费）。“市级项目”文科 0.5 万，理科 1 万。“校级项目”文科 0.1 万，理科 0.2 万。经费支出预算（单位：元）预算支出项目 事由及测算依据 支出金额 （元）1、材料费 办公用品 20002、测试化验加工/被试费3、差旅费 学术交流，调研 20004、出版/文献/信息传播
18、/知识产权事务费 纸质，电子版图书购买，复印，打印等 30005、其他 交通费 3000合计 10000（此表格可加长）预算填写说明：（此说明在申报书填写完毕后可删除）一、 经费支出需符合财务制度。二、 预算支出项目说明1、材料费：主要包括在项目实施过程中，项目开发、试验所需的原材料、辅助材料、低值易耗品、零配件的购置费用以及为此发生的运杂包装费用。2、测试化验加工/被试费： 主要包括在项目研究过程中支付给外单位的检验、测试、化验及加工等费用，支付给被试人员的费用。3、差旅费：是指在项目实施过程中，开展业务调研、学术交流等所发生的差旅费。差旅费的开支标准应当按照国家有关规定执行，厉行节约。4、
19、出版/文献/信息传播/知识产权事务费：是指在项目实施过程中，需要支付的出版费、资料费（含图书和复印费，原则上不超过总经费的 30%）、专用软件购买费、文献检索费、专利申请及其他知识产权事务等费用。四、指导教师简况姓 名 唐仲伟 性别 男 民族 汉 出生年月工作证号 部院 系 数学科学学院 最终学历/ 学位 博士职称 副教授 职务 副院长 研究方向 非线性分析，椭圆型偏微分方程通讯地址 北京师范大学数学科学学院 邮编 100875 Email 电话 010-58807691 手机 15001297422当前从事的教学、研究工作简介教学工作：近年来主要从事本科生数学分析，大学数学的教学工作，研究生
20、变分法及其应用的教学工作。研究工作：主持的科研项目：关于非线性薛定谔方程的研究 国家自然科学基金天元基金项目 (10526008)，2006.01 至2006.12。与薛定谔方程有关的非线性椭圆问题的变分方法 国家自然科学基金青年基金项目(10801013)，2009.01 至 2011.12。与变分法有关的椭圆型方程与方程组问题 国家自然科学基金面上基金项目 (11171028)，2012.01 至 2015.12。参加的科研项目：复合材料中的偏微分方程 国家自然科学基金面上基金项目（11071020)， 保继光主持 2011.1-2013.12。近三年发表论文如下：1.Guo, Yuxia
21、 and Tang, Zhongwei, Multi-bump solutions for Schrdinger equation involving critical growth and potential wells, Discrete Contin. Dyn. Syst., 35(2015),No 8, 3393-3415. (pdf)2.Guo, Yuxia and Tang, Zhongwei, Multi-bump bound state solutions for the quasilinear Schrdinger equation with critical frequen
22、cy, Pacific J. Math., 270 (2014), no. 1, 4977.(pdf)3.Tang, Zhongwei, Multi-peak solutions to coupled Schrdinger systems with Neumann boundary conditions, J. Math. Anal. Appl., 409 (2014), no. 2, 684-704.(pdf)4.Tang, Zhongwei, Segregated Peak Solutions of Coupled Schrdinger Systems with Neumann Bound
23、ary Conditions, Discrete Contin. Dyn. Syst., 34 (2014), No 12, 5299-5323. (pdf)5.Tang, Zhongwei, Least energy solutions for semilinear Schrdinger equations involving critical growth and indefinite potentials. Commun. Pure Appl. Anal., 13 (2014), no. 1, 237-248. (pdf)6.Fu, Shengmao; Jiao, Yujuan and
24、Tang, Zhongwei, Multi-bump bound states for a nonlinear Schrdinger system with electromagnetic fields, J. Math. Anal. Appl., 404 (2013), no. 2, 239259. (pdf)7.Bartsch, Thomas and Tang, Zhongwei, Multibump solutions of nonlinear Schrdinger equations with steep potential well and indefinite potential.
25、 Discrete Contin. Dyn. Syst., 33 (2013), no. 1, 726. (pdf)五、 指导教师对该项目的评价（一）对申请课题的价值、研究方案的可行性、工作基础等方面的评价与建议本项目中，学生结合已有的数学分析，测度论和实变函数的知识，系统地总结出从自然数来源开始到整数，到有理数，到实数的构造过程；又对比性地研究了数集的各种测度，补充数学分析课程，测度论和实变函数论课程中省略定理定义证明以及经典例子整理，研究相关的结果将带来理论上的完善和应用上的方便。项目组的研究方案具体、可行。所需的基础工具预计来自数学分析，测度论，实变函数等，在数学分析，测度论，实变函数方
26、面，课题组成员已经具备基础。经过一定的自学和适当的老师的指导，其他工具也可以掌握。因此项目组具备了完成这个课题的基础。（二）对项目团队的专业基础、工作态度、学风及研究能力的评价与建议本人曾经教过课题组成员数学分析，对她们有一定了解。我认为课题组成员学风端正，工作态度认真，专业基础扎实，成绩优良。具有较好的自学能力和进取心，相信她们会在这个项目中得到很好的锻炼，并且有能力取得很好的进展。指导教师（签名）：年 月 日六、部院系意见专家评审意见：是否同意立项，对项目实施的意见及建议专家组组长（签章）：年 月 日部院系意见：推荐级别： 国家级 市级 校级 校级（学院自筹）推荐工作组负责人（签名）： 推荐部院系公章：年 月 日七、学校审核意见学校意见：签章：年 月 日
