1、1一道中考压轴题的解法与推广（210019） 李玉荣题目（2010 年上海市中考压轴题）如图 1，在 RtABC 中，ACB 90.半径为 1的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，连结 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P.（1）当B30时，连结 AP，若AEP 与BDP 相似，求 CE 的长；（2）若 CE=2， BD=BC，求BPD 的正切值；（3）若 ，设 CE=x，ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系式.1tan3图 1 图 2(备用) 图 3(备用)本题沿袭了上海市近两年的中考命题思路和特色，题目以直角三角形与圆为载体，设置简洁、清晰，
2、三个问题层次分明，具有一定的区分度，体现了中考压轴题的选拔功能，从考查的知识点来看，有三角形的边角关系、三角函数概念、圆的概念、相似三角形的性质、勾股定理，同时渗透了在解决问题策略中的对数学思想方法的考查（化归思想、方程思想） ，笔者研究发现此题有多种解法，这在中考压轴题中实不多见，着实是一道值得回味的好题解法 1：（1）略；（2）设 BD=x, 则 BC=x, AB=x+1, AC=3, 由 解得 x=4, BD=BC=4,22)(3x过 B 作 BFAC 交 PD 的延长线于点 F, 则 BF BP, F=AED=ADE=BDF, BF=BD=4, 由ECPFBP 得 ， 即BFECP，
3、，42CP；21tanBD（3）设 , 由（2）知 ， ，mFmBD1tan3BPD ， ， ， ， ，Px3xC3AxC在 RtABC 中， ，即 ，222)()()( )2)()(92xm ED ACB PF2注意到 ，所以 ，解得 ，xm2)(9xm415x所以 331y解法 2：（2）同解法 1 得 BD=BC=4AB=5,过点 D 作 DFBP 交 AC 于点 F，则 DFAC, ADF ABC， ，即 ， ，ACFB3553A， ，21E42 1tantaDFEP（3）设 AF=a，则 FE=1-a， ， ，31tant DFEBP)1(a在 RtADF 中， ，即 ，22A221
4、a解得 （舍去） ， ，即 ，此时 ，1a54aF5ADF ABC， ，BCACBD即 ， yx53413yx【评注】从上面的两种解法看，添加平行线是解题的关键，图中的圆只起到“AD=AE”的作用，若用“AD=AE”替代圆，此题图形实际上是一个基本图形(见右图 )的特殊化（AD=AE，ACBP ） ，而关于这个基本图形有一个著名的梅莱劳斯定理：，此定理可以分别过点1EACPBDA、B、 C、D、 E、P 作平行线证明，共有 12 种辅助线，因此原题已有 12 种解法，本文不再赘述当然直接应用梅莱劳斯定理也能求解：(2) 同解法 1 知 BD=BC=4, 由得 ， ， 124CP4PC； （3）
5、设 ， ， ，2tanCPBmBD1tan3BDxPC由 得 ， ，以下同解法 1 EAD1xm3解法 13：(2) 同解法 1 得 BD=BC=4在 PC 上取点 F, 使PEF=DPF, 则 FE=FP, EFC=2DPF，又A=1802AED=1802PEC=2(90PEC)=2DPF, EDACB PFEAB PCD3 A=EFC,FECABC, , , BCEAF423CF= , , CP=CF+FP=4,23252CEFP ；14tanBD(3)设 CF=n，则 FP=FE=3x-n, 在 RtABC 中， 解得 ， ，22)3(nxxx34xEF35由FECABC 得 , 即 ，
6、BCACFBEAyxx3541 3yx解法 14：（2）同解法 1 得 BD=BC=4AB=5, 延长 CA 至点 F，使 AF=AB，则 CF=8, 连接 BF, 则ABF=F, BAC=2F，又BAC=1802AED=1802PEC=2(90PEC)=2DPB, F=DPB, ；2184tantaCFBBPD(3) 设 BC=n， , CF=3n,3nAB=AF=3n-1-x, 在 RtABC 中， ，222)1()(x解得 ，34x34nCFBABCABy【评注】这两种解法没有添平行线，而是构造等腰三角形通过角相等巧妙地解决问题解法 15：(2) 同解法 1 得 BD=BC=4延长 EA
7、 交A 于点 F，连接 FD 并延长交 BP 于G，则 PDFG，P=F= FDA=BDG ，B=B, BDGBPD, , DPGB设 ，CE=2, CF=4, PC=2k, kBD1tan, , ,C44kP1 , 解得 k=2, 即 k12tanBD（3） , PC=3x, CF=x+2, CG= , tan3B)2(1xEDACB PFGEDACB PF4BDGBPD, , 31tanBPDGBDP设 BG=n, 则 BD=3n, ， 解得 ，3)2(1xn54x 31)2(1 xxBGCADy解法 16：(2) 同解法 1 得 BD=BC=4延长 DA 交A 于点 F，连接 FE 并延
8、长交 BP 于点G，则 PDFG，P=F= AEF= GEC，B=B, BFG BDP, , DPFB设 ，CE=2, PC=2k, , kBD1tankGC2, BF=4, , G24k246解得 （舍去） ， k=2, 即 1k 1tanBPD（3） , PC=3x, CG= , ，1tan3BPx3xG0EGPDFE3,BFG BDP, , BF又 ，xDEEPDGF5133 ，解得 ，3102xB53B 3151 xxGCADy【评注】 解法 15、16 虽然较为繁琐，但关注了圆的核心知识：圆的半径相等、直径所对的圆周角是直角，为用相似三角形解决问题提供了条件，且不需要用勾股定理上述解
9、法中，解法 14 最为简单，用此解法可证得第（3）题的推广命题：若 （ ，设 CE=x，ABC 的周长为 y，求 y 关于 x 的函数关系kBP1tan)(式.简解：辅助线见解法 14，(3) 设 BC=n， , CF=kn,kFBPD1tantaAB=AF=kn-1-x, 在 RtABC 中， ，222)()1(xknEDACB PFG5解得 ，)1(2)(2xknk1)(2kxn1)(2)(kxnCFBABCABy特别地：（1）当 x=2，y=12 时，代入 可求得 k=2, 即 ；1xky 21taBPD（2）当 k=3 时，代入 可得 这就是 2010 年上海市中考压轴)1(2xky3题2011-3-7 完稿于南京 13813838720
