1、- 1 -摘要本文介绍了液晶的基本概念，理论上分析了非局域非线性介质向列相液晶中（1+1）维呼吸子，通过计算得到了简化的(l+l)维强非局域非线性薛定愕方程，给出向列相液晶中(l+l)维呼吸子解，同时也得到了呼吸子束宽振荡的周期公式和束宽最大(最小)值公式，并将解析结果与数值模拟结果进行了比较,结果表明，解析结果成立于非局域程度较强的情况.关键词:向列相液晶；光孤子；呼吸子；振荡周期AbstractThis paper introduces the basic concept of liquid crystal, theoretically analyzes the (1+1)-D breat
2、her in nonlocal nonlinear media nematic liquid crystals. The nonlocal nonlinear equation (NNLSE) is got by rSchodingecalculating. Then a fundamental breathers solution is presented, and the solutions of the period and the maximal(minimal) beam width are obtained too. Compared with the numerical simu
3、lations, it is obviously found that the analytical solutions are suitable in the strongly nonlocal case.Keywords: nematic liquid crystals；optical soliton；breather ；oscillating period- 2 -目 录摘要 1ABSTRACT 1目录 2第一章 引言 31.1 液晶和向列相液晶的简介 31.1.1 液晶的简介 31.1.2 向列相液晶的简介理论描述 41.2 向列相液晶中的光孤子的简介 61.3 本论文的目的以及研究内
4、容 6第二章 向列相液晶中的呼吸子解 72.1 简化的非局域非线性薛定谔方程 72.2 向列相液晶中的呼吸子解 92.3 解析结果与数值模拟结果的对比 14第三章 结论 17致谢 18参考文献 19- 3 -第一章 引言1.1 液晶和向列相液晶的简介1.1.1 液晶的简介1888 年，奥地利叫莱尼茨尔的科学家，发现了一种奇怪的有机物，它有两个熔点，把它的固态晶体加热到 145C 时，便熔成液体，只不过是浑浊的，但一切纯净物质熔化时却是透明的。继续加热到 175C 时，这种浑浊的液体再次熔化变成透明的液体。他发现在冷却过程中，一种蓝色短暂的出现在透明的液体变得浑浊时，而一种蓝紫色则出现在浑浊的液
5、体晶化之前的瞬间。后来，德国物理学家列曼把处于“中间地带”的浑浊液体称为液晶。液晶是固、液态之间的一种中间状态，所以同时具有固体的各向异性和液体的短程有序性。液晶是一种有机化合物，在 一 定 温 度 或 浓 度 的 溶 液 中 ， 既 具 有 液 体 的 流动 性、粘度、形变等机械性质，又具有晶体的热（热效应） 、光（光学各向异性） 、电（电光效应） 、磁（磁光效应）等物理性质。在这些性质中，尤其是具有很强的光学非线性。人们以凝聚构造的不同，将液晶分为晶体颗粒粘土状的称为近晶相液晶（ smectic） 、类似细火柴棒的称为向列相液晶（ nematic） 、类似胆固醇状的称为胆甾相液晶（ cho
6、lesteric） 这三种。 （图 1.1）(向列相) (近晶相) (胆甾相)图 1.1 液晶的三相由于向列相液晶（Nematic Liquid Crystals）的长棒状分子传列结构能最好地说明液晶兼具有液体流动性和晶体各向异性的双重特性，自从莱尼茨尔发现以来，大多数科学家把研究重点放在了向列相液晶上，因此它是最为常见，也是应用最广泛的一种。Peccianti 等在实验和理论上都证明了向列相液晶中的空间光孤子就是强非局域空间光孤子, 向列相液晶中的空间光孤子具有潜在的应用价值，因此成为许多科学家研究的对- 4 -象。1.1.2 向列相液晶的简介理论描述在向列相结构中，如没有外部取向（即表面边
7、界和场）的影响，分子长轴基本上保持平行，但质心位置比近晶相更混乱（图 1.2）。这种分子平行性的简单概念不是绝对的。在许多的向列相中，存在某些类似的近晶有序，即使是短程的。X 射线研究表明，大约 100 个分子一堆，成组地呈层状排列；群聚概念的提出，有利于解释电场较易使液晶取向的问题。图 1.2 向列相结构不管是否存在短程近晶有序，向列相与近晶相相比，具有相当大的流动性。热能会引起向列相分子取向的波动。这种波动在微观上调制了材料的折射率，并导致强烈的光散射，即使在静止时，也使向列相呈现模糊混浊的状态。在正交的偏振片之间观察向列相液晶时，可见明亮的丝状织构。在更薄的片中，可观察到条纹织构图 1.
8、3 条纹织构向列相液晶分子本质上可以取向，粘在支撑物表面上可减少它的流动性。例如，向列相分子倾向于平行地“躺”在摩擦过的玻璃粗表面上，如果在一个方向上均匀地摩擦表面，预先涂在玻璃上的取向剂将使液晶分子均匀排列，这种由于边界条件造成的扭曲向列结构，在液晶显示器件中非常有用。如果往向列相液晶中添加旋光性物质，- 5 -将产生螺旋结构。采用适当的表面活性剂，可使向列相分子均匀地“站立”于表面。可以通过偏光显微镜下观察到这种垂直织构的假性各向同性。一般认为，要呈现向列相和近晶相的液晶分子必须满足下列要求：（1）液晶分子的几何形状呈棒状，其长径比不能太小，一般要大于 4。（2）液晶分子长轴应不易弯曲，要
9、有一定的刚性，因而常在分子的中央部分引进双键或三键，形成共轭体系，以得到刚性的线型结构，或者分子保持反式构型，以得到线状结构。（3）要使偶极-偶极和诱导偶极-偶极相互作用有效，分子未端必须含有极性基团，或具有很强的可极化度。通过分子间电性力、色散力的作用，使分子保持取向有序。最常见的向列相和近晶相分子是：图 1.4 向列相和近晶相分子式中 A、B 是环体系，可以是两个环或两个以上的环，中心桥键用官能团 X 连接，X 也代表了某些液晶系列，其名称列于（图 1.5）。对位的端基 R 和 R是构成液晶所不可缺少的组成部分，它是柔软易弯曲的基团。图 1.5 常见连接基团 X 及由之产生的液晶名称- 6
10、 -图 1.6 液晶分子的脂基环体系是决定分子有无液晶相的一个重要因素。有芳香环的分子不一定都有液晶相，但有液晶相的分子几乎都有一个以上的芳香环，芳香环在固体熔融成液体时，保持了分子间的短程吸引力，使分子不致马上变成各向同性的液体。常见的环体系有饱和的六环及不饱和的苯环，或这二者的组合。饱和六元环中的电子是 电子，彼此不共轭，而苯环中则是 电子，有共轭作用。电子的共轭作用对液晶的相变及各项物理参数有重要影响，此外还有二哑烷、嘧啶、四氮苯等杂环体系。为了简化起见，以下叙述中，K（或 C）表示晶体，S 表示近晶相，N 表示向列相，ch 表示胆相，I 表示各自同性液体。1.2 向列相液晶中的呼吸子的
11、简介空间光孤子是孤子中非常重要的一种，所谓空间光孤子是指光在介质中传播时，衍射效应与介质的非线性效应达到平衡时的一种状态。若非线性效应引起的光束的自聚焦与光的衍射效应不能相互抵消但又相差不大时，光束束宽就会作周期性的压缩或者展宽，这种束宽作周期性“振荡”的光束被称为呼吸子。向列相液晶(NLC)作为一种优质的非局域非线性材料，可以实现空间光孤子在其中稳定传输，利用传输时的相关性质可以制成全光控制器件。因此，对向列相液晶中空间光束的性质和行为进行研究是很有必要的，通过研究，一方面有助于对光孤子或者呼吸子这一特殊的物理现象加深理解，另一方面也是对将其付之实际应用的一个有益探索。1.3 本论文的目的以
12、及研究内容近些年来，呼吸子现象受到人们的普遍关注，向列相液晶中的呼吸子是其中非常- 7 -重要的一种。对向列相液晶中呼吸子的性质和行为的研究具有重要的意义。本文简单介绍了液晶、向列相液晶及向列相液晶中呼吸子解的基本概念和解法，重点阐述了向列相液晶中呼吸子的解法，主要运用泰勒展开法求解。第二章 向列相液晶中的呼吸子解2.1 简化的非局域非线性薛定愕方程下文是以预倾角为任意角度的模型来描述 NLC 中（1+1）维空间光孤子的传输。光场的包络 A 沿 Z 轴传输，沿 X 轴偏振，用来控制液晶分子预倾角的低频电场 加在RFEX 方向上。当输入的功率和临界功率不相等时，我们就可以得到呼吸子，且呼吸子的束
13、宽在传输过程中是呈现周期性变化的。光束传输方程可以通过以下的非局域非线性薛定谔方程表示 ：1， 2002sin()opzxaikAA（2.1）的调制方程是由于形变而使 NLC 的内能降低到最小之后得到的 ，满足以(,)xz 2下方程 3。 20021sin()4opaxmAK（2.2）根据傍轴近似理论，方程（2.2）中的 已经被忽略掉， 和以上（1+2）维中z m的 代表的意义相同，且可以表示为m， 1/200 021sin()1cot()mRFaKE（2.3）通过运用与文献 相同的方法，我们得到了非线性系数 。4 2220sin()/4opamcK- 8 -当低频电场 高于 阀值电场时， 。
14、因此，RFEredichsz 31/0/2()RFE我们可以很明显的知道 和 都是由 （或偏压 V）决定的。m2nRFE将方程（2.1）和（2.2）归一化，令 ，220000/,/,/,/XxZzkaA其中 是初始束宽，因此我们就可以得到22200001/(),si()4opamAnkK以下两个无量纲的方程：， 12zXia（2.4）， 220X（2.5）令 ，因此方程（2.5）可以表示为2()fXa， 2()Xf（2.6）这里我们简单重申一下付立叶变换对， ()()exp)FfiXd（2.7）， 1()()2f i（2.8）对方程（2.6）做付立叶变换后，可得2()fX（2.9）(2.10)
15、1122()(1exp)(FfXf- 9 -因此 221exp()()2XadX(2.11)是归一化相应函数， 代表非局域程度，当 越小非局()/2exp()RX 域程度越强，因此 可以表示为：， 2()(RXadX（2.12）将方程（2.12）代入方程（2.4） ， 21()(02ZXiaad（2.13）对于强非局域情况，我们将 做泰勒展开到二阶， 2(0)()0()XX（2.14）， 2 00()(2PRadR（2.15）R 是指数衰减型相应函数，它是个连续函数，在 （在归一化坐标系中是光束X中心）处不可导，但在卷积项 这时是可导的，因此， 2 (0)()0RXad（2.16）由方程（2.
16、5） ，我们可以得到 22()()xXX21()()R（2.17）因此- 10 -2 (0)()RXad22()X。 320Pa（2.18）将方程（2.15） ， （2.16）和（2.18）代入方程（2.13）中，我们就可以得到以下非局域非线性薛定谔方程：。 320011()022ZXPiaaaX（2.19）2.2 向列相液晶中的呼吸子解方程（2.19）代表了 NLC 的重取向非线性并且是我们呼吸子解的简化模型，将此模型与 Snyder-Mitchell 模型进行比较，比他们的模型多了 这一项，当30/2P时，近似正比于轴上光强，但是 Snyder-Mitchell 模型的这一项却正比于功率，
17、1=所以我们这里的模型不同于以前的工作，满足此模型的呼吸子解可以用以下高斯型函数来描述：， 20 21/2exp()()()PXaiZicZ（2.20）与文献5中的定义一样，将以上试探解代入方程（2.19） ，中，X(),()Zc的零次方以及平方项的实部和虚部分别为零，因此(2.21)021PdZ322041()()Pcc（2.22）- 11 -， 120dcZ（2.23）将方程（2.23）代入（2.22）中，得到， 322001PdZ（2.24）在经典力学中，方程（2.24）类似于牛顿第二定律，质点的质量为 1，等效于粒子受到的外力，F 的前两项等效于衍射效应32001/FP（使等效粒子加速
18、） ，光束将被展宽或者有被展宽的趋势，主要是由初始速度或0 来决定。相反地，F 的第三项即非线性效应，会使光束压缩（使等0/|Zd效粒子减速） 。当非线性效应等价于衍射效应时，F=0，粒子的速度将不会改变，即形成了所谓的孤子态，这时 ，所以我们就可以得到此时孤子传输的临界功率：1， 2()cP（2.25）当 足够小时，方程（2.25）分母中的 这一项可以舍掉，因此在强非局域情况下，临界功率近似正比于 ，此结论和文献6中的结论一样。21/因为 F 可以表示为 ，所以 F 是个保守力，因此等效势函数()()/dV为()V， 320021()(1)4PV（2.26）的积分常数会使得入射点 Z=0 处
19、， 。粒子的总能量 是个守()()0VETV恒量，其中 是动能。假定从光束束腰处入射， ，因此粒2(/)TdZ 0/|Zd子的初始总能量为零，则有：， 322001()(1(1)4PdZ- 12 -（2.27）因为 ，在前面我们已经提到质量 m 为 1，因此周期 T 可/2()/dtEVm以表示为以下式子， 1()dTt（2.28）以上方程中的 是 的一个跟，并且它也是呼吸子真正的最大或者最小束1()0V宽。令 ，所以方程（2.26）又可以表示为0/cP， 221112V（2.29）这时，求解 实际上就可以转化为求解有关 的四次方程，因为()0V，所以就有/20， 43 224(1)(1)0（
20、2.30）方程（2.30）肯定会有一个解是 1，所以我们实际上需要求解的以下的三次方程， 32()0abcd（2.31）其中 。用 来做替代，所以方1,4/,(/1)abcd/3Uba程（2.31）可以变换成， 30UPQ（2.32），这里的 P 和 Q 都是实表达式，2323(3)/9,(97)/Pacbbacda将 a,b,c,d 分别代入判别式 中，结果为负，所以此方程应该存在三个不相等24P- 13 -的实数根。通过定义 r 和 为 和 ，可以得到以下三个解：3P1cos(/2)Qr12)Ur（2.33）32cos()r（2.34）。 34s()Ur（2.35）我们都知道当 时，不会形
21、成孤子，而会形成呼吸子。当 时，衍射效应大1 1于非线性效应，光束先展宽后压缩，因此 ；当 时，情况恰好相反，光束先11压缩后展宽， 。所以 和 不符合，应该舍掉，则有：11U2144cos()(1)33r2306()P， 13/2304182cosr （2.36）注意这里的势函数 不是抛物线，在经典力学中，我们都知道只有抛物线型()V的势阱才能够做简谐振动，否则只做周期性振荡，且其解析解很难得到。为了求解方程（2.27） ，我们把势函数 在平衡位置，近似展开到二阶， 因() ()0,()V此 是平衡位置，且这一平衡点可以通过求解以下四次方程而得到， 32001P（2.37）令 ，因为 ，所以
22、方程（2.37）可以变换为以下方程1/2u/20， 4upqr- 14 -（2.38）其中 。为了求解以上四次23/2 243/,1,(/1)3/6pqr方程，可以先求以下一个三次方程， 3224()0tprtq（2.39）t 是以上方程的一个实根，可以表示为（2.401/322 243 1/322 24 23141614()7()() ）这时可将求解四次方程（2.38）变换为求解二次方程， 2 02()qtutpt（2.41）所以我们就可以得到四个解，两个虚根和两个实根，但是因为以上条件的限制，其他一个实根和两个虚根都被舍掉，只有以下解符合条件， 1/2 1/223/()ttt（2.42）
23、1/32252001/3520014()7()tPP在平衡点 处将势函数展开到二阶，再结合初始边界条件等，最终可以得到， 3 1/204()(1)cos()PZZ（2.43）从方程（2.43）中，我们可以明显观察到束宽是呈现周期性振荡的，这个近似解- 15 -的振荡周期为 其中 ，最大（小）束宽是 。12/LQ431/20/P21M在这种近似条件下，归一化束宽 总是在 和 1 之间振荡。对于 ，只有当M1时，势函数 ；当 时，存在两个解，其中一个实 1，另一个是 。当()0V1 1输入功率越接近临界功率时， 就越接近 1，而此时我们所求得的抛物线势函数就越能更好的替代原本的势函数 。因此，方程
24、（2.43）的临界功率附近适用，将方程()（2.43）分别代入方程（2.21）和（2.23） ，就可以得到， 0 3/2(1)sin() co)arctnta()(1)2PQZZQ（2.44）， ()si()21co)QZcZ（2.45）将所求得的 代入方程（2.20）中，就是我们要求的呼吸子解。(),()c2.3 解析结果与数值模拟结果的对比根据卷积方程，我们模拟了光束在不同非局域程度下的传输情况，并且将其与解析结果做了相应的比较。在图 2.1 中，实线和虚线是根据方程（2.43）的解析结果画出来的，二方块和圆圈是数值模拟的结果。初始束宽都是归一化的，当时，会存在一个最小（大）束宽，并且呼吸
25、子的束宽呈现周期性振荡。从1()图 2.1 中，我们可以很明显看到非局域程度越强，解析结果和模拟结果吻合越好。在图 2.1 中，当 时，伴随着 的逐渐增大，束宽的峰值会在传输过程中发生较大变1化。主要原因是在这种情况下前面的 做二阶近似有点不太严格，所以呼吸子解的形式不是严格的 Gauss 函数，而是介于 Gauss 和 Sech 之间的波形.由此也说明了液晶的非局域程度并没有达到 Snyder 等人所指的那种强非局域程度。- 16 -我们模拟了（1+1）维不同输入功率下的呼吸子束宽传输距离变换曲线，并且分别测出了他们的周期，如图 2.2 所示。虚线和实线分别是方程（2.28）中 T 的解析结
26、果和根据近似势函数所求得的 ，实心方块是模拟结果。从图 2.2 中可以看出，在临1L界功率附近 T， 的模拟结果符合很好，当远离临界功率时，三个结果逐渐分开。并1L且当非局域程度逐渐变弱时，分开的越明显。但不管怎样，T 解析结果始终比 的结1L果更接近模拟结果，因为 是将势函数 做二阶近似后得到的。1()V利用同样的方法，我们得到了呼吸子最大（小）束宽在不同输入功率的不同非局域程度下的关系曲线，如图 2.3 所示。我们发现此结果和 2.2 的结果类似，实线代表了将势函数做二阶近似后得到的 ，它仅成立于强非局域。由图当非局域程度21不强时，此结果不正确。虚线是精确的解析，是根据方程（2.36）所
27、画的曲线，此结果比 更精确。21图 2.1（1+1）D 呼吸子在液晶中传输的束宽变化图，实线（ ）和虚线（0.73cP）是根据方程（2.43）所画的曲线，方块和圆圈分别是数值模拟结果，且初01.36cP始条件是 ()0.1,().25,()0.4abc- 17 -图 2.2 呼吸子的振荡周期和周期平方的倒数随输入功率的变化图，实心方块是数值模拟的结果，虚线是根据方程（2.28）所画的曲线，实线是有方程（2.43）所得到的的解析结果，非局域程度分别是1L()0.1,().25,()0.4abc- 18 -图 2.3 呼吸子的最大（最小）束宽和最大（最小）束宽平方的倒数随输入功率的变化关系图，实心
28、方块是数值模拟结果，虚线是根据方程（2.36）中的 所画的曲线，1实线是有方程（2.43）所得到的 的解析结果，非局域程度分别是21()0.1,().25,()0.4abc第三章 结论本文主要研究了非局域程度对向列相液晶中呼吸子的影响，由液晶的一些基本理- 19 -论得到了输入功率的改变能接影响呼吸子的传输性质。利用泰勒展开法( 近似到二阶) 得到了强非局域性的非线性薛定谔方程, 并对此模型作了定性的解释, 通过将数值结果和解析结果比较可以看到当非局域程度越强时，两结果吻合越好。当输入功率远离临界功率时，精确解析解和数值模拟结果也会分开，这是因为光束中心的非线性折射率分布曲线变得更陡峭了，这说
29、明这时近似模型已开始失效。致谢首先，非常感谢我的指导老师，南京师范大学泰州学院应用物理系朱叶青老师。- 20 -我的这篇论文是在朱老师的指导和帮助下完成的。从我一开始准备论文，到全部的完成，朱叶青老师都一直在帮助我，除了帮我找了很多与我的论文相关的别人写的论文给我借鉴以外，还在我写论文之初帮我理清了思路，加快我的理解和写论文的进度。在我第一次把初稿交上去之后，朱老师还认真地帮我改正，指出我论文里的毛病，还提醒我注意一些细节的问题。在我写论文的过程中，给了我很多专业性的意见。她严谨的治学态度，精益求精的工作作风值得我们去学习。感谢大学四年来传授我知识的老师们，感谢应用物理系全体老师对我四年学习生
30、活的帮助，感谢班主任朱庆利老师在这四年来的关心，感谢 09（1）班的同学们对我的帮助，感谢我的室友们，这是因为你们，我才能轻松愉快地度过大学四年美好的时光。最后，感谢那些一直鼓励和支持我的父母和朋友，谢谢你们。参考文献- 21 -1 M. Peccianti, C. Conti, G. Assanto, “Interplay between nonlocality and nonlinearity in nematic liquid crystals“，Opt. Lett. 30 415 (2005).2 I.C.Khoo,“Liquid Cryatals-Physical Propertie
31、s and Nonlinear Optical Phenomena“ (Wiley-Interscience, New York, 1995).3 M. Peccianti, C. Conti, G. Assanto, A. D. Luca and C. Umeton, “Nonlocal optical propagation in nonlinear nematic liquid crystals“，J Opt. Phys. 1VIat. 12 4 (2003).4朱叶青、龙学文、胡 巍、曹龙贵、杨平保、郭旗， “非局域程度对向列相液晶中空间光孤子的影响” ，物理学报（ 2008）5周其凤
32、，王新久， “液晶高分子”，(科学出版社，1991）6 S. Ouyang, Q. Guo and W. Hu, “Perturbative analysis of generally nonlocal spatial optical solitons“Phys. Rev. E. 74, 036622 (2006).7 G. I. Stegeman, M. Segev, “Optical spatial solitons and their interactions: University and Diversity“ Science. 286 1518 (1999).8 History and Properties of Liquid Crystals 9 September 2003 The Nobel Prize in Physics 1991
