含参变量积分.doc

1、目 录摘要 1前言 2一、预备知识 2（一） 、含参变量积分的定义 .2（二） 、含参变量反常积分的定义 .2（三） 、定理 .31、含参变量积分的相关定理 32、含参变量反常积分的相关定理 4二、含参变量积分的应用 5（一） 、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 .51、利用含参变量积分解决定积分、 广义积分的解题模式 .52、用含参变量积分解决二重、 三重积分的模式 .6（二） 、证明等式 .7（三） 、证明不等式 .9（四） 、求极限 10（五） 、求隐函数的导数 12三、含参量反常积分的性质 .13（一） 、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 131、局部一致收敛概念 .132、连

2、续的等价条件 .133、几种收敛性的关系 .15（二） 、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 171、主要结果 .172、主要引理 .18（三） 、计算含参量反常积分的一些特殊方法 211、利用反常积分的定义和变量替换求解 .212、通过建立微分方程求积分值 .213、引入收敛因子法求解 .224、级数解法 .235、利用其他的积分 .24总结 .25参考文献 .251含参变量积分赵洁（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不

3、等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter impro

4、per integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywo

5、rds：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral2前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛

6、与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性， 最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。一、预备知识（一） 、含参变量积分的定义定义 1.1 设函数 在矩形区域 上有定义，当 取1 ),(yxf ,dcbax上任一个固定值 时， 在 上可积，则,ba00,dcdcyxf),(就确定一个数，当 在 变动时，这样的积分就定义了一个函数x,ba， dcyxfI),()( ,ba（1.1）称此积分为含参变量积分。 除（1.1）外，以下两种表示形式的积分 ( ) ，)(,xdcyf,bax也是

7、含参变量积分。0),(dxyf（二） 、含参变量反常积分的定义定义 1.2 设函数 在无界区域 上有定义，若对2 ),(yxf ,cbaR3每一个固定的 ，反常积分x,bacdyxf),(（1.2）都收敛，则它的值是 在 上取值的函数，当记这个函数为 时，则x,ba )(xI有， ， cdyxfI),()( ,ba（1.3）称（1.2）式为定义在 上的含参变量反常积分。 ,ba（三） 、定理1、含参变量积分的相关定理定理 1.1 （连续性）若二元函数 在矩形区域 上连续，),(yxf ,dcba则函数 dcfxI),()(在 上连续。,ba定理 1.2 （连续性）设二元函数 在区域),(yxf

8、,|()Gxycdab上连续，其中 为 上的连续函数，则函数(),cd,ba)(xdcyfF在 上连续。,ba定理 1.3 （可微性）若函数 与其偏导数 都在矩形区),(yxf (,)fxy域 上连续，则函数,dcRdcyxfI),()(在 上可微，且,ba4.(,)(,)ddccfxyfxy定理 1.4 设 和 在 上连续，则,x ,dcba在 上有连续的导函数，且dcyxfI),()(,badcxyfI),()(定理 1.5 设函数 ， 都在 上连续，又 和,fx ,dcba)(xc在 存在，且当 时，有 ， ，则)(xd,babax)(cx在 上可导，且)(xdcyfF,)(,)(,),

9、()()( xcfxdfdyxfxFdc 定理 1.6 （可积性）若 在矩形区域 上连续，则, ,dbaR和 分别在 和 上可积。()IxJ,ba,dc定理 1.7 设 在 上连续，且 ，则)(yxf,dcbadcyxfI),()(，即badcbafyxI),()(badcdc xyfyxf ),(),(2、含参变量反常积分的相关定理定理 1.8 （连续性）设 在 上连续，若含参量反常),(yxf ,cb积分 cdyxfI),()(在 上一致收敛，则 在 连续。,baab定理 1.9 设 ， 在 连续，且 关于3),(yxf),(fy ,dcadxyf),(在 上收敛, 关于 在 上一致收敛，

10、则ydcayxfy,在 上可微，且在 上有axyfI)()(,dc,caydxfI),()(5定理 1.10 设 在 上连续，若 在),(yxf ,cbacdyxfI),()(上一致收敛，则 在 上可积，且,baI,baccba dxyfdyxf ),()(定理 1.11 设 在 上连续，且 关于 在4, ,adxyf),(上一致收敛, 关于 在 上一致收敛设dc cyxf)(xb和 中有一个存在，则cadyxf),(acdyf),(cadyxfx),(定理 1.12 （连续性定理）设 在 上连续，而, ,ca关于 在 上一致收敛，则函数 在 上adxyf),(,dc xyfyI)()(,d连

11、续 有,0 aayay xyfdxfxf ),(),(lim),(lim000定理 1.135 若 ，且 在 上可积，则下式成立,b(f,020 41dbfadf二、含参变量积分的应用（一） 、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 61、利用含参变量积分解决定积分、 广义积分的解题模式数学分析中一元函数的定积分、广义积分(收敛) 都是数值问题。求其积分值一般直接利用牛顿莱布尼兹公式。但对一些特殊的积分如， ， 等直接运用牛顿莱布尼兹公式行不通, 120ln()xd0sinxd20xe借助含参变量积分可给出解决此类问题的途径。（1） 、定积分含参变量积分定积分6例 1 计算定积分 .120ln(

12、)xId解：构造含参变量积分 120ln()xId显然： ， .(0)I(1)I利用含参变量积分的积分号下微分法: .21()ln2()14I 11200()l()l(1)4Id dI而 .10()I(1)ln28I此题是通过构造 ，将求定积分 问题转化成求积分 120ln()xd，从而给难以解决的问题找出了新的途径。10()Id解题模式：求定积分 定I 构 造 含 参 变 量 积 分 I（ ） 求 出 I（ ） 转 化 成 求积分 结论10I（ ） 得 出（2） 、广义积分含参变量积分广义积分例 2 求 .0sinxd解:由广义积分敛散性: 该积分收敛设为 .A 构造含参变量积分 .0sin

13、()(0)xIed 一致收敛, 由含参变量积分, 积分号下微分法得： 0sinxed.21()()I 0lim(0I()xIedli()0I因而 .00sin()()IId201)d解题模式：求广义积分 构 造 含 参 变 量 积 分 I（ ） 求 出 I（ ） 转 化 成 求7广义积分 结论0Id（ ） 得 出2、用含参变量积分解决二重、 三重积分的模式在重积分的计算中,只要被积分函数满足一定的条件,重积分的计算可以转化成累次积分，这里含参量积分起到了桥梁作用。例 3 计算： .(,)Dfxyd解:根据 D 的形状确定参变量。不妨设 为参变量, 则xcxd确定含参变量积分 .(),bxafy

14、d当满足一定条件时： .()(,),dbxcaDf fyd二重积分的解题模式：求 由 的形状确定参变量 ,fyD写出含参变量积分 化成累次积分例 4 计算 .(,)vfxyzd解:根据 投影到哪个坐标面来确定参变量。 若考虑 在 面的vxoy投影, 其投影区域为 , 则参变量是 和 .此时参变量函数是Dxy21(,)(,)zxyfzd.21(,)D,) ,)xyzvfxyzdfzd 转 化 成 要计算 在区域 上确定其参变量, 若 为 型区域，则(,D Dy，此时含参变量积分cxd， .(),byaxd ()(,),dbycaDxyxd 将原三重积分化为累次积分.21()(,)(,) ,)db

15、yzxycavfxyzfzd8其解题模式：计算 (,)fxyzd 确 定 参 变 量 积 分 21(,),)zxyfzd 转 化 成 求 二 重 积 分21(,)D,zxydf 将 二 重 积 分 转 化 成 累 次 积 分 21()(,),)byzxycafzd（二） 、证明等式若等式成立，则等式两边式子的导数必然相等。因此，若等式含有含参变量积分，可考虑利用含参变量积分的性质及定理，对等式两边进行求导。例 5 当 时，证明 0x4122201042 xyyxdedey证明：左边 102141024 22 yyyexx，dyex10224则题可改为证412220024 xyyxdede（1.

16、4） 记 ，则 显然 ， 在1),(24yexFx 128),(yxxeyF),(yxF),(x， 上连续，可以在积分号下求导数.则由定理 1.11，对(1.4)0,式左边求导得 10214dyedxx1021482dyyexx9(令 )，dyxe101428xzde204xzy2对(1.4)式右边求导得， xzxxyxy deedde 204420220 24故有. 412220024 xyyx dededx所以 （c 为常数）.dyedyexx 41222002)(4 当 时，有 ，而0x cy4102，11002artgxd所以 ，则0c412220024 xyyxdede综上，当 时，

17、有x.412 22010242 xyyxdedey（三） 、证明不等式关于含积分的不等式的证明，方法较多，如微分法，利用被积函数的不等式法等。若所含积分为含参变量积分，则在微分法中必然会用到含参变量积分的相关性质及定理。例 6 证明若 ， 在 上连续，则当 时，有0)(xf)(xf,ba,bax10xaxayt dttfdef )()(证明：要证 ，即证t ).0()(xaxayt ttfef令 ，由于 ，故只要证明在xxyt ddF)( )(aF内 即可。则由定理 1.2 得,ba0 xaxayt ttfefd)()()(t dd axfxftxtftefxaxa )()()()(xaxat

18、dtff)由于 ， ，则有 ，从而0t)(t )(tfeftxaxatf所以 ，从而 ，因此)(xF0)(Fxaxayt dttfdef )(（四） 、求极限在求极限过程中，若极限表达式中含有含参变量积分，以前讨论的各种方法原则上都适用，所不同的是这里需要充分运用含参变量积分的各种性质及定理。例 7 求极限 .15224limxaytxt dd分析： 可化为分数形式 ，而对于极1522 xaytxt xayttd24511限 ，利用洛必达法则逐步求之即可。xayttd24lim5解：由洛必达法则及定理 1.2 有15224li xaytxtdxayttd24lim5222 4)(5li5xat

19、xxtd224lim3xatdxx6li2232li3xxxx2ln6im222l4l1i xxx 3322 2ln8ln8lni xxxx 0由此可见，对于求分数形式的含参变量积分的极限这一类型的题目，在不能直接求出极限或直接约分的情况下，我们可以考虑洛必达法则，利用含参变量积分的性质及定理，对分数中的分子分母进行求导。例 8 求极限 01sin2limbxdb分析： 在 上连续，且 关于 在xsn2 ,R0sin2bxd12上一致收敛，满足连续性定理的条件。,R解：由于二元函数 在 上连续( 为任意的实数)，bxsin2 ,0R则由定理 1.2 连续定理得 00101 sin2sin2li

20、msilimxdbxdxdbb对 有0sin2xd0cos2xx 02ln1x xdxsiln1dx 0li2xx0sil所以，20ln1si2xd从而201ln1sin2limbxdb（五） 、求隐函数的导数对于方程 (或 )所确定的隐函数 ，若0),(yxF,(),21yxF)(xfy(或 ， )有连续的导数，则隐函数 也有连续的),yxF12 f导数。并且它的导数可按如下方法求出：将方程中的 看成是由方程所y确定的隐函数，从而原方程成为恒等式，在等式两端同时求导，便可求得隐函数导数的线性方程，解之即可求出隐函数的导数。例 9 是由方程 所确定的隐函数，求其导)(xfyxytdt03121

21、3数 dxy解：对上述方程两端求导得xyt dtdx0312则由定理 1.3 有，0112 3301 xtxyydtxy即 所以31xyy132yy又由题知，xytt0412ln所以 ，则4)1()(l2xyy，4312lnx所以xdy2ln4三、含参量反常积分的性质（一） 、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 71、局部一致收敛概念设函数 定义在平面点集 (,)fxy上，考虑积分(,)RECE其 中 为 实 数 集 ）(,)cfxyd（3.1）14定义 3.1 设积分（3.1）在实数集 上收敛于函数 ,若对任给的正E()x数 , 任一实数 及 上任一点 , 总存在正数 及实数 , 使得NC

22、E0x0N对一切 , 都有0(,)xU0()()Ncfxyd则称积分（3.1）在数集 上局部一致收敛于 , 也称局部一致收敛。E()x2、连续的等价条件下面证明积分(1)在区间 上连续与在区间 上局部一致收敛的等价II性。定理 3.1 设函数 在区域 上连续, 且积(,)fxy(,),DxyIcy分(3.1) 在区间 上收敛于函数 , 则 在 上连续的充要条件是: 积I(分(3.1) 在 上局部一致收敛于 .)x证明：(必要性) 对任给的正数 及 上任一点 ,由于 在 连续, I0x()0x因此, 存在正数 , 使得当 时，有101(,)xU()3（3.2）因为 ，故对所给的 ，存在实数 ，使

23、得当00(,)()cfxydx 1NC时，有1N00(,)()3Ncfxydx（3.3）于是，对任一实数 ，取 ，则由（3.3）式亦有C01ma,N0(,)()3Ncfxydx（3.4）15又因为 在 连续，所以对所给的 ，存在正数 ，使得当0(,)Ncfxyd0 2时，有02,xU00(,)(,)3NNccfxydfxyd（3.5）取 ，则当 时，由（3.5） 、 （3.4）及（3.2）式，有12min,0(,)xU0()(Ncfxyd00 000,)(,)()()NNccfxydfxydx3所以，积分（3.1）在 上局部一致收敛与 .I()x(充分性) 设 为 上任一点, 对任给的正数 ,

24、由于0x 00(,)()cfxydx所以存在实数 , 使得当 时，有（3.3）式成立，因为积分1NC1N（3.1）在 上局部一致收敛于 , 故对所给的 及上述的 ，存在正数I()x1N及 , 使得对一切 , 有101 01U0(,)()3Ncfxyd（3.6）又因 在 连续，故存在正数 ，使得当 时，有0(,)Ncfxyd0 202(,)xU（3.5）式成立，取 ，则当 时，由（3.6） 、 （3.5）12min,0(,)x及（3.3）式，有 0()x0 00 00,()(,)(,)(,)()NNNNc cccfydxfydfxydfxyd 3所以 在 连续，由 的任意性， 在 上连续。()x

25、00xI()xI163、几种收敛性的关系局部一致收敛和我们熟知的收敛或一致收敛概念既有联系又有区别，显然, 若积分（3.1）在实数集 上局部一致收敛于 , 则必收敛于 , E()x()x反之不成立。例 10 积分 在区间 上收敛于函数0xyed0,1,()（3.7）且 在区域 上连续，但由于 在(,)xyfe(,)01,Dxyy()x上 处不连续，所以由定理 3.1，积分（3.7）在 上非局部一致01 0,1收敛。由一致收敛的定义易知, 若积分在实数集 上一致收敛于 , 则必E()x在 上局部一致收敛于 ，反之不成立。E()x例 11 由于积分（3.7）在区间 上收敛于连续函数0,1且 在区域

26、 上连续。()1,0,x(,)xyfe(,)Dxyy故由定理 3.1 知，积分（3.7）在区间 上局部一致收敛，但积分0,1（3.7）在区间 上非一致收敛。事实上，取正数 ，则对任意正0,1 102e数 ，取 及 ，有NMN10,xM.10yxyeded下面给出积分（3.1）在 上局部一致收敛的一个充分条件与一个必E要条件。首先容易证明:定理 3.2 设函数 定义在实数集 上, 若对任给的正数 及 上的()x E17任一点 , 总存在某一实数 ，及某个正数 ，使得当 时，0xNCMN对一切 ，都有 .则积分（3.1）在 上局1()UE(,)()Mcfxyd E部一致收敛于 .x定理 3.3 若

27、积分（3.1）在紧集 上局部一致收敛于函数 , 则积E()x分（3.1）在 上亚一致收敛于 ,即对任给的正数 及任何实数 , E()xNC都存在 ,使得对 上任一点 , 都存在 , 使N xN(,)()xNcfydx证明：由假设, 对任给的正数 , 任何实数 及 上任一点 , 都CE0x存在正数 及 ，使得对一切 ，有0x0x0(,)xU0(,)()xNcfydx于是得邻域集 .因为 覆盖了 ，且 是紧集，故 中必,xGuEGEG存在有限个邻域 它们也覆盖 ，()1,2iUk令 ，ma,ixN则 ，又对 上任一点 ，必有某个 使得 ，取Ex(1)ik(,)ixUE，则 ，且 .ix,x(,)N

28、cfydx（二） 、含参量反常积分局部一致收敛的判别法定义 3.2 若函数列 和函数 ，对任意的正数 及任意的()nfx()fx存在正整数 及正数 ，使得对一切的 ，当 时，都有 0xDNDnN()2nff则称函数列 在 上局部一致收敛于 。()nfxD()fx定义 3.3 (含参量反常积分局部一致收敛) 若含参量反常积分与函数 ; 对任意的正数 及任意的 ，存在 及(,)cfxydIx0,xabNC18正数 ，使得当 时， 对一切的 ，MN0(,)(,xab都有 (,)()cfxydI则称含参量反常积分 在 上局部一致收敛于 ，或简单,ab()Ix地说含参量反常积分 在 上局部一致收敛。()

29、cfxy1、主要结果定理 3.4 含参量反常积分 在 上局部一致收敛的充要(,)cfxyd,ab条件是: 对任意的正数 及任意的 ，存在 及正数 ，使得0Mc对一切的 ，当 时，都有0(,)(,xab12A12)Afxyd（3.8）定理 3.5 设对任意的 ，存在正数 ，有函数 使得0,xab()gy， (,)(fxyg(,)(cy若 收敛，则含参量反常函数 在 上局部一致收敛。cd (,)cfxd,ab定理 3.6 （阿贝尔判别法)设（i）含参量反常积分 在 上局部一致收敛;(,)cfxyd,ab（ii）对于每一个 ，函数 为 的单调函数;ab()gy（iii ）对参量 ， 在 上是局部一致

30、有界的，即任意给定的x(,)gy,及任意的 存在正数 和 ，使得对一切的0,)yc0M(,)(,xab都有 0,gy则含参量反常积分 在 上局部一致收敛。(),cfxdy,19定理 3.7 （狄利克雷判别法）设（i）对一切的 ，含参量反常积分 对参量 在 上局部NC(,)Ncfxydx,ab一致有界;（ii）对每一个 ，函数 关于 是单调递减且 时， 对,xab(,)gxyy参量 ， 局部一致收敛于 .x(,)gy0则含参量反常积分 在 上局部一致收敛。(,),cfxyd,ab2、主要引理引理 3.1 函数列 在数集 上局部一致收敛的充要条件是：对()nfxD任意的正数 及任意的 ，存在正整数

31、 及正数 ，使得对一切的0N，当 时，都有0(,)xD,mN()nfxf（3.9）证明：（必要性）若函数列 在数集 上局部一致收敛于 ，()nfxD()fx即对任意的正数 及任意的 ，存在正整数 及正数 ，使得对一切0N的 ，当 时，都有0(,)xDnN()2fxf（3.10）于是对于 ，有（3.10）式就有,mnN()nmfxf()mxf()nfxf.220(充分性) 若条件（3.9）成立及函数列收敛的柯西准则得，函数列在 上任一点 都收敛，记其极限为 ，nfx0,)Dx()fx。现固定（3.9）式中的 ，令 ，于是当 时，对0(,)nmnN一切的 都有 .0(,)x()nfxf由于 的任意

32、性及局部一致收敛的定义知函数列 在 ()nfx上局部一致收敛。类似可证明引理 3.2。0(,)xD引理 3.2 设函数项级数 每一项 在数集 上连续，且对任1()nux()nuxD意的正数 及任意的 ，存在正整数 及正数 ，使得对一切的0xN，当 时，都有 ,则称级数 在0(,)xD,mnN()()mnuxx 1()nux数集 上局部一致收敛。引理 3.3 含参量反常积分 在 上局部一致收敛的充要(,)cfxyd,ab条件是: 对任给的趋于 的递增数列 (其中 ) ，函数项级数nA1c(3.11)11,)nnfxydux在 上局部一致收敛。,ab证明:( 必要性) 由于含参量反常积分 在 上局

33、部一致收(,)cfxyd,ab敛。故对任意的正数 及任意的 ，存在 及正数 ，使得当0,xabMc时，对一切的 都有AM(,)(,Afxyd（3.12）又由 ，所以对正数 ，存在正整数 ，只要 时就()nAMN,mnN有 ，由（3.12）式对一切的 就有M 0(,)(,xab21()()nmuxx1 1,(,)mnAAfydfxyd1()nAx这就证明的级数（3.10）在 上局部一致收敛。,ab(充分性) 用反证法， 假若含参量反常积分 在 上不(,)cfxyd,ab局部一致收敛，则存在某个 ， 使得对任意的 ，00,xabMc，存在相应的 和 ，使得0AM()(|0(,)fxyd现取 ，则存

34、在 及 使得1max,Mc2110(,)(,xab210(,)Afxy一般的取 ，则有(1)12a,n及n10(,)(,xab使得210(,)nAfxyd（3.13）由上述所得到的数列 是递增数列，且nlimnA现考察级数 11(,)()nAnfxydux由（3.13）式知存在正数 ，对任何的正整数 ，只要 ，就有某个0Nn使得0(,)(,nxab212 0()(,)nAnuxfxyd这与级数（3.11）在 上局部一致收敛相矛盾，故含参量反常积分,22在 上局部一致收敛。(,)cfxyd,ab（三） 、计算含参量反常积分的一些特殊方法反常积分是微积分教学中的一个难点, 涉及的知识点较多, 近年

35、来考研的试题中也屡屡出现这方面的试题。许多试题按照通常的方法不易求解, 本文拟提供几种特殊的计算方法。1、利用反常积分的定义和变量替换求解这种方法的主要思想是: 求一个无穷上限(或下限) 的反常积分, 可以先将其上限( 或下限) 固定 , 然后利用变量替换的的方法求解其值, 最后通过作极限手段, 求得其无穷上限(或下限)的反常积分值。例 12 设 在 上连续，并且积分 存在，试求fx0,)()Afzd0)积分 的值。0()fabd(a解： )()Affaxdx()Afbxazbz()bAf()afx因为 作为二元函数在 ， 上连续，所以()fAx0,x,（ 或 ）0()limbaAfxd=(b

36、af()lnfa故 原积分 . 0)liAdx=b(,0)2、通过建立微分方程求积分值将含参变量的反常积分看成是关于该参量的函数形式, 然后求导建立一个微分方程, 通过对微分方程的求解, 求出原反常积分的值。例 13 求积分 的值 .20()cosxgaedx(0)2g（ ）解: 令 则2,xf(,)f=sinxe23显然 ， 连续。(,)fx(,)fx又因对一切 ， 有0,)，22cosxxee2 2sinxxe而 收敛，所以 也一致收敛。又 收敛，20xed0(,)fd 20d所以 也一致收敛。因此，由可微性定理可知 可微，所以(,)f ()g20()cos)xgex 2+0sinxedx

37、2 20inco()g即 ()()g求解此微分方程，由 得 .()22()xge3、引入收敛因子法求解有时不能在积分号下求导, 但通过引入“收敛因子 ” 之后, 可以进行积分号下求导。例 14 计算 .0sinxd分析:用 Dirichlet 判别法易知该积分收敛,但积分号下求导之后积分00si()cosxxd发散,不满足积分号下求导的条件。为此我们粗略地想法是引入收敛因子.xe考虑积分 0sin()xged（3.14）若能够计算出 ，则原积分等于 .()g(0)g解：由于 收敛， （3.14）式当 时一致收敛，其他条件0xed 明显。24所以 （ ）20sin()()xged ,0由此()a

38、rctn(,0)g当 时，令 得0()arct2(,0)（3.15）由 Abel 定理可知： 在 上一致收敛，所以， 在 上连续。()g0()g0令 ，在（3.15）中可得 00sin()2xdg (0)因为 是奇函数，所以sinx（ ）.0 0si() sinxdg4、级数解法将被积函数转化成级数的表达形式, 然后再对级数进行求积分运算或求导运算, 从而使计算过程简化。例 15 计算积分 .220axbeId(0,)a解：不妨设 ， b2222()1axbaxxee 22()!bxnnea2120()()!bxkk x所以 220axbeId 2100()!bxkkaed（3.16）25当

39、时 0k 201bxed（3.17）对（3.17）式两端求 的导数得：b2 30 21bxedb继续对 求导得到 项的积分。如此反复可证明第 项的积分：b2kk2 210132bxk kedb 因此（3.16）变为 .112 ()abI a 5、利用其他的积分利用分析和代数的各种手段, 将所求的积分化为已知的积分或者易求积分, 这是计算积分的根本方法。例 16 试利用积分 ,计算积分 的值。 2(1)0()xued 20xIed解：令 ，做变换 ，易验证 ，20()xtfdt()f0从而有 .取 得 ，所以 ，xc4c()4fxx2lim()li()4xxIf（3.18）注意到 22(1)0x

40、uxe所以，当 时， （ ）一致收敛于 0.x2(1)xue0,12 2(1) ()100lim()lilim0xuxuxx edd26代入（3.18）式得 .20xIed总结本文主要通过文献查阅，收集相关材料，由含参变量积分的性质及定理研究它们的应用。主要工作是对文献中的一些例子或其解题方法进行改进，从而对解题提出更高的要求，找到一个更简便的解题方法。参考文献：1 邓东皋，尹小玲数学分析简明教程（下册）M第二版，北京: 高等教育出版社，20032 华东师范大学数学系数学分析（下册）M第三版，北京：高等教育出版社， 20013 赵显才，黄安才数学分析的方法与题解M第一版，西安：陕西师范大学出版社，20054 孙建安一类含参变量积分的表示形式J吕潍师专学报， 2000，19(5) ：76775 倪伟平用含参变量积分解决积分计算的数学模式J枣庄师专学报，2000，17(2)：32336 石平绥.多元函数微积分学M.华龄出版社, 19947 程其襄, 张奠宙. 实变函数与泛函分析基础: 第三版M.北京: 高等教育出版社, 2003.