1、第六章 机械运动和机械波思考题6-35 简谐振动中相位为 、+、2+、3+ 、.时描述的是同一运动状态吗？为什么？6-36 对一简谐振动系统，画出其动能和势能关于时间变量的曲线，并分析两者反相的物理意义。6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到 角的位置撒手任其摆动。这里 角是初相位吗？若不是，它将对应什么物理量？6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟，并让水从球体缓慢流出，试描述其摆动周期的变化情况。6-39 利用受迫振动的稳定解（6.19）式说明为什么恒力不能导致受迫振动。 （提示：恒力的频率 可视为零）6-40 在太空中能听到声音吗？为什么？6-41 在较长时间间隔（tT）内，任意以 t
2、 为变量的正弦（或余弦）型函数的平均值均为零，例如：=0，其中 是任意常数。试据此推导（6.11） 、(6.12)及(6.40) 式。6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被察觉，但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期 T、频率 v 和圆频率 给出。类似地，我们可以用 、 、 描述波的空间周期性，试说明这三个量对应的物12理意义。6-44 试解释弦乐器的以下现象：（1） 较松的弦发生的音调较低，而较紧的弦则音调较高；（2） 较细的弦发生的音调较高，而较粗的弦则音调较低（古人
3、称之为“小弦大声，大弦小声” ） ；（3） 正在振动的两端固定的弦，若用手指轻按弦的中点时，音调变高到两倍，若改按弦的三分之一处时，音调增至三倍；（4） 用力弹拨琴弦（而非用手指按弦）时，能同时听到若干音调各异的声音。（提示：音调高低与弦振动的频率成正比。此外，在（4）情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。 ）习题6-1 如题 6-1 图所示，用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来，悬线 oc 通过圆盘质心，圆盘呈水平状态，这个装置称为扭摆，当使圆盘转过一个角度时，金属丝受到扭转，从而产生一个扭转的恢复力矩。若扭转角度很小，圆盘对 oc 周的转动惯量为 I,扭转力矩可表示为 M=-k，求扭摆的振
4、动周期。解:由转动方程6-2 一质量为 m 的细杆状的 1m 长的直尺，如果以其一端点为轴悬挂起来，轴处摩擦不计，求其振动周期。解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为: mghsin 0IghI2212, , , 1.64()I3lImlhTS题 6-2 图6-3 有一立方形的木块浮在静止水中，静止时浸入水中的部分高度为 a。若用力稍稍压下，使其浸入水中部分的高度为 b，如题 6-3 图所示，然后松手 ，任其做自由振动。试证 ，如果不计水的粘度阻力，木块将做简谐振动，并求振动的周期和振幅。解：浮力与重力相等处于平衡状态有： 2 m() gs2gxs0 Taaxag22, 0, ,kkIMkI
5、TIIK6-4 一质量为 1.0 10-3 kg 的质点，做简谐振动，其振幅为 2.010-4m，质点再离平衡位置最远处的加速度为 8.010 3m/s2。（1） 试计算质点的振动频率；（2） 质点通过平衡位置时的速度；（3） 质点位移为 1.210-4m 时的速度；（4） 写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。解：6-5 如题 6-5 图所示，一重力作用下的弹簧振子，振子静止时弹簧伸长 =10cm;将振子向下拉一段距离 d=2.0cm，并将位移方向给它一个向下的初速度v0=10cm/s，任其运动，不计空气阻力，试求：（1） 振动频率（2） 振幅 A（3） 初始相位 （4） 振
6、动表达式。 （取 10m/s2）解：（1）振动频率 （2）振幅（3）初相位 2 2ax7 3max 1 cos() (1)4.011.0()2 sin() .AtAHZt ms 4(3)co.2()3 s()5xAxt21243in(1cos() .0()(4).0()cos8.cs6.0)AtmFkxxNt t220().()vAxm110coss.9.46()rad（v 00 取正号，v 0(b) t=s v+2v()11cos2cos()44xyktktx又 所 以所 以 ， 波 函 数 为6-22 设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐波的波形曲线如图所示，试分别说明图中 A、B、C、D
7、 等各点在该时刻的振动方向，并做出 T/4 前和 T/4后的波形图。解：6-23 已知一列波速为 v、沿 x 正向传播的波在 t=0 时的波形曲线如图所示，画出图中 A、B、C、D 各点在第一周期内的振动曲线。解：A 点，t=0 时，y=-A 振动表达式 y=Acos(t+)B 点，t=0 时，y 0=0，并且 V0所以 y=Acos(t+/2)，=/200,cos()233VyAtC点 yD点6-24 在直径为 14cm 的直管中传播的平面简谐波，其平均能流密度为9.010-3W/m2，频率 v=300Hz，波速 v=300m/s，求：（1）最大哪能量密度和平均能量密度；（2）相邻两同相位波
8、面间（即相位差为 2 的两波面间）的总能量。解：（1） 353531910, ()2260()mm IIWVWJmVJAA（2） 52701(.4).610()ES Jv 6-25 声波是流体或固体中的压缩波，在讨论声波时，讨论声波中的压强（即压力）变化要比讨论声波中质元的位移更方便些，可以证明，当声波的位移波函数为 时，对应于压力变化的波函数为2cos()yAxwt0 2insin()mpwvt是相对于为扰动时压力 的压强变化值， 是介质的体密度。00（1 ） 人耳能够忍受的强声波中的最大压强变化 pm 约为 28N/m2（正常的大气压强约为1.0105N/m2）若这一强度波的频率为 100
9、0Hz，试求这声波所对应的最大位移。（2） 在频率为 1000Hz 的声波中，可以听得出最微弱的声音的压强振幅约为 2.010-5N/m2,试求相应的位移振幅，设 =1.29kg/m3，v=321m/s。0解：（1）最大位移： 051.04()2mPAVmv（2）最小位移： 0127.450()mPAVv6-26 无线电波以 3.0108m/s 的速度传播，有一无线电波的波源功率为 50kW，假设该波源在各向同性介质中发射球面波，求离波源 200km 远处无线电波的能量密度。解： 2 3816345014(2)3.0(.)PIWVrJm6-27 如图所示，设 B 点发出的平面横波在 B 点的振
10、动表达式为3210cost沿 BP 方向传播；C 点发出的平面横波在 C 点的振动表达式为3()t沿 CP 方向传播，两式中各量均为 SI 单位，设 BP=0.4m ，CP=0.5m，波速为0.2m/s，求：（1）两列波传达到 P 处时的相位差；（2）如果这两列波的振动方向相同，求 P 点的合成振幅；（3）如果这两列波的振动方向垂直，则合成振动的振幅如何？解：（1） 因为是两个同频率的波所以 2121()()(0.45)2wrv（2） 如果振动方向也相同，得到两相干波 3310()Am（3） 如果振动方向垂直又同相，合成后仍是谐振动， 22 3112()6-28 题 6-28 图表示一个声学干
11、涉仪，它是用来演示声波的干涉，S 是电磁铁作用下的振动膜片，D 是声波探测器，例如耳朵或传声器，路程 SBD 的长度可以改变，但路径 SAD 却是固定的，干涉仪内充有空气，实验中发现，当 B 在某一位置时声强有最小值（100 单位） ，而从这个位置向右拉 1.65cm 到第二个位置时声强就渐渐上升到最大值（900 单位） 。试求：（1）由声源发出的声波的频率以及（2）当 B 在上述两个位置时到达探测器的两个波的相对振幅和（3）到达 D 处时二路声波的分振幅之比（已知声速为 340m/s） 。解法一：极大为波腹，极小为波节，相邻波腹波节间距： 221.6506.01()4m解法二：D 处干涉极大
12、，极小取决于波程差，相邻极大和极小只差半个波长，故有 2260()题 6-28 图6-29 在同一介质中的两个相干波源位于 AB 两点，其振动方向相同，振幅皆为5cm/s，频率皆为 100Hz，但 A 点为波峰时，B 点为波谷，且在此介质中波速为10m/s，设 AB 相距 20m，经过 A 点做一条垂线，在此垂线上取一点P，AP=15cm，（1） 试分别写出 P 点处两波在该点的振动表达式；（2）求两波在 P 点的相位差；（3）写出干涉后的振动表达式（波动中振动幅不变） 。解：（1） 221550cos0()s()510coAPBPyttrVt（2 ） ()或 -（3 ）相消干涉 A=0，所以
13、 y=06-30 在一个两端固定的 3.0m 长的弦上有 3 个波腹的“驻波”其振幅为 1.0cm，弦长波速为 100m/s（1）试计算频率；（2）若视为人、反射波叠加的理想驻波，写出产生此驻波的两个波的表达式。解：（1） 32,10/25,10VmXvHz（2）若为理想驻波驻波端点为节点，x=0，表达式为 设入射波波函数则反射波波函数 2 1 122321cos()coscos()yAtxAtAtx 显然 2siny即 1220.5co(10)sytx6-31 如图所示，S 是一个由音频振荡器和放大器驱动的小喇叭，音频振荡器的频率可调范围为 1000-2000Hz，D 是一段用金属薄板卷成的
14、圆管，长 45cm。1.()m1sinytx1(ytx（1） 如果在所处温度下空气中的声速是 340m/s，试问当喇叭发出的频率从1000Hz 改变到 2000Hz 时，在那些频率上会发生共鸣？（2） 试画出各次共鸣时管的位置波节、波腹图（忽略末端效应） 。解：形成驻波圆管两端（开口）为波腹（3）(4） （5）频率会发生共鸣。6-32 如题 6-32 图所示是一个测量空气中声速的装置。把频率为 v 的振动着的音叉置于管的开口端，管内装有水，而管中空气柱的长度可以由水面的升降加以改变。当水面由管的顶端渐渐下降距离 a 时，声音的强度达到最大值。求空气中声速。若用 1080Hz 音叉时，测得 d=
15、15.3cm，求声速值是多少？6-33 有一提琴弦长 50cm，两端固定，当不按手指演奏时发出的声音是 A 调（440Hz） ，试问要奏出 C 调（528Hz）手指应该按在什么位置?解：提琴弦两端固定，谐振时，两端必为波节基调 1,40,2140()258I=.6758IvHzVvmsA不 变 ，6-34 蝙蝠在洞穴中飞来飞去，利用超声波脉冲导航非常有效（这种超声波脉冲是持续 1ms 或不到 1ms 的短促发射，并且每秒重复发射几次） 。假设蝙蝠所发超声频率为 39103Hz，在朝着表面平直的墙壁飞扑的期间，它的运动速率为空气中声速的 1/40，试问它听到的从墙壁反射回来的脉冲波频率是多少？11223 43 465 6(),37.8(),5 .(),13() 2,15()/ /2,89 (3, 722 3vl Hzlv vl zl Hzl lH解：蝙蝠以 V1 向墙飞扑，被墙反射回来的声音相当于声源以 V1 向运动的多普勒效应的声音：V1=v v/(v-v1)此声音又被以 V1 运动的蝙蝠接收，其频率为：112 340 10()9VVv Hz
