1、188第四章 幂函数的积分运算本章所指的积分运算，包括下面两种情况：1 根据变量的速度公式（对微分运算而言是微分公式，对积分运算而言是原函数）求变量的变化量（即积分值）或者变化公式（即积分公式） ；2 根据变量的速度数据（即变量的速度公式是未知的，根据其速度的测定数据进行运算）求变量的变化量或者变化公式。对于前一种情况，我们可以从微分公式逆向推导出积分公式（以下称之为逆向推导法） ；对于后一种情况，我们可以先求出变量的速度公式，然后按前一种情况进行运算。另外我们还可以根据微分运算的增量递减法导出一种割距递减法。这种方法虽然计算工作量较大一些，但在计算机已经普及的今天来说，只要不是无穷大，就不能
2、算是很大的问题。下面我们就分别介绍该两种方法。4-1 逆向推导法对于微积分运算来说，前者是指根据变量的变化量求变化速度的问题，后者是指根据变量的变化速度求变化量的问题。这也就是说，积分运算中的原函数就是微分运算中的微分公式，积分运算中的积分公式就是微分运算中的原函数。因此，对于积分运算来说，如果原函数的函数公式是已知的，则我们可以根据微分运算中微分公式与原函数的关系，从积分运算的原函数推导出积分公式。因为这种推导，实际上也就是根据微分公式逆向推导出微分运算的原函数的问题。所以，我们将其称之为逆向推导法。该方法适合于原函数的幂通式为已知时使用，如果是未知的，应先求出其幂通式。189在上一章的介绍
3、中，我们已经知道，在微分运算中，如果原函数=axn，)(xf则其微分公式（导函数）= anxn-1。f该两式的关系式为= axn anxn-1。)(xf)(f根据上述关系式，微分运算中的原函数等于微分公式增加1 次幂，再除以它的指数。为与积分运算相适应，现在，我们令微分公式= axn，)(xf于是我们有= 。)(f1a这就是微分公式 = axn 时的原函数；也就是积分运算中，xf原函数 =axn 时的积分公式。因此，当原函数)(f=axn)(xf时，= ，)(f1a（式 4-2-1-1）这就是幂函数的积分公式。式中系数 a 为任意实数，指数 n 为任意正整数。下面，我们计算几个例题。例题 4-
4、2-1-1：求=4x33x 22x+5)(xf190的积分公式？解：该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、 2、 3、 4。)(xf)(f)(xf)(f1 首先求最高项 4x3的积分公式。将其系数 4 和指数 3代入（式 4-2-1-1）得1= = =x4，)(xf4x这是例题最高项的积分公式。2 再求次高项-3x 2的积分公式。将其系数 3 和指数 2 代入（式 4-2-1-1）得2= = =x3，)(xf13x这是例题次高项的积分公式。3 将第三项 2x 的系数 2 和指数 1 代入（式 4-2-1-1）得3= = =x2，)(
5、xf1x这是例题第三项的积分公式。4 例题的第四项（最低项）5 是一个常数项，将它改写成幂函数时是 5x0。将其系数 5 和指数 0 代入（式 4-2-1-1）得4= = =5x，)(xf10x这是例题第四项的积分公式。5 将上述 4 项的积分公式按原函数的运算符号连接起来，= x4x 3x 25x，)(f191这就是根据例题计算出来的积分公式。答：原函数 =4x33x 22x+5 的积分公式 = )(xf )(xfx4x 3x 25x。例题 4-2-1-2：求任意幂函数=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6x0)(f(a1、a 2、a 5、a 6均为任意常数)，的积分公式？解
6、：该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、 2、 3、 4、 5、 6。)(xf)(f)(xf)(f)(xf)(f1 首先求最高项 a1x5 的积分公式。将其系数 a1 和指数 5代入（式 4-2-1-1）得1= = ，)(f61xa这是例题最高项的积分公式。2 再求次高项 a2x4 的积分公式。将其系数 a2 和指数 4 代入（式 4-2-1-1）得2= =)(f1452x这是例题次高项的积分公式。3 将第三项 a3x3 的系数 a3 和指数 3 代入（式 4-2-1-1）得3= = ，)(f14x这是例题第三项的积分公式。1924
7、 将第四项 a4x2的系数 a4 和指数 2 代入（式 4-2-1-1）得4= = ，)(f13x这是例题第四项的积分公式。5 将第五项 a5x 的系数 a5 和指数 1 代入（式 4-2-1-1）得5= = ，)(f2x这是例题第五项的积分公式。6 将第六项（最低项）a 6x0的系数 a6 和指数 0 代入（式4-2-1-1）得6= =a6x，)(f1a这是例题第六项的积分公式。7 将上述 6 项的积公公式按原函数的运算符号连接起来，= + + + + + a6x，)(xf1a52x43a3x25这就是根据例题计算出来的积分公式。答：原函数 =a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+
8、a6x0的积分公式)(f= + + + + + a6x。)(xf61a23a例题 4-2-1-3：设测得某变量的自变量依次为0、1、2、3、4、5时，其因变量依次为1、3、8、10、13、31。试求其积分公式？解：193用逆向推导法解该题，须先求出该变量的通式，然后逐项求其积分公式。1 根据题意，求该变量通式的计算依据如下 31083542150yx2 建立因变数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。因变列：1、3、8、10、13、31一增列：2、5、2、 3、18二增列：3、-3、1、15三增列：-6、4、14。四增列：10、10。根据该高阶增长数阵，列题因变数列的首数列为2、3、-6、10。3
9、 根据上述因变数列的首数列求出通式的最高项，并将通式最高项的首数列从因变数列的首数列中减出。因为其最高首数 10 是第四阶，所以，通式最高项的指数为 4。即通式的最高项为A0X4。（A 0为待定常数）因为A= ；标 准 幂 数 列 的 最 高 首 数因 变 数 列 的 最 高 首 数标准幂数列的最高首数=N！。因为通式最高项的指数为 4，最高首数为 10，所以最高项的系数A0= = = 。!125现在，我们已经求出假定条件下通式的最高项为：194X4。125根据 2-5 节式 2-5-7，若因变数列可以由一个单项幂函数所给定，则因变数列的首数列=A同次标准幂数列的首数列。通式的最高项当然是一个
10、单项幂函数。因为 A0= ，所以，125我们有通式最高项的首数列= 同次标准幂数列的首数列。125因为该最高项的幂指数是 4，根据标准幂数列首数表4 行，其标准幂数列的首数列为1、14、36、24。所以：通式最高项的首数列= (1、14、36、24)。25因为：1= ；114=5 ；25636=15；124=10。25所以最高顶的首数列为：、5 、15、10。16将因变数列的首数列减去该最高项的首数列：195(2、3、-6、10)( 、5 、15、10) 。1262 =1 ；735 =-2 ；6-615=-21；1010=0。其剩余首数列为1 、-2 、-21。27654 根据上述剩余首数列求
11、出通式的次高项，并将次高项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列中已经不再包含通式最高项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的次高项。因为该剩余首数列的最高首数-21 是第三阶，所以，它是分离出去通式最高项后，第三阶增长数列的首数，所以，通式次高项的指数为 3。即通式的次高项为A1X3。（A 1为待定常数）与上述同理，A1= = =-3.5。!326通式的次高项为-3.5X3。与上述同理，通式次高项的首数列=-3.5同次标准幂数列的首数列。因为该次高项的幂指数是 3，根据标准幂数列首数表3 行，其标准幂数列的首数列为1、6、6。196所以：通式次高项的首数列=-3.5 (
12、1、6、6)。因为：-3.51=-3.5；-3.56=-21；-3.56=-21；所以次高顶的首数列为：-3.5、-21、-21。将上述剩余首数列再减去该次高项的首数列：(1 、-2 、-21)(-3.5、-21、-21)。27651 -3.5=5 ；12-2 -21=18 ；65-21-21=0；其剩余首数列为5 、18 。1265 再根据上述剩余首数列求出通式的第三高项，并将第三高项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列已经不再包含通式最高项和次高项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的第三高项。因为该剩余首数列的最高首数 18 是第二阶，所以，它是分离出去通式最高项
13、和61次高项后，第二阶增长数列的首数，所以，通式第三高项的指数为 2。即通式的第三高项为A2X2。（A 2为待定常数）197与上述同理A2= =9 。!618通式的第三高项为9 X2。1与上述同理，通式第三高项的首数列=9 同次标准幂数列的首数列。2因为该第三高项的幂指数是 2，根据标准幂数列首数表2行，其标准幂数列的首数列为1、2。所以：通式第三高项的首数列=9 (1、2)。因为：9 1=9 ；129 2=18 ；所以第三高顶的首数列为：9 、18 。126将上述剩余首数列再减去该第三高项的首数列：(5 、18 )(9 、18 )。15 9 =-4；1219818 18 =0。61其剩余首数
14、列为-4。6 再根据上述剩余首数列求出通式的第四项，并将通式第四项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列中已经不再包含通式前三项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的第四项。因为该剩余首数列的最高首数-4 是第一阶，所以，它是分离出去通式前三项后，第一阶增长数列的首数，所以，通式第四项的指数为 1。即通式的第四高项为A3X。（A 3为待定常数）与上述同理A3= =-4。!14通式的第四项为-4X。与上述同理，通式第四高项的首数列=-4同次标准幂数列的首数列。因为该第四高项的幂指数是 1，根据标准幂数列首数表1行，其标准幂数列的首数列为1。所以：通式第四高项的首数列：-41
15、=-4。所以第四高顶的首数列为：-4。将上述剩余首数列再减去该第四高项的首数列：199-4-4=0。这就是说分离出去第四高项的首数列后，因变数列的首数列已经不再有剩余数列。这也就是说，因变数列的通式已经不再有其它变数项。下面是该例题的首数列分离数阵。阶 号： 1 2 3 4因变首数列： 2、 3、 -6、 10。高项首数列： 、5 、 15、10。6累减剩余列：1 、-2 、-21、 0。127次项首数列：-3.5、 -21、-21。累减剩余列：5 、18 、 0。6三项首数列：9 、18 。12累减剩余列：。-4、 0四项首数列：。-4累减剩余列： 0。因为本例题的自变数列符合标准，故通式各
16、项的系数均等于它的第一首数，指数则与其最高首数的阶号相同。至此，我们求出假定条件下的通式为：F(X)= X4-3.5X3+9 X2-4X+c。1251（c 为待定常数）因为本例题的自变数列符合标准，所以c=y0=1至此我们求得例题的通式为：200F(X)= X4-3.5X3+9 X2-4X+1。1251下面我们就继续求该公式的积分公式。该是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为 1、 2、 3、 4。)(xf)(f)(xf)(f7 首先求最高项 X4的积分公式。将其系数 和指数251254 代入（式 4-2-1-1）得1= = ，)(xf415
17、2x这是例题最高项的积分公式。8 再求次高项-3.5X 3的积分公式。将其系数 -3.5 和指数3 代入（式 4-2-1-1）得2= = ，)(xf15.4.x这是例题次高项的积分公式。9 再求三高项 9 X2的积分公式。将其系数 9 和指12数 2 代入（式 4-2-1-1）得2= = =3 x3，)(xf12361这是例题次高项的积分公式。10 将第四项-4x 的系数-4 和指数 1 代入（式 4-2-1-1）得3= = =-2x2，)(xf14x201这是例题第三项的积分公式。11 例题的第五项（最低项）1 是一个常数项，将它改写成幂函数时是 1x0。将其系数 1 和指数 0 代入（式
18、4-2-1-1）得4= = =x，)(xf0x这是例题第五项的积分公式。12 将上述五项的积公公式连接起来，= 3 x32x 2x)(xf5124.61这就是根据例题计算出来的积分公式。答：例题的积分公式= 3 x32x 2x。)(xf5124.6例题 4-2-1-4：设测得某变量的自变量依次为3、5、7、9、11、13时，其因变量依次为2、4、8、13、17。试求其积分公式？解：用逆向推导法解该题，须先求出该变量的通式，然后逐项求其积分公式。1 根据题意，求该变量通式的计算依据如下 31784295350yx2 假定自变数列符合标准。即假定上述计算依据为 3178425050YX3 建立因变
19、数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。202因 变 数 列 2、 4、 8、 13、 17、17；第一阶增长数列 2、 4、 5、 4、 0；第二阶增长数列 2、 1、 -1、 -4；第三阶增长数列 -1、-2、-3；第四阶增长数列 -1、 -1。根据该增长数阵，该因变数列的首数列为2、2、-1、-1。4 根据因变数列的首数列求出通式的最高项，并将通式最高项的首数列从因变数列的首数列中减出。因为上述首数列的最高首数-1 是第四阶，所以，通式最高项的指数为 4。即通式的最高项为A0X4。（A 0为待定常数）因为A= ；标 准 幂 数 列 的 最 高 首 数因 变 数 列 的 最 高 首 数标准幂数
20、列的最高首数=N！。因为通式最高项的指数为 4，最高首数为-1，所以最高项的系数A0= = 。!12现在，我们已经求出假定条件下通式的最高项为：X4。根据 2-5 节式 2-5-7，若因变数列可以由一个单项幂函数所给定，则因变数列的首数列=A同次标准幂数列的首数列。通式的最高项当然是一个单项幂函数。因为 A0= ，所以，241203我们有通式最高项的首数列= 同次标准幂数列的首数列。241因为该最高项的幂指数是 4，根据标准幂数列首数表4 行，其标准幂数列的首数列为1、14、36、24。所以：通式最高项的首数列 = (1、14、36、24)。24因为：1= ；14= ；24136=-1.5；2
21、4=-1。241所以最高顶的首数列为：、 、-1.5、-1。将因变数列的首数列减去该最高项的首数列：(2、2 、-1、-1)( 、 、-1.5、-1) 。242 =2 ；12 =2 ；4-1-1.5=0.5；204-1-1=0。其剩余首数列为2 、2 、0.5。415 根据上述剩余首数列求出通式的次高项，并将次高项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数 0.5 是第三阶，所以，它是分离出去通式最高项后，第三阶增长数列的首数，所以，通式次高项的指数为 3。即通式的次高项为A1X3。（A 1为待定常数）与上述同理，A1= = = 。!35.062假定条件下通式的次高项为X3。
22、1与上述同理，通式次高项的首数列= 同次标准幂数列的首数列。2因为该次高项的幂指数是 3，根据标准幂数列首数表3 行，其标准幂数列的首数列为1、6、6。所以：通式次高项的首数列= (1、6、6)。2因为：1= ；12056= ；1266= ；所以次高顶的首数列为：、 、 。126将上述剩余首数列再减去该次高项的首数列：(2 、2 、0.5) ( 、 、 )。41262 =1 ；432 =2 ；620.5 =0；1其剩余首数列为1 、2 。436 再根据上述剩余首数列求出通式的第三高项，并将第三高项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数 2 是第二阶，所以，它是分离出去通式
23、最高1项和次高项后，第二阶增长数列的首数，所以，通式第三高项的指数为 2。即通式的第三高项为A2X2。（A 2为待定常数）与上述同理206A2= =1!14假定条件下通式的第三高项为1 X2。与上述同理，通式第三高项的首数列=1 同次标准幂数列的首数列。24因为该第三高项的幂指数是 2，根据标准幂数列首数表2行，其标准幂数列的首数列为1、2。所以：通式第三高项的首数列 =1 (1、2)。4因为：1 1=1 ；241 2=2 ；所以第三高顶的首数列为：1 、2 。4将上述剩余首数列再减去该第三高项的首数列：(1 、2 )(1 、2 )。31 1 = ；42072 2 =0。1其剩余首数列为。27
24、 再根据上述剩余首数列求出通式的第四项，并将通式第四项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数 是第一阶，所以，它是分离出去通式前三项12后，第一阶增长数列的首数，所以，通式第四项的指数为 1。即通式的第四高项为A3X。（A 3为待定常数）与上述同理A3= = 。!12假定条件下通式的第四项为X。2与上述同理，通式第四高项的首数列= 同次标准幂数列的首数列。1因为该第四高项的幂指数是 1，根据标准幂数列首数表1行，其标准幂数列的首数列为1。所以：通式第四高项的首数列：2081= 。12所以第四高顶的首数列为：。将上述剩余首数列再减去该第四高项的首数列： =0。12这就是说分
25、离出去第四高项的首数列后，因变数列的首数列已经不再有剩余数列。这也就是说，因变数列的通式已经不再有其它变数项。下面是该例题的首数列分离数阵。阶 号： 1 2 3 4；因变首数列： 2、 2、 -1、 -1；高项首数列： 、 、-1.5、-1；累减剩余列：2 、2 、0.5、 0；41次项首数列： 、 、 ；61累减剩余列：1 、2 、 0；43三项首数列：1 、2 ；1累减剩余列： 、 0；四项首数列： ；12累减剩余列： 0。209如果例题的自变数列符合标准，则通式各项的系数均等于它的第一首数，指数则与其最高首数的阶号相同。至此，我们求出假定条件下的通式为：F(X)= X4+ X3+1 X2
26、+ X+C。211（C 为待定常数）但是，实际上，本例题的自变数列并不符合标准，且常数项 C 还有待确定，所以，下面我们还要进行两部运算。8 将自变数列的首项调整为 0；令 C=Y0将自变数列的首项调整为 0，对于通式来说，只需将 X 替换为 X-X0,因为本例题自变数列的首项 X0=3。所以，上式变为：F(X-3)= (X-3)4+ (X-3)3+1 (X-3)2+ (X-3)+C。2141因为当自变数列的首项等于 0 时，常数项C=Y0因为本例题因变数列的首项 Y0=2。所以上式又变为F(X-3)= (X-3)4+ (X-3)3+1 (X-3)2+ (X-3)+2。21419 给求出的系数
27、的分母添加 HN因子，使系数与原题相符。因为本例题自变数列的公差 H=2，因为当自变数列的公差H1，则系数A= 。！N因 变 数 列 的 最 高 首 数所以，我们应当给通式各项的系数添加一个 HN分母（指数N 分别与各项的指数相同） ，使系数与原题相符。因此，本例题的真正通式为F(X-3)= (X-3)4+ (X-3)3+ (X-3)2+ (X-3)+22132411210= (X-3)4+ (X-3)3+ (X-3)2+ (X-3)+238196541下面我们就继续求该公式的积分公式。该是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为 1、 2、 3
28、、)3(xf)3(xf)(xf4。)3(xf7 首先求最高项 (X-3)4的积分公式。将其系数 、3813841自变量 x-3 和指数 4 代入（式 4-2-1-1）得1= = ，)(xf)(14x5)(920x这是例题最高项的积分公式。8 再求次高项 (X-3)3的积分公式。将其系数 、自96961变量 x-3 和指数 3 代入（式 4-2-1-1）得2= = (x-3)4，)(xf1)(3x8这是例题次高项的积分公式。9 再求三高项 (X-3)2的积分公式。将其系数 、自9659625变量 x-3 和指数 2 代入（式 4-2-1-1）得2= = (x-3)3，)3(xf1)3(2x85这
29、是例题三高项的积分公式。21110 将第四项 (X-3)的系数 、自变量 x-3 和指数 1241241代入（式 4-2-1-1）得3= = (X-3)2，)(xf1)(x48这是例题第三项的积分公式。11 例题的第五项（最低项）2 是一个常数项，将它改写成幂函数时是 2(x-3)0。将其系数 2、自变量 x-3 和指数 0 代入（式 4-2-1-1）得4= =2(x-3)，)3(xf1)(0这是例题第五项的积分公式。12 将上述五项的积公公式连接起来，= (x-3)4 (x-3)3 (X-3)3(xf 5)3(49201x828548122(x-3) 。这就是根据例题计算出来的积分公式。答：
30、例题的积分公式 = (x-3)3(xf 5)3(49201x8414 (x-3)3 (X-3)22(x-3)。285481逆向推导法是在已知原函数公式的情况下，求积分公式最为简捷的方法。如果要进一步求其自变量为某值时的积分值（即积分公式函数值） ，可以逐项求其函数值，然后求和。不过，那属于初等数学的范围，这里就不与介绍了。4-2 割距递减法因为微积分运算有一个非常重要的共同之处，那就是它们212的运算都涉及到计算依据消失这样一个问题(即所谓的“极限”)，所以，微分运算的数学模型可以移植到积分运算中来。下面，我们首先给出积分运算的数学模型，然后介绍割距递减法。4-2-1 积分公式的改善传统的积分
31、表示式如下：du1+ du2+ du3+ dun。abxf)(nlim积分运算可分为不定积分和定积分。前者是指根据变化速度求变量公式的运算，后者是指根据变化速度求某一局部范围变化量的运算。上述积分表示式是针对后者的。现在我们就按照该积分表示式的精神，来看一看定积分运算的实质。设我们要求 x 轴与曲线之间，自变量从 a 到 b 的面积(请参阅下面积分运算示意图一、二、三、四，其中积分运算示意图三中的阴影部分是我们要求的面积)，因为该面积有一条曲边，积分运算示意图一 积分运算示意图二213积分运算示意图三 积分运算示意图四所以很不好计算。按照传统积分表示式的精神，我们首先将这块面积分割成自变量相等
32、(即宽度相等 )的若干小条(以下称微分小条)，逐条计算出它的面积（即 du1、 du2、du 3、 dun的值） ，然后将它们相加。不过，这样计算也有困难。因为各微分小条的两条竖边不相等，且斜边是一条曲线。对此，我们采取的措施是，各小条统一按各自的左竖边(如积分运算示意图一、二所示)或者右竖边(如积分运算示意图四所示)的长度，将各微分小条割(如积分运算示意图一、二所示 ) 补(如积分运算示意图四所示)成长方形，然后按割补成的长方形计算其面积。当然，这样计算出来的面积会小于(如积分运算示意图一、二所示)或者大于(如积分运算示意图四所示)实际面积（即小于或者大于积分运算示意图三中阴影部分的面积）
33、。但是，计算面积与实际面积之差，与微分小条的宽度呈正相关（即各微分小条的宽度越大，其计算的误差就越大，各微分小条的宽度越小，其计算的误差就越小） 。现在，我们不防设各微分小条的宽度为 ，如要求得精确的积分值，我们必须令 =0。但是，x x因为 0 乘以任何数都等于 0，所以，各微分小条的面积都变成了 0。堂堂皇皇的积分运算且不变成了“无中生有” 。这就是传统积分运算的困难；也是上述积分表示式需要使用一个214符号（极限理论）来掩盖其无能的原因。实际上，使用nlim极限理论来掩盖其无能，还有另一方面的困难，那就是，能不能将一条线段分割为 0 的问题？对此，我们可以从两方面来说，对于现实世界中的某
34、一物体（例如一段木头） ，如果我们要对它进行分割，就必须要破坏它的一小段（例如一条锯缝）如果分割的段数足够多，是可以将它分割为 0 的（即所有锯缝的长度之和该段木头的长度） ；但是，数学上的分割，是不考虑其破坏作用的，即= ，xnab所以，对于某一线段，无论你将它分成多少段，其长度之和是不会减少的。即n=ba。x对此，我们的祖先早在两千多年前就已经作出结论：“三尺之杆，日取其半，万世不竭” 。因此，企图通过加大 n 来使 =0x是不可能实现的（从语法上讲，是一个形容词，决非量词。它只能是一个可以无限发展的过程，现代数学将其作为一个数来进行运算，这绝对是错误的） 。不过，积分运算与微分运算具有共
35、同之处，前者是要求增量等于 0 的值；而后者是要求微分小条的宽度等于 0 的值。因此，我们可以将微分运算中的预先函数 移植到积分运算中来（即令微分小条的宽度是一)(xf个变量，并用 表示） 。于是，我们有= (y0+y1+y2+ym-2+ym-1+ym)。)()(xffab式中的 ab； 为各微分小条的宽度，由215=xmab确定，且为了计算的方便， 应尽可能取总数；y0、y 1、y 2、y m-2、y m-1、y m依次是各微分小条左竖边或者右竖边的长度(对原函数 而言，是各微分小条起点的函数)(xf值，如积分运算示意图一、二所示，或者终点的函数值，如积分运算示意图四所示)；m 是项的序号，
36、可以是任意自然数。它就是我们将要介绍的进行积分运算的数学模型，以下我们将其简称为积分模型。4-2-2 对计算依据的相关规定根据上述积分模型进行积分运算， 我们应当首先提取求预先函数 的计算依据，即由 的不同值（数学上又称)(xfx之为不同水平）所给定的一个有穷数列，并且，将 =0 这个x无法直接计算出来的数(以下用 “?”表示，不含“”号) ，作为该数列的首项。即该数列为?、 、 、 、 ，)(1xf)(2f)(3xf)(mxf对于该数列我们不防称之为预先数列。对预先数列的首项“?” ，我们称之为预先数列的待定项；对预先数列除“?”以外的其它项，我们称之为预先数列的可计算项。积分运算的任务就是
37、根据预先数列的可计算项、 、 、)(1xf)(2f)(3xf)(mxf求预先数列的待定项“?”的值。因为这里我们是在研究幂函数的积分运算，所以，预先数列的自变数列（即微分小条的不同宽度）应当是一个等差递增数列。即216= 、 、 、 、mx01x23xmx=0、h、2h、3h、mh。该数列中的公差 h 为待定常数，应当0；系数 m 为正整数，它表示微分小条取 m 种不同的宽度（数学上称之为 不同水平） 。对于该数列，我们不防称之为预先自变数列。4-2-3 确定预先自变数列的公差 h设我们要求 的值，则我们称a,b为被积区间。因abxf)(为微分小条只能是整条，所以，被积区间应当能被预先数列任何
38、一项的自变量整除。换句话说，那就是，被积区间的长度必须是预先自变数列=0、h、2h、3h、mhmx0的公倍数。非常明显，如果预先自变数列的公差 h=1，那么，只要被积区间的长度（即 b-a）是前 m 号正整数1、2、3、m 的公倍数便可满足要求。只是，为了减少计算量，我们应当取该前 m 号正整数的最小公倍数。现在的问题是，被积区间不一定是前 m 号正整数的最小公倍数。这就需要我们根据被积区间与该前 m 号正整数的最小公倍数的比值来确定 h 的值。现在，我们不防设前 m 号正整数 1、2、3、m的最小公倍数为 j 被积区间的长度为 k，于是预先自变数列的公差h= 。j（式 4-2-3-1）如 m
39、=4 时，前 m 号正整数 1、2、3、4 的最小公倍数为 j=12，若被积区间的长度为 k=8，代入（式 4-2-3-1） ，预先自变数列217的公差h= = =1.5；jk128又如 m=5 时，前 m 号正整数 1、2、3、4、5 的最小公倍数为j=60，若被积区间的长度为 k=20，代入（式 4-2-3-1） ，预先自变数列的公差h= = = 。jk603如可类推。4-2-4 确定微分分割的水平数 m微分分割的水平数 m，也就是预先数列可计算数项的项数。一般来说，m 越大，前 m 号正整数的最小公倍数 j 就越大，隋 m 增长的情况如下表所示。最小公倍数 j 隋 m 增长情况表m 2
40、3 4 5 6 7 j 2 6 12 60 60 420 根据上述（式 4-2-3-1）易知，在预先自变数列的公差 h不变的情况下，j 越大，需要划分的微分小条就越多，求各微分小条面积所需要的计算也就越多。因此，从减少计算量这个角度来说，我们希望微分分割的水平数 m 尽可能的小。但是如果 m 太小，当我们建立预先数列的高阶增长数阵时，常数列就不会出现。不出现常数项，计算出来的就只是积分的近似值，如要求精确值，必须重新划分微分小条，重新进行计算。这样作反而浪费了计算的工作量。一般来说，如果你能够估计出原函数的指数，那么，只要 m 不小于原函数的最高指数 n就可以了。否则，为便于识别常数列，应本着 m 稍大于原函
