1、第五章 弯曲应力,Bending Stresses,51 引言 52 平面弯曲时梁横截面上的正应力 53 梁横截面上的剪应力 54 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,第五章 弯曲应力,5 引言,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,Q图,M图,简化为外伸梁如图：,横力弯曲,纯弯曲,AC,BD,M,Q,CD,M,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,1、变形前在矩形梁表面画相互垂直的纵向线和横向线，mm和nn为横截面，间距为dx.,2、在M的作用下，梁开始发生纯弯
2、曲变形，注意观察纵向线和横向线的变形情况.,3、变形后，纵向线弯曲成为弧线，横向线仍保持为直线，且垂直与弯曲了的弧线,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x,纯弯曲(Pure Bending):,52 平面弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,1、平面假设： 横截面变形后仍保持平面，只是绕截面内某一轴线偏转一个角度。,基本假设,假想梁由若干的纵向纤维构成，在
3、变形时凹入一侧纤维缩短，凸出一侧纤维伸长,2、假设纵向纤维之间无挤压应力,横截面上只有正应力,两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,距中性层为y处纵向纤维的变形,变形几何关系,2. 物理关系,Physics relation,3. 静力学关系,statics relation,凹入一侧的受压应力,凸出的一侧受拉应力,wz抗弯截面模量,（四）最大正应力：,横力弯曲时的正应力,Stress in shearing bending,如图悬臂梁，自由端受集中力作用。,从内力图来看是典型的横力弯曲。,在横力弯曲的情
4、况下，横截面上存在剪应力，故横截面不能保持为平面，产生翘曲，这时除因弯矩产生的正应力，还将产生附加正应力。但是对于细长梁（横截面h远小于跨度L的梁）来说，附加正应力非常微小，可以忽略不计.,弯曲正应力强度条件:,答案,一简支木梁受力如图所示，荷载F = 5 kN，距离a = 0.7 m，材料的许用弯曲正应力 =10MPa，横截面为h/b = 3的矩形。试按正应力强度条件确定梁横截面的尺寸。,例1:铸铁梁,试校核梁的强度.,解：求支反力，做内力图,B截面处M值为负,所以中性轴以上受拉,以下受压.,C截面处M值为正,所以中性轴以上受压,以下受拉.,例2 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1
5、）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,（1）11截面上1、2两点的正应力；,（2）此截面上的最大正应力；,（3）全梁的最大正应力；,(4)求11截面的曲率半径。,1、横截面上的剪应力方向平行于剪力Q,2、剪应力沿截面宽度均匀分布 (矩中性轴等距离处，剪应力相等。),假设,53 梁横截面上的剪应力,矩形截面梁,研究方法：分离体平衡,在梁上取微段如图,Q - 横截面上的剪力,-整个截面对中性轴的惯性矩,- 截面上距中性轴为Y的横线以外的部分对中性轴的静矩,b - 距中性轴为
6、y处的截面宽度,IZ,SZ*,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,铅垂剪应力主要腹板承受（9597%）,需要考虑弯曲剪应力的情况,(1)短梁，载荷靠近支座，剪力较大.,（2）工字型截面梁，腹板上切应力较大.,（3）焊接梁的焊缝，铆接梁的铆接面或胶结梁的胶接面.,已知,Q=F,y = 0 处切应力最大,思 考:,5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和
7、剪应力强度条件,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,、校核强度：,解：画内力图求危面内力,例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核
8、梁的强度。,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,解：画弯矩图并求危面内力,例 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,4,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,二、梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = 1.5 ),英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,强度：正应力：,
9、剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,工字形截面与框形截面类似。,选用合理的截面形状,在截面积A相同的条件下，抗弯截面系数W愈大，则梁的承载能力就愈高材料远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面“。,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2、根据
10、材料特性选择截面形状,梁的合理设计,一、合理配置梁的荷载和支座,控制强度条件：,M Wz,二、合理选取截面形状,1、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。,2、 对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。,3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力 st 和许用压应力 sc 。,三、合理设计梁的外形,考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。,采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，截面宽b为常数,高度h
11、为x的函数，则高为,同时,1受弯构件横截面上有两种内力弯矩和剪力。,剪力,在横截面上产生剪应力,本章小结,弯矩M在横截面上产生正应力,2已知横截面上的内力，求横截面上的应力属于静不定问题，必须利用变形关系、物理关系和静力平衡关系。,弯矩产生的正应力是影响强度和刚度的主要因素，故对弯曲正应力进行了较严格的推导。剪力产生的剪应力对梁的强度和刚度的影响是次要因素，故对剪应力公式没作严格推导，先假定了剪应力的分布规律，然后用平衡关系直接求出剪应力的计算公式。,3梁进行强度计算时，主要是满足正应力的强度条件,某些特殊情况下，还要校核是否满足剪应力的强度条件,4根据强度条件表达式，提高构件弯曲强度的主要措施是：减小最大弯矩；提高抗弯截面系数和材料性能。,答案,外伸梁AC承受荷载如图所示，Me = 40kNm，q = 20 kN/m。材料的许用弯曲正应力 =170MPa，许用切应力 = 100 MPa。试选择工字形钢的号码。,本章结束,
