1、例1 简单正交点阵的面间距 如果基失 构成正交系，证明平 面族（ hkl）的面间距为,例1 简单正交点阵的面间距 如果基失 构成正交系，证明平 面族（ hkl）的面间距为 解： 参看右图，根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶 轴 上的截距分别是 。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是这里d 是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距 。,由 得到 故,对sc点阵， 所以有,例2 证明体心立方点阵得倒（易）点阵是面心立方点阵。反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方。,其中 a 是立方晶胞边长， 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积,证明 选体心立方点阵的初基矢量如
2、图所示,根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢,于是有显然 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 。,同理 对面心立方点阵写出初基矢量,初基晶胞体积 根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢显然， 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是 。,例3 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB4，AC3，夹角BAC 的平行四边形ABDC重复而成，试求倒易点阵的初基矢量。,由得到下面四个方程式,解法之一,由式（1）得： 由式（2）得： 即解得,由式（3）得： 代入式（4）得:于是得出倒易点阵基矢,选取 为 方
3、向得单位矢量，即令 于是初基晶胞体积 为倒易点阵基矢为,解法之二,对二维点阵，仅取 两个方向，于是得,例4 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。,例6 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消光规律后，这种处理方
4、法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。 （a）体心立方结构体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 。相应于这个面心立方点阵的倒易点阵矢量G所给出的波矢改变 ，都有劳厄衍射峰出现。但是，为了方便，人们常把体心立方结构考虑为一个带有两格点的基元的简单立方点阵，基元中两格点的坐标为 。从这个观点来看，倒易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长为 。根据衍射条件，当DK等于这个简单立方倒易点阵的G时，都可能有劳厄衍射的峰值。但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因
5、子，计入结构因子对散射波振幅的影响。,其中 是基元中第j个原子的坐标是简单立方点阵的初基矢量,是简单立方点阵的倒易点阵矢量,将 和 的表达式代入式（1）中得到,体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原子，它们的位置是 ，即 ，即,而原子的形状因子,将以上关系式代入式（2）中，就得到体心立方结构的结构因子,在简单立方倒易点阵中，去掉那些 奇数的点（在这些点，由于从基元中两个原子来的散射波相互抵消的结果，使散射波的总振幅为零，于是相应的反射消失），剩下的正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为 ，如下页所示。当波矢改变DK等于这个面心立方倒易点阵的G时，才有实际上的劳厄衍射峰出现。
6、由以上的分析看出，体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，也可以作为带有基元的简单立方点阵处理，所得的X射线反射谱是完全相同的。,在简单立方倒易点阵中，去掉结构因子为零的点（ ），剩下的点（ ）正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为 。,（b）面心立方结构面心立方结构可以直接用面心立方布喇菲点阵处理，倒易点阵为体心立方点阵，立方晶胞边长为 。与其倒易点阵矢量G相应的波矢改变DK都有衍射峰出现。但是，为了方便，我们有时把面心立方结构用简单立方点阵处理，相应的基元包含四点： 。 这样处理后，相应的倒易点阵是简单立方点阵，立方晶胞边长为 。,需要注意的是，必须同时计入基元的结构对散射波振幅的
7、影响，计算得到面心立方结构的结构因子为,全为奇数，,全为偶数，,部分为奇数，部分为偶数。,当指数 部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的反射消失。,在简单立方倒易点阵中去掉结构因子为零的点，剩下的正好是一个体心立方点阵，其立方晶胞边长为 ，如下图所示。这和把面心立方结构直接用面心立方布喇菲点阵处理所得的结果是完全一样的。,从简单立方倒易点阵中去掉结构因子为零的点（），剩下的点（）正好是一个体心立方点阵，其立方晶胞的边长为 。,G=0,例5 金刚石结构的结构因子 金刚石结构的惯用晶胞是立方体，其中包含8个相同的原子。把立方惯用晶胞中的8个原子取作基元，金刚石结构可以作为带有基元的简单立方
8、点阵处理。试计算基元的几何结构因子，并证明金刚石结构所允许的反射是所有指数 均为奇数，或均为偶数且 ，这里n是整数。,金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方，初基基元包含两个原子，位于 ， 。 若把金刚石结构的立方惯用晶胞中的8个原子选作基元，相应地，金刚石结构可用带非初基基元的简单立方点阵去描写。这8个原子的坐标是：,把这8个原子的坐标代入结构因子的表达式,证明：,利用 ，计算得金刚石结构的结构因子为,经整理后得,其中 正是在面心立方阵点上所放置的初基基元， 的结构因子。 则正是面心立方点阵惯用晶胞中4个原子的几何结构因子（原子形状因子 为 所等价代替）。,由上结果可见，由于放置在面心立方点阵的阵
9、点上的不再是形状因子为 的单个原子，而是一个结构因子为 的基元，用这个基元的结构因子 代替原子的形状因子 就得到金刚石结构立方惯用晶胞8个原子的结构因子。,现将以上结果讨论如下： 当 全为偶数，且 （ 为整数）， ，故,当 全为偶数时，且 （ 为整数）， ，故,当 全为奇数时， ，故,当 部分为偶数，部分为奇数时， ，故,所以，金刚石结构允许的反射是所有指数 均为偶数且 或者 全为奇数。可以看到，由于金刚石结构放置在fcc点阵阵点上的不再是一个原子，而是一个由两个同种原子组成的基元，此基元中两个原子的散射波相互干涉的结果使fcc点阵所允许的反射又有一部分消失。,例6 氯化钠结构的结构因子 Na
10、Cl是立方晶体，把NaCl结构立方惯用晶胞中的原子选为基元，NaCl结构也可以用sc点阵处理。试计算基元的结构因子 。,NaCl结构的布喇菲点阵是fcc，基元包含一个 ，位于 ，一个 ，位于 。把这样一个基元放置在fcc点阵的阵点上，就得到NaCl结构。这个由两个离子组成的基元的几何机构因子是,其中 分别代表 和 的原子形状因子。,现在把这样一个基元放在fcc点阵的阵点上，用 代替fcc结构因子中的 就得到NaCl结构立方惯用晶胞的结构因子,解：,KCl具有NaCl型结构，且 和 接近相等，因而只有 均为偶数的反射是允许的。KBr也具有NaCl结构，但KBr中的 和 的形状因子很不相同，因而fcc点阵允许的反射KBr也都有。,当 均为偶数时,当 均为奇数时,当 部分为奇数，部分为偶数时,例如：,
