1、第六章 电容元件与电感元件,6-1 2 电容元件及其VCR,6-4 电容的储能,6-3 电容电压的连续和记忆性质,6-5 6 电感元件及其VCR,第二篇 动态电路的时域分析,6-7 电容与电感的对偶性 状态变量,6-8 电容、电感的串、并联,本章内容概述,1. 动态元件:电容、电感元件。含有一个独立的动态元件的电路称为一阶电路;含有两个独立的动态元件的电路称为二阶电路。,2. 动态电路是“有记忆”的电路:响应不仅与现在的激励有关,还与过去的响应有关。,3. KCL、KVL仍是分析电路的基本依据。,4. 以下三章讨论动态电路的时域响应,本章介绍动态元件的VCR、等效电路、状态等概念。,5. 状态
2、量:电容电压 uC、电感电流 iL。,6-1 电容元件,1. 电容器:能聚集电荷,存储电场能的器件。,2. 电容元件:理想电容,是实际电容器的理想化模型。,理想电容只存储电场能量,本身无能量损耗。,3. 实际电容器:其介质不能做到完全绝缘,故有一定程度的漏电。等效电路为: C 与 R 并联。,4. 电容器的参数:(1)电容量C(2)额定电压,6-1,6- 线性时不变电容: 其特性曲线是一条过原点的直线,且不随时间而改变。,q (t) = C u (t),电容,单位:法拉(F)微法(F),5. 特性曲线:在任一时刻,电容贮存的电荷 q 与其端电压 u 的关系,由 q u 平面上的一条曲线所决定。
3、电容元件是电荷与电压相约束的元件。,7. 电荷与电压的约束关系,6-1,1. 微分关系,关联参考方向,非关联参考方向,(1) i(t)与u(t)的变化率 成正比,而与u(t)的数值无关。(2) i(t)为有限值,则 为有限值,即 u(t) 不能跃变。,注意:,6-2 电容的VCR,6-2,在特殊情况下,u (t) 可以跃变,此时理想电压 源需要提供无限大的电流。,(1) i(t)与u(t)的变化率 成正比,而与u(t)的数值无关。(2) i(t)为有限值,则 为有限值,即 u(t) 不能跃变。,注意:,在开关K闭合的瞬间, 由KVL,uC (t) 跃变为US。 条件是:理想电压源应提供无穷大的
4、电流,即 具有无穷大的功率,这是实际电源达不到的。,6-2,2. 积分关系,u(t0) 电容电压初始值,电容电压 u(t) 取决于从 - 到 t 所有时刻的电流值。 u(t)具有“记忆”电流的作用,C为“记忆”元件,又称惯性元件。,由,有,若 t0 = 0,则有,6-2,6-3 电容电压的连续性质和记忆性质,电容电压u(t)的连续性质表述如下:,1. 电容电压的连续性质,当电容电流 i (t) 不连续时, 电容电压 u (t) 是连续的。,当电容电流 i (t) 在闭区间 ta, tb 内为有界的,则电容电压 u(t) 在开 区间 ( ta, tb ) 内为连续的。特别是, 对任意时刻 t,且
5、 ta t tb ,有,uC (t-) = uC (t+),文字表述为:电容电压 uC 不能跃变。,6-3,2. 电容电压的记忆性质,由,可知:电容电压的大小取决于电容电流的全部历史,所以说电容电压具有“记忆”电流的性质。,关系式,是更具有实际意义的、反映电容电压“记忆”性质关系式。,在分析 t t0、含电容元件的动态电路时,电容 电压初始值是一个必备的条件,即必须考虑 u (t0) 对 电路响应的影响,因此,这是一个非常重要的概念。,6-3,3. 电容初始电压 uC (t0) 的等效电路,t t0,结论:可将具有初始电压 uC (t0) = U0 的电容等效为一个未充电的电容与电压源U0 的
6、串联。,6-3,注意U0 的方向,6-4 电容的储能,1. 电容的功率,采用关联参考方向时: p 0 电容消耗或吸收功率; p 0 电容提供或释放功率。,2. 电容的储能,瞬时功率 p(t) = u(t) i(t),可得电容在 (t1, t2) 区间内的储能为,由,代入,在 t1 t2 期间 电容的净储能,6- 4,(1)电容储能与该时刻的电压值有关,而与电流无关; (2)电容的储能本质,使电容电压具有记忆性质; (3)电容电压不能跃变,反映了储能不能跃变的实质,即电容电流在有界条件下电容电压具有连续性质。,结 论, u2(t) 故将uC称为电路的状态变量,6- 4,例,电容与电压源 u(t)
7、 相连接的电路如图(a),u(t)的波形 为三角波如图 (b) 所示。求电容的电流、功率和储能 随时间变化的波形。,(1)由,解,在0.25 0.75ms期间,u(t) 的变化率为常数,故i(t)为方波,可求得 i(t) 波形的幅值,同理,在0.75 1.25ms 期间,i(t) = 0.4A,6- 4,解,i(t) = 0.4A (0.75ms, 1.25ms),i(t) = 0.4A (0.25ms, 0.75ms),(1) i(t) 的波形为方波,幅值为,p(t) = u(t) i(t),(2) 由,可知 wC(t) 的波形为抛 物线,其幅值为 5mJ。,(3) 由,可知 pC(t) 的
8、波形为锯 齿波,其幅值为40W。,画出电容的电流、功率和储能 的波形如图(c)、(d)、(e)所示。,6- 4,6-5 电感元件,1. 电感器:用导线绕制的线圈,存储磁场能的器件。,2. 电感元件:理想电感,是实际电感线圈的理想化模型。,理想电感只存储磁场能量,无能量损耗。,3. 实际电感线圈:其导线具有电阻,故有一定程度的 能量消耗,其等效电路为: L 与 R 串联。,4. 电感线圈的参数:(1)电感量C(2)额定电流,6-5,6- 线性时不变电感:其特性曲线是过原点的直线,且不随时间而改变。,电感,单位:亨利 (H)毫亨(mH),5. 特性曲线:在任一时刻,磁链 与流过电感的电流 i 之间
9、的关系,由 i 平面上的一条曲线所决定。电感是磁链与电流相约束的元件。,7. 磁链与电流的约束关系, (t) = L i (t),6-5,1. 微分关系,关联参考方向,非关联参考方向,(1) u(t)与i (t)的变化率 成正比,而与 i (t)的数值无关。(2) u(t)为有限值,则 为有限值,即 i (t) 不能跃变。,注意:,6-6 电感的VCR,6-6,2. 积分关系,i(t0) 电感电流初始值,若 t0 = 0,则有,电感电流 i(t) 取决于从 - 到 t 所有时刻的电压值。 i(t)具有“记忆”电压的作用,L为“记忆”元件,也称惯性元件。,由,有,6-6,3. u、i 与 e 关
10、联参考方向的含义,的使用条件:必须采用关联参考方向。,表达式,而楞次定律,有 u (t) 与 i (t) 的方向一致,e (t) 与 i (t) 的方向也一致, 且 u (t) 与 e (t) 在数值上相等,,故有 u (t) = - e (t),6-6,6-7 电容与电感的对偶性 状态变量,电感的VCR,电容的VCR,对比以上两式可发现:将 u、i 互换;C、L互换, 即可由电容的VCR得电感的VCR,反之亦然。因此称电容与电感为一对对偶量;同理,电荷与磁链也是一对对偶量。,1. 电容与电感的对偶性,6-7,1. 电容与电感的对偶性,由L与C的对偶性,可得电感电流的连续性和记忆性:,电感电流
11、不能跃变。,iL (t-) = iL (t+),t t0,结论:可将具有初始电流 iL (t0) = I0 的电感等效 为一个初始电流为零的电感与电流源 I0 的并联。,注意 I0 的方向,6-7,由L与C的对偶性,可得电感的储能:,1. 电容与电感的对偶性, i 2(t) 将iL称为电路的状态变量,2. 状态变量的概念,电感电流的连续性和记忆性质是电感储能的体现。,在电路及系统理论中,状态变量是指一组最少的 变量若已知它们在 t0 时刻的数值(即初始状态),连 同电路在 t t0 时的输入,即可确定t t0 时电路的任 意变量的数值(即电路响应)。,电路的状态变量 uC (t) 、iL (t) 。,6-7,6-8 电容、电感的串、并联,将 n 个电容串联或并联,可等效成一个电容:,C串联,L串联 L = L1 + L2 + + Ln,C并联 C = C1 + C2 + + Cn,L并联,将 n 个电感串联或并联,可等效成一个电感:,类似于电阻串联,类似于电阻串联,类似于电阻并联,类似于电阻并联,6-8,第六章 小结,第六章 习题,要求:做每一题时:1. 画电路图;2. 写清分析过程。,6-2,6-5,6-11,6-13,第六章内容 到此结束,再见!,