1、17代数几何系列选课指南概述：代数几何系列面向全校博士、硕士研究生共开设 5 门数学课， 矩阵理论， 矩阵分析， 应用近世代数， 图与网络和拓扑学概论。在微积分诞生之前，代数和几何就代表了整个数学。即便与分析数学有关的各分支几乎占了数学的半壁河山的今天，代数和几何自身的发展仍是十分强劲，从内容到方法，都有了彻底的变化，其深刻的思想影响着其它数学分支，促进了整个数学的发展；并且加快了向其它分支的渗透和组合，形成了许多新的交叉领域。代数学是研究代数运算的数学分支。最简单的代数运算是算术运算，对象是正整数和正有理数，这是小学生的学习内容。延续到 17-18 世纪，代数学演变为在代数符号上进行运算，出
2、现了代数方程，今天中学生的代数就是解简单代数方程。18-19 世纪时，多项式和代数方程成为代数学的主旋律。由一个变量的高次代数方程的研究伴随着多个未知数的代数方程，特别是线性方程组的研究导致了矩阵和行列式概念的引入，发展至现代，线性代数和矩阵代数已经成为研究有限维线性系统的强有力的武器。 一般称初等代数，高等代数和线性代数（还含矩阵代数）为经典代数。19 世纪中叶后，代数学发生了一次重大转变，它最终从方程论转向研究代数运算。代数学与代数运算的近代观点在 D.Hilbert 等人的影响下，于 20 世纪初得到明确，1930 年，Waerder 的近世代数 的问世确定了近代代数学的主要内容：集合(
3、 或代数结构)和作为代数运算的载体的集合上的代数运算。现在得到充分研究并得到广泛应用的代数集合有群、环和域，以及格，模等。在这以后，代数学除了自身的深入发展外，它对其它学科领域迅速渗透，以代数为特色的边缘性学科和应用学科不断出现，例如，数论上有代数数论，代数几何，代数函数论等，代数拓扑上有同调代数等以及张量代数，李代数等，尤其是群和线性空间的概念的普及和渗透之广泛性，更是极大地为抽象的数学走向实际应用铺平了道路。代数学不论在过去还是现在，其作用极端重要，当代数学的进一步“代数化”是一种趋势。研究许多数学对象的一个典型方法是构造适宜于表达这些对象行为的代数系统，把问题翻译成代数语言，然后用代数语
4、言解决它们，再将代数语言翻译过去。 藉助于代数化，可使用形式的代数计算这个有力工具去解决问题，所以有时可克服高度困难的问题。大家18在中学和大学的学习中，肯定已体会到代数的重要作用。代数学在数学中的作用可与近代计算机在解决实际问题中的作用相比拟。在数学内部，代数的概念和方法广泛应用于数论，泛函分析，微分几何，射影几何，张量代数等等。大家都知道，几何研究空间形式，值得一提的是，几何学属于最早提出公理化并实现公理体系的一个数学分支。欧几里德在 2000 多年前就以著名的 5 条几何公理严密地推演证明了欧氏几何，令人叹为观之。今天中学初等几何的定理几乎和那时的差不多，只是叙述形式现代化而已。这样的情
5、况在数学其它分支极为少见，因为几乎所有同一名字的数学书，100 年的时间间隔足以使它们面目全非。欧氏几何的公理化道路为 20 世纪数学的公理化树立了精彩的榜样。几何学的一个飞跃，发生在 16 世纪解析几何诞生之时。一方面解析几何把当时的代数方法引入几何图形的研究，改变了传统几何的演绎方式；其二则是坐标系的发明，使得运动的研究成为可能，为变量数学（即高等数学）的启动打响了关键的第一枪。之后， （经典）微分几何，射影几何相继问世，非欧几何的出现更成为一个与根深典故的几何直观观念“离经背道”的典型而震惊数学界，大大地激发了新“数学思维”的不断涌现，成为推动数学前进的原动力。非欧几何在它问世几十年后，
6、20 世纪初终于被爱因斯坦的广义相对论所证实。正是非欧几何之一黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当地数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观察、实验，证实了宇宙流形的非欧几里德性，对宇宙来说，或在物质的高速运动下，时空会发生改变，不再像我们平时生活中感觉到是“平直性”的，而是属于非欧的，比如“弯空间” 。19 世纪中叶后，产生了各种新几何，加上与非欧几何平行发展的高维几何等以及较晚出现的拓扑学等，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一地观点解释之，成为数学家们追求的目标。德国 Klein 提出的爱尔朗根纲领和以后 Hilbert 提出的意义深远的公理化方法，是统一几何学的两条途径，特
7、别是后者，20 世纪中已经远远地超出几何的范围而成为现代数学甚至某些物理学中普遍应用的科学方法。 现代的几何学由研究图形转变为对空间的研究，流形（manifold）成为一种广泛的几何研究对象，当其赋于不同结构，即可产生不同理论。欧氏空间是平凡（特殊情况）流形。流形有拓扑流形和微分流形。几何对数学发展的贡献已不仅仅在几何本身，它的思想和方法论对整个数学的影响和启发是极其深刻的，例如，泛函分析中重要的概念“空间”就源于几何学。19在本系列中，我们努力开设一些代表性的课程，试图在目前研究生的实际数学基础能够衔接的层次上，用尽可能少的学时来普及代数学和几何学中较近代而且是有用的思想和方法，使研究生能够
8、在较高的起点上，领悟并会应用这些极为有价值的数学工具，也希望为研究生的进一步深入地自主学习，掌握更多更新的代数和几何知识打下一定的基础，最终把这些思想和方法用到各个学科的研究中去，使交大的科研水平能有实质性的上升。 其中，矩阵理论和矩阵分析介绍经典代数中矩阵代数数学理论的现代发展的内容；前者介绍基础部分，后者是进一步扩展和提高的四个专题。应用近世代数从应用的角度，介绍现代代数学的最核心和最基本的内容：群、环和域三个代数结构的性质及其运算。拓扑学概论 以介绍直观拓扑学和点集拓扑学为主，简单介绍代数拓扑中的同调理论，以展示连续变换（或无限小变换）下几何不变量的性质。图与网络 以现代图论为核心内容，
9、展示与传统几何风格完全不同的处理思想和方法。当然，这些课程还不能全面地反映代数和几何的现代面貌，以后还根据各学科需要逐步扩大介绍面。1课程矩阵理论 54 学时/3 学分 第一学期开设本课程是面向研究生开设的数学基础课程，介绍经典代数中矩阵代数的数学理论的现代发展及在其他学科的一些常见的应用。随着 20 世纪计算机的广泛使用和大量领域对矩阵应用要求的不断深化，在经典矩阵代数的基础上发展演化而来的矩阵理论，融合了许多现代数学的思想和方法，使得矩阵理论成为当今许多领域的基本描述、计算和解释有限维空间形式与数量关系的强有力的武器，矩阵的许多深刻的性质，常构成设计很多现代计算方法的源泉。因此，矩阵理论既
10、是学习经典数学的基础，又是一门具有巨大实用价值的数学理论之一。试设想一下，要写出有一万个变量的线性方程组，还要研究它们系数之间的定量关系，如果你不用矩阵这个工具，你就得要化上正反面都用上的 300 页纸和连喝茶的工夫都没有20的 3 天时间，一点不拉地写出方程组（中间如果写错，那得重来） ，但是进一步的工作你可能难办了，因为几百万个数据把你弄得根本搞不请哪些数据之间有何种关系，至于求解，那更是何从谈起，不信？请试试！ 注意，上万个变量的问题在科学研究中是不稀奇的！ 而矩阵理论作为现代数学和其它应用学科的描述、分析工具，往往不仅能使所描述的问题具有极简洁的形式，而且有助于从中分析和处理多元变量和
11、数据之间的相互作用和依赖关系，揭示和解释有限维空间形式与数量关系的规律，从而使所研究的问题得以深入。有人说， “矩阵理论是高等数学中的算术。 ” 此话有理。显然，日常社会生活中人人需要掌握算术运算，而对于从事科学研究的人，不懂矩阵的基本理论和方法，就不会读文献，不会建立合适简洁的模型，不会计算，不会分析，在科研中寸步难行。这样说一点不过头。矩阵理论在几乎所有的科学、技术、管理领域都有非常广泛的应用。许多学科的主干理论或推导过程，是借助于矩阵理论完成的，如果抽掉了这个工具，那么这些学科的理论结果将会由于变量过多、关系复杂混乱而模糊不明，推导过程变得杂乱无序，因此这些学科很可能变得难以理解而使现有
12、的理论框架体系失去意义。对于许多领域的研究人员来说，接受现有的理论需要矩阵理论，而创造新的知识和新的理论更需要矩阵理论的支撑。 因此，理解和掌握矩阵的变换、分析、分解与计算的基本理论和方法，以及有关特殊类矩阵的特性，对于各学科的研究生来说是必不可少的基本素养之一。矩阵理论具有丰富的内容。本课程主要讨论矩阵的变换、分析、分解与计算的基本理论和方法，以及有关特殊类矩阵的特性。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本内容和基本思想，掌握有关的计算方法及技巧，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析、信息信号分析，图象技术与人工智能、通信与控制、系统分析与
13、工程等领域的许多常见应用。矩阵理论的详细内容请参见矩阵理论教学大纲。建议那些在本科阶段代数或线性代数基础不强、需要有较多代数基本训练的同学选择本课程。对于已学过高等代数或较多的线性代数，有能力自行学懂本课程的教材的同学，可以直接选择矩阵分析或其它课程。预修课程：线性代数与高等数学线性代数包括：行列式，矩阵与线性方程组，线性空间 Fn，欧氏空间 Rn，特征值21与矩阵的对角化。高等数学包括：一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程。2课程矩阵分析 36 学时/2 学分 第 2 学期开设本课程是矩阵理论课程的延续和提高，内容上属于专题讨论，具体包括四部分：Kronecker 积与线性矩阵方程
14、，特征值的估计与扰动，非负矩阵与 M-矩阵以及它们的应用。其特点是强调应用。本课程面向博士研究生和部分硕士研究生。本课程旨为较好掌握了矩阵理论基本内容的同学提供一些专题研究内容，以帮助他们在各自的专门研究领域中应用较为高级的矩阵技巧与方法。这些专题属于很多学科或研究方向的较深刻的部分和内容。线性矩阵方程在许多领域出现，这是一类具有独特风味的方程，需要较多的线性代数和矩阵理论的基础和求解多种技巧，应用 Kronecker 积是其中一种。 特征值大小的估计和定位，不仅是矩阵理论本身的需要，更是其他领域解决有关问题的瓶颈，例如，迭代算法的收敛速度的判定从根本上说取决于算子的谱半径的大小，这个问题可转
15、化为算子绝对值最大特征值的定位，这就需要作特征值的估计；特征值的扰动又是实际问题绕不过去的难题，因为实际问题总存在误差的干扰。至于非负矩阵与 M-矩阵，属于矩阵理论中较深刻的部分，也是许多应用的理论基础。掌握这些内容并且能够灵活地应用这些理论作为分析和解决问题的犀利工具，对于高水平的研究人员是必须的，学习本课程的基础是扎实掌握矩阵理论的基本概念和方法，包括：线性空间与线性变换；内积空间、等距变换；特征值与特征向量、圆盘定理；矩阵与 Jordan 标准形；向量和矩阵的范数、矩阵序列与级数、矩阵函数、 矩阵分解（满秩分解、QR 分解、奇异值分解、谱分解） 、广义逆矩阵（投影矩阵、Moore-Pen
16、rose 广义逆 A+、广义逆 A-及广义逆矩阵在线性方程组中的应用） 。3课程应用近世代数 54 学时/3 学分 第 2 学期开设22本课程是面向博士研究生和需要较多的近代数学的硕士研究生的一门重要的数学基础课程。近世代数从内容到方法都不同于经典代数，它的研究对象不是代数结构中的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系（同态） 。已经得到充分研究也是得到广泛应用的代数集合有群、环和域，以及格，模等。本课程围绕三个最基本也是最重要的代数结构：群、环和域来展开讨论。可能有同学会问：为什么研究这些抽象而难懂的概念呀？任何数学概念和数学分支不是凭空产生的。问题，只有深刻的数学问题，
17、才是引发新数学思想和产生新数学分支的常青树！ 近世代数也如此。 实际上 2000 多年前欧氏几何时代古代数学家就提出了有趣的几何作图问题：用圆规和无刻度的直尺能够作出哪些图形？从而形成了四个长期困扰人们的几何作图问题：（1）二倍立方体问题；（2）三等分任意角问题；（3）圆化方问题；（4） n 等分圆周问题。在代数领域也存在所谓的代数方程根式解的问题，既是否任何次代数方程的根均可用根式表示？人们对这些问题一开始总是怀着有肯定解答的美好愿望，但是无数次的失败促使几位伟大的先知数学家（如阿贝尔，伽罗瓦等）深入思考，点燃了近世代数诞生的火种。为了更直观地理解，举些例子。例 1 项链问题。用 n 种颜色
18、的小珠做成有 m 颗小珠的项链，问有多少种不同类型的项链？粗看不难，其实不然，难在“不同类型” 。当 n，m 小时，可用枚举法，但当 n，m 大时，只能用群论的方法，尚未发现其它更简单有效的方法。这个例子是很多实际问题的模型，我们不是要你真的去做项链。请看下例。例 2 分子结构计数问题。 由某几种化学元素可以合成多少种不同的物质？此问题可引导在大自然里寻找或人工合成这些物质。 例如，在一个苯环上结合 H 原子或 CH3 原子团，可形成多少种不同化合物？假定苯环上相邻原子之间的键都相互等价，则此问题就是上面两种颜色 6 颗小珠的项链问题。看！问题的价值大不大？例 3 开关线路的构造与计数问题。所
19、谓开关指具有两种不同状态的电子元件。由若干开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。问题是：用 n 个开关可构造多少种不同的开关线路？用初等数学可以计算出全部开关线路的数目为 ；但是其中有很多开关线路的结构完全相同，即大量线路是重复的（与项链2问题一样） 。要解决本问题，必须用群论方法。23例 4数字通信的编码问题。用近世代数方法可得到更高效的检错码和纠错码。好了，大家看到，近世代数可以彻底解决的问题包罗万象，几乎每个领域都有一大堆问题在那里，你可能没有认真去解过，或者你不认为是什么大问题，甚至你从来意识到那些问题的存在。近世代数是研究代数系统的一门学科。 所
20、谓代数系统是指带有一个或多个二元运算的集合, 这些二元运算必须满足某些特定的性质。这里的集合未必是十进制数的集合，它可以是多项式的集合、矩阵的集合，变换的集合，可以是科学和工程技术中遇到的各种各样的集合，也可以是经济社会中遇到的集合。因此这里的二元运算未必是通常数的运算：它可以是具有不同背景和意义、但满足某些特定性质的二元运算。这样的代数系统是很多很多的。而在本课程中研究的主要是群、环、域。这是因为它们是最基本的、应用最广泛的代数系统：群可以描述现实世界中的对称性，也可以作用在集合上用来研究几何和工程技术中诸如计数等问题，同时也可以设计通讯中的群码；环可以描述变换的整体性质，也可以在诸如秘密共
21、享等问题中有重要应用；而有限域是编码和密码的基本数学工具。主要研究群、环、域也因为其中所使用的概念、思想和方法对于研究一般的代数系统有着基本的指导意义。藉助于代数化，可使用形式的代数计算这个有力工具去解决问题，有时可克服高度困难的问题。 近世代数解决问题的威力就是这样。本课程的基本特点是抽象。这种抽象源于具体的例子，又以更高、更一般的思想和结果应用于具有不同背景和意义的具体对象上。除了上述理论和实践上的意义，本课程的学习也是对抽象思维能力的绝好训练。前面我们介绍过交大材料学院的徐祖耀院士的成就，徐教授用群论方法和孤立子理论研究材料的结构，他选择了合适的数学工具，深刻地使自己的研究上升了一个台阶
22、，其中用群论方法研究材料金相结构，是极有分量的成果，使我们对金相结构的认识前进了一大步。学习本课程的预修基础：微积分、解析几何、线性代数 （有初等数论的预备知识更好；如无，也可在本课程的学习中，注意补充若干常用的知识）本课程主要面向全校的信息、计算机、物理、化学，材料、生命生物等类的学科专业；其它专业也欢迎选修。本课程面向博士研究生和硕士研究生。244课程图与网络 36 学时/2 学分 第 2 学期开课本课程研究主要图的数学理论及其应用。 图论的研究对象是一类特殊的几何图形，它研究的图不是欧几里德几何中的图，而是客观世界里某些具体事或物之间联系的一种数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各事物之间
23、的联系，这样由顶点与连接这些顶点的边的全体就是图论中的图，显然，图的顶点的位置、边的长度以及边是否曲直等几何特点并不重要，起关键作用的是哪些顶点之间存在边！ 所以，图论研究离散二元关系中数学结构的自然几何模型。从另一方面讲，图论研究的又是图的组合关系及结构性质实现的数学分支。这样，图论是几何和组合代数的有机结合。因为所有领域中都存在着“对象-关系”的事理结构，故图论模型几乎适合所有学科。图论最引人入胜之处就在于它蕴涵着大量强有力的思想、漂亮的图形、巧妙的论证和简洁的表述方式。 现实世界里处处潜藏着图论问题，图论最贴近实际也容易入门。图论中大量用到组合数学的原理和方法，同时，图论的一些结果也可以
24、推广到组合数学中去。可以说，图论与组合数学密不可分。我们用图的各种特殊的几何性质（如连通性，连通度，路径长度等）的研究来代替复杂的事物之间的关系。图论已经形成了自己丰富的词汇语言，用它们可以表示结构复杂而又不容易理清的关系。图论的思想和方法越来越被许多学科诸如计算机科学，电路分析与设计，线路网络分析，化学和化工，系统工程，通信系统，运筹学等甚至人文科学所接受， 并取得了丰硕的成果。由于计算机的迅速发展，有力的支持了图论，使图论成为数学中发展最快的学科之一。本课程的学习也是对抽象思维能力很好的训练。本课程的学习起点设定在工科本科的高等数学和线性代数。本课程面向所有博士，硕士研究生开设。5课程拓扑
25、学概论 36 学时/2 学分 第 2 学期开设本课程是面向博士研究生和硕士研究生开设的数学基础课程，介绍拓扑学基础及应用。拓扑学是继欧氏几何、解析几何、微分几何、射影几何等之后的一种较新的几何学。作为几何学，它仍然属于研究图形的科学；它之所以新，是它研究的角度不一样。拓扑学25研究几何图形的连续性质，即在连续变形下图形的几何不变量的整体性质（允许拉伸、扭曲，但不能割断和粘合） ，这种连续变形又称为“无穷小变形” 。 所以有人戏称拓扑学为“橡皮几何学” 。 你想象一下吧：在一块橡皮上画个正方形，然后把橡皮又拉又扭，只要不拉断，也不把它的两端粘起来，那么上面画的那个正方形肯定变得不是原来的正方形了
26、。拓扑学就是要研究这两个看起来不一样的几何图形之间的不变的性质！ 正因为讨论几何对象在无粘连的连续变形下保持不变的性质，这就需要改变以前长期养成的思维定势，例如，抛弃距离概念用开集来建立连续等，这些数学思想对于掌握现代数学的许多概念和思维方法，很有启发意义。拓扑学思想的萌芽可以追溯到欧拉的七桥问题，地图的四色问题，曾经有人称它们为“位置几何” ，或者称直观拓扑学。不过，我们讨论的拓扑学本质上属于 20 世纪的抽象数学，它的开创者是（法）庞加莱，他在 1900 年前后发表的几篇论文，开创了现代拓扑学，用代数组合方法来研究。这样的拓扑叫组合拓扑学。庞加莱定义了流形，同胚，同调，引进来了一系列拓扑不
27、变量。后来，诺特意识到群论在拓扑研究中的重要意义，于是同调群、同伦群等得到了研究，代数拓扑学形成了。在采取组合和代数观点的同时，数学家们意识到点集论也是关于连续研究中的一个基本途径，从而建立了所谓“点集拓扑学”或者“一般拓扑学” 。在这个方向上，德国数学家 F.Hausdorff 以 “邻域”出发，引进连续、同胚、连通、维数等，对拓扑空间的性质（紧致性，可分性，连通性等）进行研究。一般拓扑学已经成熟，成为二次大战后数学的基础学科。本课程主要讲授一般拓扑学中比较容易掌握和比较有应用价值的基础概念和基本方法及拓扑的应用，再介绍代数拓扑的基本概念。通过本课程的学习，要求学生理解拓扑空间的基本概念；掌
28、握几类常见的特殊的拓扑空间及拓扑不变性，如紧性，连通性，分离性等；了解积空间和商空间的构成方法；掌握一些重要定理，如 Urysohn 引理，Tychonoff 定理的内容和证明技巧；理解和掌握同伦和同调理论、基本群的概念和基本性质；作为同伦和同调论的应用，掌握同伦算法及Brouwer 不动点定理，掌握认识用代数工具研究拓扑空间的重要性。通过本课程的学习，培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。预修课程： 高等数学;线性代数基础（工科）;集合论。希望提升自己数学素养，愿意感受和了解现代数学的精彩思想和内容的同学，选择本课程。26本课程面向所有博士，硕士研究生开设。本指南根据数学系姜翠波，张跃辉 ，章璞，沈灏，张晓东，辛玉梅等老师提供的材料，由周国标老师整理成文。2004710
