1、灰色系统与时间序列在高速铁路沉降变形预测中的应用【摘 要】本文对GM(1,1)模型、时间序列模型的基本原理进行了介绍，给出了模型预测精度评定的方法和等级指标，并基于MATLAB 实现模型对高速铁路沉降数据的预测，对模型的预测效果进行了分析。【关键词】高铁沉降；灰色系统；时间序列；模型预测1 引言随着人类社会的进步和国民经济的发展，工程建设的进程越来越快，从而对现代工程建筑物的规模、造型、难度提出了更高要求。 高速铁路作为国民经济的大动脉是一个典型的庞大复杂而精细的系统工程，要求各个环节精准施工。在高速铁路建设中，高速铁路带来的高要求使得变形监测工作的意义更加重要。通过定期对建筑物进行沉降观测，
2、掌握其变形规律，并合理预测变形大小，以便及时采取适当的预防或善后措施，确保建筑物的安全使用。建筑物变形预测的方法较多，常用的有回归分析、时间序列、灰色预测、人工神经网络、小波变换等方法。本文根据某高铁沉降实测资料，应用灰色预测法进行沉降变形的预测和检验，充分证实了在建筑物沉降变形分析中应用灰色预测法以及时间序列预测的可行性，并通过对比分析表明灰色系统具有较高的预测精度。2 灰色系统模型 GM(1,1)的建立灰色系统就是指既含有已知的又含有未知的或非确知的信息系统 2。灰色系统理论通过对较少或不确定的表示系统行为特征的信息作生成变换来建立灰色模型(Grey Model)，所建模型是常系数性质的，
3、其参数分布是“灰”的，因此能保持原系统的特征，可较好地反映系统的实际情况，建模精度较高。以此来正确把握系统运行行为和演化规律。GM(1,1)模型只需一个历史数据数列且适用于变形预测分析的模型。GM(1,1)预测模型的建立过程如下 3-6:令 为某一监测点各期的等间隔非负原始数据序列：)0(x（1）)(),.2,100()()( nx式中 n 为序列长度，k=1,2,n。对原始序列进行一次累加生成，得到光滑的生成数列（记 ）： （2） )0()1(AGOx )(,.2),1(1)1( nx对（2）时间求导建立 GM(1,1)一阶线性灰微分方程，即 GM(1,1)预测模型的白化方程：（3）bkad
4、t)1(）1（式中 a，b 为待定常数。a 用来控制系统发展态势的大小，称为发展系数；b 用来反映数据的变化关系，称为灰色作用量。由文献2对方程（3）求一重积分，得到 GM(1,1)白化方程的时间响应式： （4） abexkxk)1()()01通过累减生成 GM(1,1)预测模型：（5）akex)1()0模型精度检验本文采用后验差检验法 9评判模型的精度。后验差是对残差分布的统计特性进行精度检验，考察残差较小的点出现的概率，以及与残差方差有关的指标的大小，该检验法由后验差比值 和小误差概率 来共同描述。CP设实测数据方差为 ，残差数据方差为 ，则计算式分别为 10：21s2s(6)2101nk
5、x(7)qs2式中 ， ， 。kxkq0xnk10nk1后验差比值为： (8)12sC小误差概率为： (9)16745.sqP按照 和 两个指标，可以综合评判模型精度，各精度等级如表 2.1 所示。表 2.1 后验差检验法精度等级表模型精度等级 后验差比值 C小误差概率 P一级（好） C0.35 0.95P二级（合格） 0.35C0.50 0.80P0.95三级（勉强合格） 0.50C0.65 0.70P0.80四级（不合格） 0.65C P0.703 时间序列模型的建立时间序列预测方法是一种历史资料延伸预测，它将通过对各类型的动态数据建立相应的数学模型，并对模型进行研究分析，以了解这些数据的
6、内在结构和特性。二次指数平滑法建立在一次指数平滑基础上根据观察期各个时间序列数据的重要程度，分别对各个数据进行加权，以加权平均数作为下期的预测值。具有计算简单、样本要求量少、适应性较强、结果较稳定。(1) 指数平滑预测预测设时间序列为 ，一次指数平滑数列的递推公式为：Nx,321(10)1,0)(10xStaSattt式中， 表示第 时点的一次指数平滑值， 称为平滑系数。1tSt a二次指数平滑法公式为令初始值 （也可取其他值作为初始值） ，则有：102x（3-2112)(ttt SaSx9）由于二次指数平滑的目的，二次指数平滑法较适用于具有线性趋势的时间序列，线性趋势预测模型为：（3-10）
7、TbaytTt上式中， 表示自 时点起向前预测的时点数； ， 满足：tatb， （3-11）2121)(tttttt SS)(21t Sb二次指数平滑的目的是对原时间序列进行两次修匀，使得其不规则变动或周期变动尽量消除掉，让时间序列的长期趋势性更能显示出来。对于平滑系数，有一个合理选区的问题。先选取原则上较合理的多个 值分别计算，得到不同的数列 和 ，再根据均方差a1t2tS或 最小原则确定较为合理的 值，并得到相应的二次指数平滑值。MSEAD，而 （3-8）Nte1 ttttt yxS1公式（3-8）中的 反映了各个时点的平滑值 与实际值 之tx1 1ttx间的误差。根据公式（3-2） ，计
8、算误差数列 的自相关系数 ，若统计量tetr)()(21mrQt则说明误差数列具有随机性，可以认为此时的预测是有效的。利用二次指数平滑法预测具有线性趋势性的时间序列的基本步骤为：1 根据历史数据（时间序列） 按照公式（3-6）计算一次指数平滑值；x2根据公式（3-9）计算二次指数平滑值；3 由公式（3-11）计算 ，并由（3-10）计算自 时点起先前 时期的预测值tba, tT。Tty4 工程实例分析实例一以某高铁沉降观测点十期观测数据建立模型分析该沉降监测点的变形。分别利用GM(1,1)模型与时间序列模型对该沉降监测点进行建模分析，并将预测值与实测数据进行对比分析。将 GM(1,1)模型和时
9、间序列模型的运算值同实测数据进行对比并将两模型的残差对比，结果如图 1、图 2 所示。时序 实测值 GM(1,1)模型 时间序列模型 备注运算值 残差 运算值 残差1 312.0101 312.0101 0.0000 312.0101 000002 312.0107 312.0108 0.0800 312.0107 0.00003 312.0112 312.0112 -0.0100 312.0112 0.0200拟合值4 312.0117 312.0116 -0.1000 312.0117 -0.00205 312.0121 312.0120 -0.0900 312.0122 -0.10066
10、 312.0123 312.0124 0.1200 312.0125 -0.22017 312.0122 312.0128 0.6300 312.0125 -0.34308 312.0126 312.0132 0.6400 312.0122 0.43369 312.0132 312.0137 0.4500 312.0129 0.290110 312.0137 312.0141 0.3600 312.0137 -0.0463预测值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10312.01312.0105312.011312.0115312.012312.0125312.013312.0135312.0
11、14312.0145312.015列列列列列列/m列列列列列列列列列列列列图 1 两模型结果对比1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4-0.200.20.40.60.8列列列列列列/mm列列列列列列列列图 2 两模型残差曲线图由图 1、图 2 可知，该沉降监测点的沉降曲线呈线性递增且有一点小波动，两模型的预测曲线与实测曲线均较相似，但是在 4 期以后时间序列模型的预测曲线开始逐渐偏离实测曲线； GM(1,1)模型在本实例中有较好的拟合与预测精度，时间序列的残差在预测初期较为平稳，第 5 期以后较大波动，有增大趋势，而 GM(1,1)模型的残差一直波动。评判两种模型的精度，其结果如表
12、2。表 1 模型的精度对比表模型 模型精度等级 后验差比值 C小误差概率 PGM(1,1)模型 一级 0.2276 100%时间序列模型 0.2037 100%由表 1 可知，在短期预测中 GM(1,1)模型与时间序列模型的模型精度均达到了较好要求，预测可以进行。实例二以某高速铁路一段路基的沉降变形监测网为例。DK937+580 段路基观测时间为 8 个月，共 31 期沉降观测数据，现在对其中的前 21 期数据序列作为建模数据，分别用 GM(1,1)模型、时间序列模型建模预测后 10 期数据，并与原始数据作对比分析，两种模型均用MATLAB 编程建模实现数据预测。原始数据高程观测值 X0=72
13、.65442 72.65417 72.65213 72.65202 72.65142 72.65115 72.65202 72.65077 72.65005 72.65083 72.65065 72.65056 72.64857 72.64959 72.64786 72.64901 72.64901 72.64866 72.64780 72.64754 72.64738 72.64738 72.64751 72.64743 72.64745 72.64728 72.64628 72.64604 72.64578 72.64580 72.64571用 MATLAB 编程实现预测，如图 3、图 4
14、 所示。0 5 10 15 20 25 30 3572.64272.64472.64672.64872.6572.65272.65472.656列列列列列列/mm列列列列列列列列列列列列图 3 两模型结果对比5 10 15 20 25 30-4-3-2-1012x 10-3列列列列列列/mm列列列列列列列列图 4 两模型残差曲线图由图 3、图 4 可知，该沉降监测点的沉降曲线呈递减且有一点小波动，两模型的预测曲线与实测曲线均较相似。GM(1,1)模型预测曲线呈线性，时间序列模型预测曲线呈波形，与实测曲线有较好的拟合；特别在 20 期以后时间序列模型的预测曲线与实测曲线更加相似，GM(1,1)模
15、型的预测曲线与实测曲线稍有离散。时间序列的残差在预测初期以及末期较为平稳，中间较大波动，而 GM(1,1)模型的残差一直波动，且有增大的趋势。评判两种模型的精度，其结果如表 2。表 2 模型的精度对比表模型 模型精度等级 后验差比值 C小误差概率 PGM(1,1)模型 二级 0.3633 0.967742时间序列模型 一级 0.083076 100%由表 2 可知，通过后验差以及小误差概率的分析比较，在中期预测中 GM(1,1)模型与时间序列模型均达到了较高精度，可以进行预测，并且时间序列的模型精度比 GM(1,1)模型精度高。结束语本文通过对灰色系统以及时间序列二次指数平滑模型的理论介绍，以
16、及用实际工程实例建模分析，得到以下两个结论。1） GM(1,1)模型较适合沉降变形趋势呈线性或指数分布趋势的变形分析与预测，时间序列二次指数平滑模型对有微小波形或者线性变形的工程建筑有较高的拟合与预测精度。2） 对于短期预测 GM(1,1)模型有较好的预测精度，对于中期预测则表现出一定的发散；时间序列对于中期预测时间序列则表现出优势，有较好的拟合与预测精度。3） 对于时间序列二次指数呈周期震荡变形的工程建筑，以及预测模型初始值、平滑系数的确定问题需要更加深入的研究。参考资料1侯建国.王腾军.周秋生.变形监测理论与应用J.测绘出版社.2008.2邓聚龙.灰色系统基本方法M.武汉 :华中科技大学出版社.2005.3陈伟清.建筑物沉降数据分析的灰色预测方法J. 测绘技术装备,2005,7(4):9-12.4张正禄,黄全义 ,文鸿雁,等.工程的变形监测分析与预报M.北京:测绘出版社,2007:146-155.5 江世宏.matlab 语言与数学实验J.科学出版社.2007
