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2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题12-概率.doc

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1、- 1 -2011 年高考试题解析数学(理科)分项版12 概率一、选择题:1.(2011 年高考浙江卷理科 9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率(A) (B) (C) (D ) 152345解析:因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法,两位同学个参加一个小组共有种方法;所以,甲乙两位同学参加同一个小组的概率为93 319点评:本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。4. (2011 年高考广东卷理科 6)甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠

2、军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得 冠军的概率为( )A. B. C. D.1235234- 2 -【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况,第一局胜或第一局输第二局胜,所以甲队获得冠军的概率 所以选 D.4321P5(2011 年高考湖北卷理科 7)如图,用 K、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576答案:B解析:系统正常工作概率为 ,所以

3、选 B.120.98(10.)9.80.64C6(2011 年高考陕西卷理科 10)甲乙两人一起去“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 (A) (B) (C) (D)39536【答案】D【解析】:各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览有 种,且等116543C可能,最后一小时他们同在一个景点有 种,则最后一小时他们同在一个景11653C点的概率是 ,故选 D116543Cp7. (2011 年高考四川卷理科 12)在集合 ,245中任取一个偶数 a和一个奇数 b

4、构成以原点为起点的向量 a=(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n,其中面积不超过 4的平行四边形的个数为 m,则 mn( )(A) 415 (B) 13 ( C) 25 (D) 23答案:B- 3 -解析:基本事件: .其26(2,1)3,(5)4,1(),3351nC从 选 取 个 ,中面积为 2 的平行四边形的个数 ;其中面积为 4 的平行四边;2;(1)4,形的为 ; m=3+2=5 故 . (,3)5;(,)53mn8(201 1 年高考福建卷理科 4)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩

5、形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自ABE 内部的概率等于A B 4 13C D12 2【答案】C二、填空题:1.(2011 年高考浙江卷理科 15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率为 ,23p且三个公司是否让其面试是相互独立的。记 为该毕业生得到面试得公司个数。若,则随机变量 的数学期望 1(0)2PE【答案】 53【解析】: , 的取值为 0,1,2,321()(1)3p2,(0)2P 4()()3P,5()()132321P故 145E2. (2011 年高考江西卷理科 12)

6、小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,12 14则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家 看书的概率为 【答案】 136【解析】小波周末不在家 看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不- 4 -在家 看书的概率为 .14633. (2011 年高考湖南卷理科 15)如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则(1) ;(2

7、)P.ABP答案: ; 24ABP解析:(1)是几何概型: ;(2)是条件概率: .圆正S41APB评析:本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.4. (2011 年高考湖北卷理科 12)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已 过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 (结果用最简分数表示)答案: 845解析:因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶,故其概率为 .27308145CP5.(2011 年高考重庆卷理科 13)将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 解析: 。硬币投掷 6 次,有三类情况,正面次数比

8、反面次数多;反面次数比正面次132数多;正面次数而后反面次数一样多;,概率为 ,的概率显361526C然相同,故的概率为516236.(2011 年高考安徽卷江苏 5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是_【答案】 13【解析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,所有可能的取法有 6 种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共 2 种取法,所以其中一个数是- 5 -另一个的两倍的概率是 .21637(2011 年高考福建卷理科 13)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球

9、 2 个。若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的 概率等于_。【答案】 358(2011 年高考上海卷理科 9)马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表请小牛同学计算 的数学期望,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“ ? ”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 。E【答案】 29(2011 年高考上海卷理科 12)随机抽取 9 个同学中,至少有 2 个同学在同一月出生的概率是(默认每月天数相同,结果精确到 ) 。0.1【答案】 0.985三、解答题:1. (2011 年高考山东卷理科 18)(本小题满分 12 分)红队队员甲、乙、丙与

10、蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。()求红队至少两名队员获胜的概率;()用 表示红队队员获胜的总盘数,求 的分布列和数学期望 .E【解析】 ()红队至少两名队员获胜的概率为 0.65.2045=0.55.0.65.() 取的可能结果为 0,1,2,3,则=0.1;()P.40.5+ + =0.35;1640.40.?!? 321P(=x)x- 6 -=0.4;(2)P0.65.20.45.=0.15.3所以 的分布列为0 1 2 3P 0.1 0.35 0.

11、4 0.15数学期望 =00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.E2. (2011 年高考辽宁卷理科 19)(本小题满分 12 分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙.(I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望;(II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm 2)如下表:分别求品种甲

12、和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据 x1,x 2,x a的样本方差 ,其222211nsxxxn 中 为样本平均数.即 X 的分布列为X 0 1 2 3 4- 7 -P 1708351835835170X 的数学期望是:.24270E3.(2011 年高考安徽卷理科 20)(本小题满分 13 分)工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别

13、,,p假设 互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.,p()如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?()若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为 ,其中,q是 的一个排列,求所需派出人员数 目 的分布列和均值(数字期望),q,p X;EX()假定 ,试分析以怎样的 先后顺序派出人员,可使所需派出的人员p数目的均值(数字期望)达到最小。【命题意图】:本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列,均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理

14、,分类讨论思想,应用意识与创新意识。- 8 -【解析】:()无论怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是,所以任务能被完成的概率为 =()()pp()()ppp()当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 时,所需派出人员,q数 目 的分布列为XX12来源:Z,xx,k.Com3P q()q()q所需派出人员数 目 的均值(数字期望) 是XEX()()Eqqq,若交换前两人的顺序,则变为()EXqq- 9 -,由此可见,当 时,交换前两人的顺序可减少所需派()EXqqq出人员的数目的均值。(ii)也可将()中 改写为 ,EX ()EXq若交换后两人的顺序则变为 ,由此可见,保持第一个人不

15、变,当()q时,交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。q组合(i) (ii)可知,当 时 达到最小,即优先派完成任(,)(,)pEX务概率大的人,可减少所需派出人员的数目的均值,这一结论也合乎常理。【解题指导】:当问题的情境很复杂时,静下心来读懂题意是第一要务,在读懂题意的前提下抽象概括出数学模型。第三问需用合情推理与演绎推理相结合的办法解决,同时运用分类讨论思想,难度非常大。但这一问很好地体现了考试说明的要求“能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断。 ”“创新意识是理性思维的高层次表现,对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明” ,是发现问题和解决问题的重要途径,对数

16、学知识的迁移、组合、融会的程度越高,显示出的创新意识也就越强。 ”4. (2011 年高考全国新课标卷理科 19)(本小题满分 12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好 ,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了100 件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表指标值分组 94,098,102,106,10,频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 94,098,102,106,10,频数 4 12 42 32 8()分别估计用 A

17、配方,B 配方生产的产品的优质品率;()已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为- 10 -)102(94tty从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位 :元) ,求 X 的分布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)5. (2011 年高考天津卷理科 16)(本小题满分 13 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)()求在一次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率;(ii)获奖的概率;()求在两次 游戏中获奖次数 的分布列及数学期望 .X()EX【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.() (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 ,则(0,123)iA.2135()CPA

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