1、第八章 机械振动一.教学要求 一掌握简谐振动的基本特点。掌握简谐振动的特征量。能根据初始条件写出一维（弹簧振子）简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。二理解旋转矢量法，能运用旋转矢量法分析简谐振动的有关问题。三理解简谐振动中的能量转换规律。四理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律。掌握合振动振幅加强与减弱的条件。五理解阻尼振动、受迫振动的规律和共振的概念及应用。六了解频谱分析的应用。二.基本内容本章重点是掌握简谐运动特征并能根据给定的初始条件写出简谐的运动方程，难点是旋转矢量法的应用。一、简谐振动的特征方程二、简谐振动的特征量 由振动系统的物理特性决定，如弹簧振子， ；单摆， 。初相 和振幅
2、 由初始条件决定两个二谐振动的相位差 。对同频率 的二谐振动，其同时刻的相位差为 。三、 旋转矢量法如图，某时刻 ， 在 轴上的投影四、同方向、同频率二谐振动的合成二谐振动的合振动仍是谐振动由 时刻的旋转矢量图，可很方便地求得 式中 . 特别是五、阻尼振动六、受迫振动共振频率 当 时， 发生共振。三.问题讨论一 为什么说相位是决定作简谐振动物体运动状态的物理量，同一个简谐振动能否选不同时刻作为时间起点，它们的差别何在？讨论： 我们知道，描述物体的运动状态需要位矢和速度，在质点沿 轴作简谐振动中，这两个物理量的表达式为在 和 已知的前提下，只要知道某时刻的相位 ，就可以立刻求出其位置和速度，即立
3、刻知道此时刻的运动状态。可见，相位 是确定简谐运动状态的物理量，而在比较两个振动系统的不同状态时，用它们之间的相位差来表示就非常方便和一目了然。若选择不同的记时起点，如推迟 秒记时，即 ，则相位 为新的记时起点对应的初相位。由此可见，选取不同时刻作为时间起点，其差别仅初相位不同。二劲度系数为 的轻弹簧下端系一质量为 的滑块，上端系在天花板上。现用手托起滑块，使弹簧保持原长，然后突然放手。问滑块是否作谐振动? 有同学这样认为：取 轴竖直向下，以弹簧保持原长处为坐标原点，滑块 受力 ，因此，滑块的振动不是简谐振动。这种看法对吗？为什么？讨论:上述看法是错误的。实际上，只要将坐标原点向下平移 的距离
4、，即令 ，则 ，为回复力，可见滑块作简谐振动。滑块的运动方程为 新的坐标原点是在系统的平衡位置，即滑块受合力为零 处，而取弹簧原长处为坐标原点滑块的运动方程为 。滑块是否作简谐振动与原点的选取无关，但选取系统的平衡位置为坐标原点会使问题简单，方程简洁。四.典型例题例 1一质点沿 轴作简谐运动，振幅 ，周期 ，当 时，质点对平衡位置的位移 ，此时刻质点向 轴正向运动。求：（1）此简谐振动的表达式；（2） 时，质点的位置、速度、加速度；（3）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。解：（1）取平衡位置为坐标原点。设位移表达式为 式中 ， ，初相位可由初始条件求得，用旋转矢量法最为方便，如图 时，且
5、 ，所以 此简谐振动的振动方程为（2）速度 加速度当 时， ， ， 。 （3）设 时刻通过平衡位置 处，由旋转矢量图可直接得到从初始时刻开始到第一次通过平衡位置旋转矢量转过的角度所用时间为例 2已知两同方向同频率的简谐运动的方程分别为 求合振动方程.分析：这类问题直接用合振动的振幅和初相公式来求解总是可以求出来的。但对诸如本题这样的初相角为特殊角的情况，可以很准确地作图，用旋转矢量法求解一定会更方便。再有, 振幅和初相公式本来就是通过三角函数求和运算得到的，像本题这么简单的三角函数，直接求和也不会很复杂。 解法一：用旋转矢量法解如图，由 时刻的旋转矢量图可得，合振动的初相和振幅分别为 ，振动方
6、程为： 。解法二: 代振幅和初相角的公式 且 ，故 ，合振动方程为 解法三：直接用三角函数运算五.过关测试第一关 1判断下列诸情况，作简谐振动的是 A小球在地面上作完全弹性的上下跳动；B织布机梭子在光滑的水平经线上依靠两端冲力作用而往返运动；C气艇在湖面上作匀速圆周运动；D轻弹簧上端固定，下端挂着一定质量的物体，物体上下运动。答案：D 2简谐运动中， 的时刻是A质点开始运动的时刻；B开始计时的时刻；C离开平衡位置的时刻； D速度等于零的时刻。 答案：B3作简谐运动的某物体的位移时间图线如图所示，下面哪个图线是该简谐运动的加速度图线 答案：B4将一个弹簧振子中的物体分别拉离平衡位置 1cm 和
7、2cm 后，由静止释放（弹性形变在弹性限度内） ，则在两种情况下物体作简谐运动的A周期相同；B振幅相同；C最大速度相同；D最大加速度相同。 答案：A5如图所示，两个同频率、同振幅的简谐振动曲线 和 ，它们的相位关系是A 比 滞后； B 比 超前；C 比 超前；D 比 滞后。答案：A6简谐振动的 曲线如图所示，在 秒时刻，下列叙述中正确者为A此时速度最小； B此时加速度最大；C此时势能最小；D此时动能最小。 答案：C第二关1下列表述中正确的是：A物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐振动；B质点受到回复力（恒指向平衡位置的力）的作用，则该质点一定作简谐振动；C小朋友拍皮球，皮球的运动是简谐运动；
8、D若某物理量 随时间 的变化满足微分方程 ，则此物理量 以简谐振动的规律在变化（ 是由系统本身性质决定的常系数） 。答案： D(解：质点受到回复力作用不等于其所受的合力也是弹性回复力，回复力也不一定是线性的，故不一定作谐振动。)2研究弹簧振子振动时，得到四条曲线，如图所示。图中横坐标为位移 ，纵坐标为有关物理量。描述物体加速度与位移的关系曲线是 答案： B (解: ，所以描述物体加速度与位移的关系曲线是 B)3将弹簧振子中的物体从平衡位置拉开一定距离（在弹性限度内） ，然后放手，让其作简谐运动，从放手时开始计时，选拉开方向为 的方向，且以 来表示它的振动方程，则A ；B ；C ；D 。答案：
9、B4以频率 作谐振动的系统，其动能(或势能) 随时间变化的频率是A ；B ；C ；D 。答案： C解: 动能和势能为 的谐振动)5两个完全相同的弹簧下挂着两个质量不同的物体，若它们以相同的振幅作简谐振动，则它们的A周期相同； B频率相同；C振动总能量相同； D初相位必相同。答案： C(解: ， 不同， 不同； ，相同；初相位取决于各自的记时起点，即初始条件，所以初相位不一定相同。)6关于阻尼振动和受迫振动，下列说法正确的是A阻尼振动的振幅是随时间而衰减的；B阻尼振动的周期（近似看作周期运动）也随时间而减小；C受迫振动的周期由振动系统本身的性质决定；D受迫振动的振幅完全决定于策动力的大小 。答案
10、： A(解 : 随时间而衰减； 不随时间而减小；稳定的受迫振动 ，其周期取决于策动力的周期；受迫振动的振幅 除了与策动力的振幅有关外，还与固有频率和策动力的频率有关。第三关 1水平面上有一弹簧振子，当与弹簧连接的物体作无阻尼自由振动时，一块橡胶泥正好竖直落在该振动物体上，设此时刻：（a）振动物体正好通过平衡位置；（b）振动物体正好在最大位移处。则A（a）情况周期变、振幅变，（ b）情况周期变、振幅不变；B（a）情况周期变、振幅不变，（ b）情况周期变、振幅变；C 两种情况周期都变，振幅都不变；D 两种情况周期都不变，振幅都变。答案： A（解：，两种情况周期都变；（a）情况由动量守恒，在平衡位置
11、时速度，总能量减少，又，所以振幅变小。（b）情况在最大位移处速度为 0，振幅不变。）2一竖直悬挂的弹簧振子原来处于静止状态，用力将与弹簧连接的物体下拉 后由静止释放，使之作简谐运动，并测得振动周期为 ，设向下为 轴的正方向，从释放时开始记时，则其振动表达式为A ；B ；C ；D 。答案： D(解: ， ，又 ，)3有一个用余弦函数表示的简谐运动，若其位移 与时间 的关系曲线如图所示，则该简谐运动的初相位为 A；B；C；D。答案： B(解: 如图，4简谐运动的 曲线如图所示，则简谐运动周期为 A2.62s；B2.40s； C0.42s；D0.382s。答案： B(解: 由振动曲线可作旋转矢量图，
12、从 到 旋转矢量转过了 ，。)5 一水平放置的弹簧振子，一端的物体质量为 2kg，将其拉至离平衡位置 0.1m 处静止，需要 4N 的力。则该弹簧振子的周期为 A0.3s；B0.7s ；C1.4s ；D2.2s 。答案： C(解: 据题意， ，。)6 简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势能之比为A ；B ；C ；D 。答案： C(解: ， ，) 第四关 1有一个用余弦函数表示的简谐运动，若其速度 与时间 的关系曲线如图所示，则该简谐运动的初相位为 A；B；C；D。2图中表示两个简谐振子（a）和（b）在作简谐运动，已知质量 振幅 ，则简谐振子（a）和（b）的能量之比和周期之比分别为 A
13、；B ；C ；D 。3有两个沿 轴作简谐运动的质点，其频率、振幅相同，当第一个质点自平衡位置向负方向运动时，第二个质点在处（ 为振幅）也向负方向运动，则两者的相位差 为A；B；C；D。4研究弹簧振子振动时，得到四条曲线，如图所示。图中横坐标为位移 ，纵坐标为有关物理量。描述物体速率与位移的关系曲线是 5一弹簧振子的固有频率为 ，若将弹簧剪去一半，振子质量也减半，组成新的弹簧振子，则新的弹簧振子的固有频率等于 A ；B；C ；D 。6某简谐振动的振动方程为，物体在振动过程中速度从零变到速度为 的最短时间为 A ；B ；C ；D 。第五关 1如图所示，质量为 的物体固定在弹簧的下端，物体在平衡位置
14、附近作简谐运动，下列哪条曲线准确描述了总势能随 的变化 答案： A(解: 为开口向上的抛物线。)2一物体作简谐振动，振动方程为 ，在 （ 为周期）时刻，物体的加速度为A ； B ；C ； D 。答案： B(解: ， ， ，)3图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的振幅和初相分别为 A ， ；B ， ；C ， ；D ，0。答案： B(解: 由图可见，两振动反相， ，合振动振幅 ，合振动相位 )4劲度系数为 的轻弹簧和质量为 10g 的小球组成弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置 4cm，由静止释放任其振动；第二次将球拉离平衡位置 2cm 并给以 的初速度任其
15、振动。两次振动的能量之比为A11；B41；C21；D 。答案： C(解: )5一弹簧振子原处于水平静止状态，如图所示。一质量为 的子弹簧以水平速度 射入物体中并随之一起运动，此后弹簧的最大势能为A ；B；C；D 条件不足不能判断 。答案： B(解: 设物体由于碰撞而获得的速度为 ，由动量守恒 ， ，)6两分振动的方程分别为和 ,则它们的合振动的表达式为A ； B ；CD 。 答案： C (解: 由旋转矢量图可得 )习题指导815 有一个弹簧振子，振幅为 ，周期为 ，初相为 。(1)求振动方程；(2) 画出 , , 曲线。指导：将已知条件直接代入振动方程 中即可，式中 。， 画出 , , 曲线如
16、图。816 简谐振动方程为 求： (1) 振幅、角频率、频率、周期和初相；(2) 时的位移、速度和加速度。指导： 将已知方程与标准方程 比较可得 、 、 ，再由 、 求出频率和周期。由 ， 求出 时的位置、速度和加速度。817 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅为 ，周期为 ，当 时， (1) 物体在负方向的端点；(2) 物体在平衡位置,向正方向运动；(3) 物体在 ,向负方向运动； (4) 物体在 ,向正方向运动。 求以上各种初始条件下的振动方程。指导： 由 时旋转矢量的位置即可求得。818 一物体沿 轴作简谐运动，振幅为 ，周期为 ，当 时位移为 ，且向 轴正方向运动。求： (1) 时，物
17、体的位移、速度和加速度；(2) 物体从 处向 轴负方向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间?指导：（1）初相位由 时旋转矢量的位置定，求出振动方程后再由 ， 求出 时的位移、速度和加速度。（2）设 时刻物体位于 处，沿负向运动， 时刻物体位于平衡位置，二时刻的旋转矢量如图,在此期间相位改变为 819 作简谐振动的物体，由平衡位置向 轴正方向运动，求经过下列路径所需时间各为周期的几分之几？ (1) 由平衡位置到最大位移处； (2) 这段距离的前半段； (3) 这段距离的后半段。指导： 此题由旋转矢量解较方便，设物体在 时刻位于平衡位置， 在 时刻位于 处， 在 时刻位于 处。各时刻振动的旋转矢
18、量如图，由 即可求得经历各段路程所需的时间。820 两个物体各自作简谐振动，它们频率相同，振幅相同。第一个物体的振动方程为 ， 当第一个物体处于负方向端点时，第二个物体在 处，且向 轴正方向运动。求：(1)两物体振动的相位差；(2)第二个物体的振动方程。指导： (1) 由旋转矢量图可知，二物体振动的相位差为 (2) 由此，第二个物体的振动初相为 821 一简谐振动的运动学方程为 (1) 若计时起点提前 ，写出其运动学方程。(2) 若使初相为零，计时起点应提前或推迟多少？指导： 计时起点提前 ，则新的时间 与老的时间 的关系为 。（1）当 将上式代入原方程，即可得新的记时起点对应的振动方程。(2
19、) 设提前 的时间为 ， ， 为 当 时初相为 0，式中 为整数， ， ，为提前； ， ，为推迟。822 一物体放置在平板上，此板沿水平方向作简谐振动。已知频率为 ，物体与板的静摩擦系数为 。要使物体在板上不发生滑动，最大振幅是多少？指导： 要使物体在板上不发生滑动，则物体所受静摩擦力能带动物体运动，设平板和物体一起振动的方程为 ，而物体作简谐振动的加速度为 ， ，最大静摩擦力 ，由牛顿定律， ，所以有 ，解出振幅 。823 实验表明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过 ，乘客就不会有不舒适的感觉。若车辆竖直振动的频率为 ，求车辆振动的振幅最大允许值是多少？指导： 设车辆作简谐振动
20、，方程为 ，振动的加速度 ，由 解出最大允许振幅 的值。824 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为 用矢量图法求合振动方程。指导： 由方程作出 时刻两简谐振动旋转矢量如图。825 已知两简谐振动的运动学方程为 求：(1) 合振动的振幅和初相； (2) 如另有运动学方程为 的第三个简谐振动，则 为何值时，才能使 的合振动的振幅最大？ 为何值时，才能使 的合振动的振幅最小？826 某阻尼振动的起始振幅为 ，经过 后变为 。求: (1) 该阻尼振动的阻尼系数；(2) 经过多少时间后振幅变为 。指导： 阻尼振动的初始振幅为 ， 时 代入可求出阻尼系数 ；将 代入式 中，可求得 时的 。
