1、二、反函数的求导法则,定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且,简要证明,由于xf(y)可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)连续,当x0时 y0 所以,详细证明,下页,例6 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例5 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,首页,三、复合函数的求导法则,定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)
2、在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且其导数为,简要证明,则Du0 此时有,假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数,详细证明,下页,解,复合函数的求导法则:,例7,下页,解,复合函数的求导法则:,例9,解,例8,复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则,下页,例10,复合函数的求导法则:,例11,解,解,首页,四、基本求导法则与导数公式,基本初等函数的导数公式,(1) (C)0 (2) (xm)m xm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot
3、x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (a x)a x ln a (10) (e x)ex,下页,函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则,反函数求导法,四、基本求导法则与导数公式,(1) (u v)=u v (2) (Cu)=Cu (C是常数) (3) (uv)=uv+u v,下页,即 (sh x)ch x 类似地 有(ch x)sh x,例12 求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数.,解,例13 求双曲正切th x的导数.,解,下页,例14 求反双曲正弦arsh x的导数.,解,结束,例15 ysin nxsinn x (n为常数) 求y,n sinn1xsin(n+1)x,ncos nxsinn x+n sinn1xcos x,(sin x),nsinn1x,+sin nx,sinn x,ncos nx,+sin nx(sinn x),(sin nx)sinn x,解,y,
