1、用心 爱心 专心单元检测(八) 圆锥曲线方程(满分:150 分 时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于（ ）A.31 B. 3 C. 21 D. 23解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c,则由题意,得 2a=22ba=2b a2=4b2 a2=4(a2-c2) e= 3.答案:D2.椭圆 12byax(ab0)的焦点为 F1、F 2,两条准线与 x 轴的交点分别为 M、N.若|MN|2|F 1F2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A.(0, B.(0, 2C. 21
2、,1) D. ,1)解析:由题意,有|MN|2|F 1F2|ca2c a22c 2 c ,又 1ac, 2ac.故选 D.答案:D3.若双曲线 1632pyx的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为（ ）A.2 B.3 C.4 D. 24解析:双曲线的标准方程为 ,1632pyx故 16322pc,即 12c.由于抛物线的准线方程为 px,它与 x 轴的交点的横坐标为 2p,用心 爱心 专心而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,因此 ,2163pp0.解得 p=4,故选 C.答案:C4.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,A 是抛物线上的一点, FA与 x
3、 轴正向的夹角为 60,则 |A为（ ）A. p421 B. p21 C. p613 D. p361解析:依题意 F( ,0),直线 FA 的倾斜角即为 FA与 x 轴正向的夹角,所以其斜率 k=tan60= 3.故 FA 的方程为 )2(3pxy.由 )2(,2pxy,可解得直线与抛物线的交点 A 的坐标为 )3,6)(,23(舍 去pp,所以 |OA.21)3()p答案:B5.已知倾斜角 0 的直线 l 过椭圆 12byax(ab0)的右焦点交椭圆于 A、B 两点,P 为右准线上任意一点,则APB 为（ ）A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能解析:如图,设 M 为 AB 的中点,过点
4、 M 作 MM1垂直于准线于点 M1,分别过 A、B 作 AA1、BB 1垂直于准线于 A1、B 1两点.则 .2|2|2| 11 eABFe以 AB 为直径的圆与右准线相离.用心 爱心 专心APB 为锐角.答案:C6.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FCBA=0,则| FA等于（ ）A.9 B.6 C.4 D.3解析:由于抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),由 | CBF=0,可设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)、C(x 3,y3),得(x 1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,x1+x2+x3=3,又由抛物线定义知 |A=x1+
5、1, |FB=x2+1, |C=x3+1, | CFB=(x1+x2+x3)+3=6.答案:B7.(2009 河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为 2 的直线 l 过双曲线 12byax(a0,b0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A.e 5解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率 ab必大于 2,即 ab2,因此该双曲线的离心率.5)(122abace答案:D8.已知双曲线 2byx(a0,b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1,2 B.(1,2) C.2
6、,+) D.(2,+)解析:渐近线 xaby与过焦点 F 的直线 l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线 l 与双曲线的右支交于一个点.用心 爱心 专心 3ab,即 c2=a2+b24a 2.e2,故选 C.答案:C9.椭圆 121byax(a1b0)与双曲线 12byax,它们的离心率分别为 e1、e 2,以a1、a 2、b 为边长(其中 a1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）A.e1e2=1 B.e22-e12=1 C.e2=e1 D.e12+e22=2解析:由题意,知 a12=a22+b2,211b,又 ,22aee 12e22=1,即 e1e2=1.答案:A1
7、0.设 e1,e2分别为具有公共焦点 F1与 F2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 2PF=0,则 21)(e的值为（ ）A.1 B. C.2 D.不确定解析:设 |1=m, |2=n,设椭圆的长轴长为 2a1,双曲线的实轴长为 2a2,|F1F2|=2c,则 22144eamncna,222m由此可得 4a12-4c2=4c2-4a22,即 a12+a22=2c2.将 1ce, 2e代入 2)()(21221ace,选 C.答案:C11.如图,过抛物线 x2=4py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2+(y-p)2=p2于点 A、B、C、D,则 DAB的值是（ ）
8、用心 爱心 专心A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2解析: |AFB-p=yA, |DFC-p=yB,|CD=yAyB=p2.因为 、的方向相同,所以 |=yAyB=p2.故选 D.答案:D12.若点 P 在抛物线 y=3x2+4x+2 上,A(0,-3)、B(-1,-1),使ABP 的面积最小,则 P 点的坐标是（ ）A. )43,21( B. )3,( C.(-1,1) D.(0,2)解析:设点 P 到 AB 所在直线的距离为 d,则 SABP = ABd= d521,当 d 取到最小值时,S ABP 的面积即为最小.设 P(x,3x2+4x+2),直线 AB 的方程为 2x+y+
9、3=0.5|63|543| 2xxd|2)1(|x.当 x=-1 时,d min= 5,此时 y=1.所以点 P 的坐标为(-1,1)时,S ABP 的面积最小.答案:C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.椭圆 1259yx上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐标是_.解析:m=|PF 1|PF2| 25)|(1F为定值,等号成立时|PF 1|=|PF2|,P 为短轴端点(3,0).用心 爱心 专心答案:(3,0)14.已知圆 C:(x+1)2+y2=8,定点 A(1,0),M 为圆 C 上一动点,点 P 是线段 AM 的中
10、点,点 N 在 CM上,且满足 NPAM,则点 N 的轨迹方程为_.解析:由已知,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|= 2|AC|=2,因此动点 N 的轨迹是以点 A(1,0)、C(-1,0)为焦点、长轴长 2a= 2的椭圆,其中a= 2,c=1,b2=a2-c2=1,故动点 N 的轨迹方程是 12yx(y0).答案: 12yx(y0)15.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,AB 是过焦点 F 的弦,且 AB 的倾斜角为 30,则OAB 的面积为_.解析:由 y2=4x,得焦点坐标为 F(1,0),直线 AB 的方程为 )1(3xy.由 ,4)1(32xy得 0,由 ,43
11、121y得(y 1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4 3)2+42=64,|y 1-y2|=8.S AOB = |OF|y1-y2|= 18=4.答案:416.P 是双曲线 2byax(a0,b0)右支上一点,F 为其右焦点,M 是右准线 l:x= 2与 x 轴的交点,若PMF=60,PFM=45,则双曲线的方程为_.用心 爱心 专心解析:如图,作 PN 垂直于右准线于 N 点,有 edPF|,在PMN 中,d=|PM|sin30,|PF|=e|PM|sin30.在PMF 中,由正弦定理 ,60sin|45i|PM 30sin45i6e.又右准线 l:x= 2,即 ca,又 6ac
12、, ,60127,322b双曲线方程为 601yx.答案: 2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知椭圆 12byax(ab0)的中心在坐标原点 O,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点 F,且方向向量为 a=(1,1)的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,AB 的中点为 M.(1)求直线 OM 的斜率(用 a、b 表示);(2)设直线 AB 与 OM 的夹角为 ,当 tan=7 时,求椭圆的方程.解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),A、B 在椭圆上, ,221byaxbyx.两式相减,得 2121axx.用心 爱心 专心 2121,xy
13、kxykOMAB,k OM= 2ab.(2)直线 AB 与 OM 的夹角为 ,且 tan=7,由(1)知 kAB=1,kOM= 2, 71tan2b.又椭圆中心在坐标原点 O 处,一条准线的方程是 x=4, 42ca.在椭圆中,a 2=b2+c2.联立,解得 .3,42ba椭圆的方程为 14yx.18.(本小题满分 12 分)设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点.(1)过点 P(0,-4)作抛物线 G 的切线,求切线方程;(2)设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FBA=0,延长 AF、BF 分别交抛物线G 于点 C、D,求四边形 ABCD 面积的最小值.解:(1)设切点
14、)4,(20xQ,由 y= 2x知,抛物线 G 在 Q 点处的切线斜率为 20x,故所求切线方程为 )(2400xy,即 220xy.因为点 P(0,-4)在切线上,用心 爱心 专心所以 ,420xx02=16,x0=4.故切线斜率为 .所以所求切线方程为 y=2x-4.(2)设 A(x1,y1),C(x2,y2),由题设知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k0.因直线 AC 过焦点 F(0,1),所以直线 AC 的方程为 y=kx+1.点 A、C 的坐标满足方程组 ,412yx得 x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,知 .,21xk|AC|= 21)()(yx2124xk
15、=4(1+k2).因为 ACBD,所以 BD 的斜率为 k.从而 BD 的方程为 1xy.同理可求得|BD|=41+( k)2= 2)(4k.所以 S 四边形 ABCD= 1|AC|BD|2)(8k)1(232.当 k=1 时,等号成立.所以四边形 ABCD 面积的最小值为 32.19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 1:21byaxC的左、右两个焦点为 F1、F 2,离心率为 1,又抛物线 C2:y2=4mx(m0)与椭圆 C1有公共焦点 F2(1,0).用心 爱心 专心(1)求椭圆和抛物线的方程;(2)设直线 l 经过椭圆的左焦点 F1且与抛物线交于不同两点 P、Q,且满足 QF11,求实数 的取值范围.解:(1)在椭圆中,c=1, 2e,所以 3,2cab,故椭圆方程为 142yx.抛物线中, p,所以 p=2,故抛物线方程为 y2=4x.(2)设直线 l 的方程为 y=k(x+1)和抛物线方程联立,得 .4),1(2xyk消去 y,整理,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0.因为直线和抛物线有两个交点,所以 k0,(2k 2-4)2-4k40.解得-10 且 1.
