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类型线性代数论文.docx

  • 上传人:11xg27ws
  • 文档编号:6967089
  • 上传时间:2019-04-28
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    1、 线性代数论文一:行列式学习线性代数最先接触的是行列式,行列式出现于线性方程组的求解,解一组线性方程组最基本的方法是消元,而行列式只是方程求解的一种速记表达式。由多代数学家研究和完善,给出了 n 阶行列式的定义:n nnjj jjjjjnnn n aaaaaa 21 2121)(2122211)因此在这之前必须提出逆序数的概念:在一个 n 级排列 中,若数)(21nstii则称数 与 构成一个逆序。一个 n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数 , 记,stitis为 一个排列逆序数为偶数则为偶排列,否则为奇排列。).(21n有定义可以看出 n 阶行列式表示所有取自不同行、不同列的 n 个元素

    2、乘积的代数和, 各项的符号是 : 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的njja21列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号.由此则可推出行列式的几个性质:1:行列互换行列式的值不变,行列地位是对称的;2:用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘此行列式。因此相反的行列式的某一行有公因子可以提出来;3:如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式的和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应相同;4:对换行列式中两行的位置,行列式反号;5:如果行列式中有两行成比例饿,则行列式等于 0;6:把一行的某个倍数加到另一行,行列式的值不变;有上述六条性

    3、质可以很好的对一些高阶行列式进行化简,进而求值。简化行列式计算的另一条途径则是降阶,即把高阶行列式的计算化为低低阶行列式运算。在这方面则是发现了行列式的展开公式。首先为方便表达计算有如下定义:在 一 个 n 级 行 列 式 D 中 ,把 元 素 aij (i,j=1,2,.n)所 在 的 行 与 列 划 去 后 , 剩 下 的(n-1)2 个 元 素 按 照 原 来 的 次 序 组 成 的 一 个 n-1 阶 行 列 式 Mij,称 为 元 素 aij 的 余 子 式 ,Mij 带 上 符 号 (-1)(i+j)称 为 aij 的 代 数 余 子 式 ,记 作 Aij=(-1)(i+j)Mij

    4、之后则有行列式展开公式:行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式乘积之和,即 :最后则回到最原先的问题,用行列式表示方程的解:由克拉默法则知:D 不等于 0 时,那么方程(1) 有唯一解其中 Dj ( j = 1,2,n ) 是把系数行列式中第 j 列的元素用方程右端的自由项代替后所得到的 n 阶行列式,即证明:用 D 中第 j 列元素代数余子式 A1j , A2j , , Anj 依次乘方程组(1) 的 n 个方程,再把它们相加,得根据代数余子式的重要性质可知,上式中 xj 的系数等于 D,而其余 xi ( i j ) 的系数均为零; 又等右端即是 Dj ,于是 D xj =

    5、Dj , ( j = 1 , 2 , , n ). (3)当 D 0 时,方程组(3)有唯一的一个解 (2) 。由于方程组(10) 是由方程组(1) 经乘数与相加两种运算而得,故 (1) 的解一定是(10) 的解,今(3) 仅有一个解 (2) ,故(1) 如果有解的话,就只可能是解 (2) 。下面验证解(2) 是方程组(1) 的解。也就是要证明:为此考虑两行相同的 n + 1 阶行列式它的值等于 0 ,把它按第一行展开,由于第 1 行中 aij 的代数余子式为,1 1111 nkkj nnkkjnkkjkkjAb aaxa )2(,21DxxDn ).,21(,21 nibDaaDniii )

    6、,21(111 niababnnn niii .1,1,1 11,1,1 njnjnn njjj aaaa aaaa b b得证.行列式发展于方程组求解,但是行列式的运用却不仅仅在于方程组,行列式在数学分析、几何学、二次型理论等多方面都有着重要应用。随着对行列式的计算应用,发展出了矩阵理论。二:矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具,许多实际问题都可以化为矩阵模型来运算。简单地说矩阵就是指纵横排列的二维数据表格,方阵 A 的行列式称为矩阵的行列式。之后就有一系列矩阵运算定义:1 矩阵加法: 设 A,B,C 是三个同型矩阵,则A+(B+

    7、C)= (A+B)+C;A+B=B+A;A+0=0+A=A,其中 0 是与 A 同型的矩阵。2 矩阵的数乘:设 A,B 是个同型矩阵,k,l 是两个常数,则lA=A,0A=0;k(lA)=(kl)A;njnjnn njjj aaab 1,1,1 11,1,11)( ,)()(2 jjjj D ,01niii Daab所 以 有 ).,2,(,21 ibDDaniii 即k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;3 维数相容的两个矩阵可以相乘,具体要求是第一个矩阵的列数应等于第二个矩阵的行数。若 A 是 N*M 矩阵,B 是 M*L 矩阵,则 C=AB 是 N*L 矩阵,其第个元素是。

    8、矩阵乘法一般不满足交换率(即一般 ij1Mijikkjk=CA ABBA)4 矩阵的转置则是将矩阵的行列互换;逆矩阵的定义:设 A 是 n 阶方阵,若存在 n 阶方阵 B,使得 AB=BA=I,则称 A 可逆的,B 为 A 的逆矩阵;其中逆矩阵有着重要的应用,初等矩阵即是可逆矩阵,可逆矩阵也可拆成多个初等矩阵的乘积,因此在对矩阵进行初等变换、考虑矩阵的相似性、相抵型、相向型、二次型等等都需要用到可逆矩阵的性质。求可逆矩阵的最基础的方法则是待定系数法,解方程组求解;显然待定系数比较繁琐,容易出错;还有一种则是用伴随矩阵;对任意 n 阶矩阵 A ,称 为 A 的伴随矩阵,其中, 是 A 中元素 的

    9、代数余子式。= = I 因此 A 可逆的充要条件是 0,可逆矩阵为 =;伴随矩阵性质证明:设 A=(aij),记 AA*=(bij),则bij=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin= ,其中 i=j0,当 ij 时 bij=0;故 AA*= I,同理 A*A= I可逆矩阵的证明:必要性。若 A 可逆,则有 B,使得 AB=I,两边取行列式,可推出 0;充分性。若 0,则有 =由上述定义性质可推出矩阵的初等变换和分块矩阵的运算,分块矩阵的运算等同于矩阵运算。当数学研究领域扩展到 N 维向量空间、线性空间时,矩阵起着重要作用!一组向量组可以理解为一个矩阵,同时研究向量组的极大线性无关组时也可以转换成矩阵来求;因此先得引入矩阵秩的概念,矩阵的非零子式的最高阶数 r 称为矩阵的秩,记为 r(A)=r.零矩阵的秩规定为 0;通过计算可以得出矩阵秩的一些性质:1: maxr(A), r(B) r(A B) r(A) + r(B), 特别当 B = b 时, r(A) r(A b) r(A) + 1.23之后向量组的极大线性无关组则转化为对应矩阵的列秩,也等于矩阵的秩。而矩阵是相对熟悉的的东西,并且有一系列性质。而线性变换也等同于方阵,因此只要解决矩阵的问题,则线性空间、线性变换也可对应解决! 海涛,不想写了,写不下去了,符号太难打了,你再写写!! sorry!OC)

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