1、 太原理工大学线性代数练习册（一）第 1 页 一. 判断题（正确打，错误打）1. 阶行列式 的展开式中含有 的项数为 .( )nija1a1n正确答案： )!1(n解答：方法 1 因为含有 的项的一般形式是 ，1 njja21其中 是 级全排列的全体，所以共有 项.nj32 )!(方法 2 由行列式展开定理，nnnaa 212112 nAaA1211而 中不再含有 ，而 共有 项，所以含有 的Aa21 11)!(1a项数是 .)!(n注意：含有任何元素 的项数都是 .ija)!(n2. 若 阶行列式 中每行元素之和均为零，则 等于零.( )ij ija解答：将 中的 列都加到第一列，则nnna
2、a 212112 n、 3行 列式中有一列元素全为零，所以 等于零.ija太原理工大学线性代数练习册（一）第 2 页 3. .( )32414432110ababba解答：方法 1 按第一列展开.3241414132413241432)(0 abababababab方法 2 交换 2，4 列，再交换 2，4 行= .23414321443211 000 ababbba 3241ab方法 3 Laplace 展开定理：设在 行列式 中任意取定了nD个行，由这 行元素所组成的一切 阶子式与它们的)1(nkkk代数余子式的乘积之和等于行列式 。D所以按 2，3 行展开= .32443211)(0ab
3、ba 3241ab3241ab4. 若 阶行列式 满足 , ,则 .()nij ijijAn， ,0ij太原理工大学线性代数练习册（一）第 3 页 解答：由行列式展开定理nnnaa 212112nAA11.0221n5. 若 阶行列式 的展开式中每一项都不为零,则 .( )nija 0ija解答：反例如 .042二. 单项选择题1. 方程 的根为（B）.081423x（A） ； （B） ； （C） ； （D） .,22,12,102,1解答：（范德蒙行列式），0)2()1(2)1(281423 xxx所以根为 .2,太原理工大学线性代数练习册（一）第 4 页 2. 已知 ,那么 （D）.aa3
4、2311 321312a（A） ； （B） ； (C) ； （D） . a2解答： 。321312aa aa-2331213. 已知齐次线性方程组 仅有零解，则（A）.0zyx（A） 且 ；（B） 或 ；（C） ；（D） .01101解答：因为 仅有零解，03zyx所以 ，02-1-21-0）（ 所以 且 .4.下列行列式中不一定等于 的是（B）.n21（A） ； （B） ；nna 02211 nna 2210太原理工大学线性代数练习册（一）第 5 页 （C） ； （D） .nna 2110 0000121n n 解答： 注意= ；nna 22102)1(nn而 = = .000121n n
5、nn211)(n215. 阶行列式 展开式中项 的符号为(D). ijaD12,2,31, nnnaa（A）- ； （B）+； （C） ； （D） .)(2)1(n三. 填空题1. 已知方程组 有唯一解,且 ,那么 4 .czyxba1x1cba解答：系数行列式 ，41201D而 ,所以 ,411x41太原理工大学线性代数练习册（一）第 6 页 所以 .41111Dcbacbaa2. 已知 4 阶行列式中第 3 行的元素依次为-1，0，2，4，第 4 行的余子式依次为 10，5, ,2 则 9 .a解答：因为 ，所以 .1083. 若 为 阶范德蒙行列式, 是代数余子式，则 .VnijAnji
6、iA1,V解答： .VAnjiinjii 01,21121, 4. 120 .56789012430解答：方法 1 .1205678901243054321a太原理工大学线性代数练习册（一）第 7 页 方法 2 .1204501432-52014356789012430 5. 设 ，则 的展开式中 的系数为 -1 .xD123D3x解答： 的展开式中有一项是 .34321a或者按第一行展开： 1231231312123 xxxxxD ，由此可以看出 的系数为-1.3x四. 计算题1.已知 ，计算 .452103D43421AA解答：方法 1太原理工大学线性代数练习册（一）第 8 页 43421
7、A1032.10212013方法 2，所以 .43241A0132 1443241 AA方法 3 .72543421 2. 计算行列式61042216645003105165021215223. 计算行列式2340968解答：太原理工大学线性代数练习册（一）第 9 页 1280-5632831194283629041 .5746021-5612- 4. 计算行列式 11xx解答：（行和相等）1111 xxxx.004xxx5. 计算行列式 cba101解答：太原理工大学线性代数练习册（一）第 10 页 1010110101 cbacbacbacba6. 计算行列式 baann 32132解答：
8、（行和相等） baabbaab nnninn 32321321321 )（.)0) 11 nini bbbb（ 7. 计算行列式 .n 2322解答：当 时： ；当 时： 得到n122-ii行 ，行太原理工大学线性代数练习册（一）第 11 页 )!.2(-01200-23221 nn 五证明题1. 设 ，证明：存在 使得 .121()34xf(0,1)()0f证明：因为 ， ，所以 ，(0)123f()12f()1f而在 上连续，在 可导，所以由 Rolle 定理知存在 使得 .()fx,(,) (0,)()0f2.证明当 时，行列式 .1 0741716365524141证明：太原理工大学线
9、性代数练习册（一）第 12 页 0.3-10-843-1-3840171716365524141 3. .331, 00abcabcabc设 是 互 异 的 实 数 ， 证 明 的 充 分 必 要 条 件 是证明：方法一 设 ，将其按第 4 例展开得到223311()abcxfx，2314244()fAxA由于 ，且 ，由方程根与系数的关系知()0afbc,abc是 互 异 的 实 数，而 ，于是34c4()()，3431abcM()()cbabc所以 . 3300ccab的 充 分 必 要 条 件 是注 ，该方法具有一般性，利用它可以证明太原理工大学线性代数练习册（一）第 13 页 .123
10、2112213()nnijijinnnnxxxxx 方法二太原理工大学线性代数练习册（一）第 14 页 3333332222222211011()()( )()()()()()()()bacabcabcbacabacccbbaacbcbbaa六. 太原理工大学线性代数练习册（一）第 15 页 .0iiiiaxbyczdxy求 四 个 平 面 =0(1,234)相 交 于 一 点 (,z)的 充 要 条 件解答 想法：三个平面相交于一点，第四个平面过该点：方程组 有唯一解 ，当且仅当 ，112233axbyczd=00xy(,z)1122330abc第四个平面过 点当且仅当 ，所以0xy(,z)4040axbyczd=，3124Dabcd于是 ，即 ，41243D=0112233440cabd所以 0iiiiaxbyczdxy四 个 平 面 =0(,)相 交 于 一 点 (,z)的 充 要 条 件是 并且 .112233abc112233440cabd
