近世代数学习系列三 环.doc

1、第 1 页 共 11 页环简 介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的 19 世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集 Z 就构成一个（数）环。在 20 世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫 “环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：1. 若 a 和 b 都是环中的元素，那么 a+b 也是环中的元素；2. 加法符合结合律：若 a、b 和 c 都属于这个环，那么 a+(b+c)=(a+b)+c；3

2、. 在环中存在一个类似于 0 的元素甚至也可以称它为 0具有性质：对于环中的任一元素 a，有 0+a=a；4. 对于环中的每个元素 a 和 b，a+b=b+a 都成立。在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：1. 若 a 和 b 属于环，那么它们的乘积 ab 也属于环；2. 若 a、b 和 c 属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立） ，而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种 nn 矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。在 20 世纪的前 30 多年中，由于德国数学家诺特 (Emmy

3、 Noether，1882-1935 年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个 nn 矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能第 2 页 共 11 页使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。_摘自： 代数学集合、符号和思维的语言美约翰塔巴克著，商务印书馆，2007 年 7 月第 1 版环

4、 的 定 义在 非 空 集 合 R 中 ， 若 定 义 了 两 种 代 数 运 算 加 和 乘 ， 且 满 足 ： 1） 集 合 R 在 加 法 运 算 下 构 成 Abel 群 。 2） 乘 法 有 封 闭 性 ， 即 对 任 何 a R,b R， 有 ab R。 3） 乘 法 分 配 律 与 结 合 律 成 立 ， 即 对 任 何 a R， b R 和 c R， 有 a (b+c) =ab + ac (b+c)a = ba + ca (ab)c = a(bc) 我 们 则 称 R 是 一 个 环 。 一 个 环 同 样 有 几 个 最 基 本 的 性 质 ： 对 于 任 何 的 a R 和

5、 b R,有 a0 = 0a = 0。 a(-b) = (-a)b = -ab。 一 个 具 有 两 种 二 元 运 算 的 代 数 系 统 。 设 在 集 合 R 中 已 定 义 了 加 法 与 乘法 ， 而 R 在 加 法 下 是 一 个 交 换 群 ,且 乘 法 对 加 法 有 分 配 律 ， 则 R 称 为 一 个 非结 合 环 。 此 时 R 中 就 有 唯 一 的 零 元 素 ， 使 得 对 R 恒 有 + = ； R 中 每 个 有 唯 一 的 负 元 素 - ,使 +(- )= ,可 简 记 +(-b)为 -b。分 配 律 可 推 广 为 ： (b )= b ， (b ) =b

6、 ； 用 数 学 归纳 法 可 证 公 式第 3 页 共 11 页在 非 结 合 环 R 中 恒 有 ： = = ； (-b)=(- )b=- b； (- )(-b)= b； (n )b= (nb)=n b,其 中 、 b 为 R 中 任 意 元 素 ， n 为 任 意 整 数 。如 果 非 结 合 环 R 还 具 有 性 质 : 2= （ R） ， 且 雅 可 比 恒 等 式 成 立 ， 即在 R 中 恒 有 ( b) +(b ) +( )b= ， 那 么 R 称 为 一 个 李 环 。 如 果 非结 合 环 R 的 乘 法 适 合 交 换 律 ， 且 在 R 中 恒 有 ( )b =( )

7、(b )， 那 么 R 称 为 一 个 若 尔 当 环 。 在 非 结 合 环 的 研 究 中 ,李 环 与 若 尔 当 环 是 内 容 最 丰 富 的 两 个 分 支 。 如 果 非 结 合 环 R 的 乘 法 适 合 结合 律 ， 那 么 R 称 为 一 个 结 合 环 或 环 。 如 果 在 环 R 中 再 规 定 如 下 的 一 个 新 乘法 “。 ”（ 称 为 换 位 运 算 ） ： 。 b= b-b ， 那 么 R 对 原 来 的 加 法 与 新 有的 乘 法 是 一 个 李 环 ； 若 规 定 的 新 乘 法 为 “”（ 称 为 对 称 运 算 ） : b= b+b ， 则 R

8、便 成 一 个 若 尔 当 环 。 设 S 是 非 结 合 环 R 的 一 个 非空 子 集 ， 若 对 于 R 的 加 法 与 乘 法 ， S 也 构 成 一 个 非 结 合 环 ， 则 S 称 为 R 的 一 个 子 环 。 一 个 真 正 的 非 结 合 环 （ 即 其 中 有 三 个 元 素 在 相 乘 时 不 适 合 结 合律 ） 的 一 个 子 环 ， 有 可 能 是 一 个 结 合 环 。 非 结 合 环 R 的 若 干 个 子 环 的 交 ，仍 是 R 的 一 个 子 环 。 当 T 为 R 的 一 个 非 空 子 集 时 ， R 中 所 有 含 T 的 子 环的 交 显 然

9、是 R 中 含 T 的 最 小 子 环 ,称 之 为 R 的 由 T 生 成 的 子 环 。 如 果 非 结合 环 R 中 任 意 三 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 已 经 是 一 个 结 合 环 ；如 果 R 中 任 意 两 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 称 为 一 个 交 错 环 ;如果 R 中 任 意 一 个 元 素 生 成 的 子 环 恒 为 结 合 环 ,那 么 R 称 为 一 个 幂 结 合 环 。 在幂 结 合 环 中 ， 第 一 、 第 二 指 数 定 律 即 公 式恒 成 立 。 如 果 一 个 交 错

10、环 的 乘 法 还 适 合 交 换 律 ， 那 么 它 称 为 一 个 交 错 交 换环 。 在 交 错 交 换 环 中 ， 不 仅 有 第 一 、 第 二 指 数 定 律 成 立 ， 而 且 有 第 三 指 数 定律 即 第 4 页 共 11 页公 式成 立 ； 还 有 二 项 式 定 理 。 结 合 环 与 交 换 环 的 典 型 例 子 如 :F 上 的 n 阶 全阵 环 ,即 数 域 （ 或 域 ） F 上 的 所 有 n 阶 矩 阵 在 矩 阵 的 加 法 与 乘 法 下 构 成 的 一个 环 。 V 的 完 全 线 性 变 换 环 ， 即 F 上 的 一 个 向 量 空 间 V 的

11、 全 部 线 性 变 换 在变 换 的 加 法 与 乘 法 下 构 成 的 一 个 环 。 F 上 的 多 项 式 环 ， 即 F 上 一 个 或 若 干个 文 字 的 多 项 式 全 体 构 成 的 一 个 交 换 环 。 整 数 环 ， 即 全 体 整 数 构 成 的 一 个 交换 环 ； 全 体 偶 数 构 成 它 的 一 个 子 环 ， 称 为 偶 数 环 。 R 上 的 n 阶 全 阵 环 ,即 在任 意 一 个 环 R 上 的 全 部 n 阶 矩 阵 ,对 于 仿 通 常 矩 阵 的 运 算 定 义 的 加 法 与 乘 法构 成 的 环 ， 记 为 Rn。 【 0,1】 上 的 全

12、 实 函 数 环 ， 即 定 义 在 区 间 【 0,1】 上 的全 部 实 函 数 ， 对 于 函 数 的 加 法 与 乘 法 构 成 的 一 个 交 换 环 。 整 数 模 n 的 环 R奱 ， 即 模 n 剩 余 类 ， 对 于 剩 余 类 的 加 法 和 乘 法 构 成 的 一 个 交 换 环 。 它 是 只 含有 限 个 元 素 的 交 换 环 的 典 型 例 子 。 若 一 个 环 R 中 含 有 一 个 非 零 元 素 e ， 使 对 每 个 x R 有 ex=xe=x,则 e 称 为 R 的 一 个 单 位 元 素 。 一 个 环 若 有 单 位 元 素 ,则 它 必 然 是

13、唯 一 的 。设 R 是 一 个 含 有 单 位 元 素 的 环 , 是 R 中 一 个 元 素 ,若 R 中 有 元 素 b,使 b=b =e,则 b 称 为 的 一 个 逆 元 素 。 当 有 逆 元 素 时 ,其 逆 元 素 必 然 是唯 一 的 ,记 为 -1, -1 也 有 逆 元 素 ,而 且 就 是 ,即 ( -1)-1= 。 R 的 零元 素 必 无 逆 元 素 。 若 R 的 每 个 非 零 元 素 都 有 逆 元 素 , 则 R 称 为 一 个 体或 可 除 环 。 四 元 数 代 数 就 是 典 型 的 体 。 在 体 的 定 义 中 再 规 定 其 乘 法 适 合 交

14、换律 ， 就 是 域 的 定 义 。 理 想设 S 是 环 R 的 一 个 非 空 子 集 ， 所 谓 S 是 R 的 一 个 左 理 想 ， 意 即 S 是 R 作 为 加 法 群 时 的 一 个 子 群 ； 当 S,x R 时 ,则 x S。 若 有 x S,则 S 称 为 R 的 右 理 想 。 如 果 S 既 是 R 的 左 理 想 ， 又 是 R 的 右 理 想 ,则称 S 是 R 的 一 个 理 想 。 例 如 , 是 环 R 的 一 个 理 想 。 设 l1、 l2 都 是 环 R 第 5 页 共 11 页的 左 理 想 。 R 中 所 有 的 元 素 +b( l1,b l2)作

15、 成 R 的 一 个 左 理 想 ,并称 之 为 l1 与 l2 的 和 ,记 为 l1+l2。 R 中 所 有 的 有 限 和 公 式作 成 R 的 一 个 左 理 想 ,称 为 R 的 左 理 想 l1 与 l2 的 积 ,记 为 l1l2。 易 知R 的 左 理 想 的 加 法 适 合 交 换 律 与 结 合 律 ； R 的 左 理 想 的 乘 法 适 合 结 合 律 且 对加 法 有 分 配 律 。 对 于 R 的 右 理 想 的 加 法 与 乘 法 也 有 类 似 结 果 。 由 于 左 理 想与 右 理 想 的 对 称 性 ,因 此 以 下 关 于 左 理 想 的 讨 论 , 对

16、于 右 理 想 也 适 合 。 环 R 的 两 个 左 理 想 的 和 的 概 念 可 以 推 广 成 若 干 (有 限 或 无 限 )个 左 理 想 li 的 和li， 它 是 由 所 有 的 有 限 和 公 式所 构 成 的 。 如 果 这 些 li 均 非 零 , 而 且 在 li 中 每 个 元 素 = i 的 表 法 是 唯 一 的 ， 那 么 R 的 这 组 左 理 想 li(i i)称为 无 关 的 。 环 R 的 两 个 左 理 想 的 积 的 概 念 可 以 推 广 成 任 意 有 限 多 个 左 理 想l1， L2,， ln 的 积 l1l2ln。 特 别 ， 当 这 些

17、li 都 是 R 的 同 一 个 左 理 想 L 时 ， 此 积 简 记 为 ln。 设 T 是 环 R 的 一 个 非 空 子 集 。 R 中 有 元 素 ,它能 从 左 边 去 零 化 T 中 每 个 元 素 即 T= t|t T 是 ,例 如 R 中 的零 元 素 就 是 这 样 一 个 元 素 。 R 中 所 有 这 种 元 素 作 成 R 的 一 个 左 理 想 , 称 为 T 在 R 中 的 左 零 化 子 ， 或 R 中 的 一 个 左 零 化 子 。 如 果 环 R 的 任 意 一 组 左 理 想 中 恒 存 在 极 小 的 左 理 想 ， 那 么 环 R 称 为 满足 左 极

18、 小 条 件 , 或 降 链 条 件 。 所 谓 极 小 左 理 想 ,是 指 一 组 左 理 想 中 的 一 个 左理 想 ,它 不 能 真 正 的 包 含 组 中 任 何 左 理 想 。 同 理 可 定 义 环 R 的 左 极 大 条 件(或 升 链 条 件 ) 以 及 环 R 的 左 零 化 子 的 极 小 与 极 大 条 件 。 由 于 环 R 的 左 零化 子 仅 仅 是 R 的 一 类 特 殊 的 左 理 想 ， 所 以 环 R 的 左 零 化 子 的 极 小 与 极 大 条第 6 页 共 11 页件 ,分 别 弱 于 R 的 左 极 小 与 左 极 大 条 件 。 若 环 R 满

19、 足 左 极 大 条 件 ， 则 R 中左 理 想 的 任 何 无 关 组 必 为 有 限 的 。 满 足 左 极 小 条 件 的 环 又 称 为 左 阿 廷 环 ； 满足 左 极 大 条 件 的 环 又 称 为 左 诺 特 环 ； 一 个 环 满 足 条 件 ： 它 的 左 理 想 的 任何 无 关 组 恒 为 有 限 的 ； 它 的 左 零 化 子 满 足 极 大 条 件 ， 称 为 左 哥 尔 迪 环 。 由上 述 可 知 ， 左 诺 特 环 恒 为 左 哥 尔 迪 环 。 设 N 是 环 R 的 一 个 理 想 。 首 先 ,R 作 为 一 个 (交 换 )加 法 群 时 ， 则 N

20、就是 群 R 的 一 个 正 规 子 群 。 N 在 R 中 的 全 部 陪 集 对 于 陪 集 的 加 法 ( +N)+(b+N)=( +b)+N 作 成 一 个 (交 换 )加 法 群 。 其 次 ,规 定 ( +N)(b+N)= b+N,这 与 陪 集 的 代 表 元 素 、 b 的 取 法 无 关 。 易 知 陪 集 的 这 种 乘 法 ， 适 合 结 合 律且 对 加 法 有 分 配 律 。 于 是 就 得 到 一 个 环 ， 并 称 之 为 环 R 关 于 其 理 想 N 的剩 余 类 环 ， 记 为 R/N。 它 与 环 R 有 同 态 关 系 。 所 谓 同 态 ， 是 指 对

21、 于 两 个 环R1、 R2,有 一 个 从 R1 到 R2 上 的 映 射 ： R1 R2， 使 对 任 意 b R1 恒有 ( +b)= ( )+ (b), ( b)= ( ) (b)。 R2 是 R1 在 下 的 同态 像 ,记 为 公 式。 对 任 意 环 R 及 其 任 意 理 想 N ,只 要 定 义 ( )= +N 就 得 到 R 到 R/N上 的 一 个 同 态 映 射 ,特 称 之 为 自 然 同 态 映 射 。 如 果 环 R1 到 环 R2 上 的 一 个同 态 映 射 ， 又 是 一 一 映 射 ,那 么 称 为 同 构 映 射 ,记 为 公 式。 可 以 证 明 ,

22、如 果 是 环 R 到 环 R 上 的 一 个 同 态 映 射 ， 那 么 R 中 所有 满 足 ( )= R 的 元 素 构 成 R 的 一 个 理 想 N， 称 为 的 核 ， 且 有R/N R ； 如 果 环 R 满 足 左 极 小 （ 或 极 大 ） 条 件 ， 那 么 其 任 意 同 态 像 亦 然 。 第 7 页 共 11 页设 l 是 环 R 的 一 个 左 理 想 ， 如 果 有 正 整 数 n 使 ln= ， 那 么 l 称 为幂 零 的 。 如 果 对 l 中 每 个 元 素 恒 有 正 整 数 n( )使 公 式,那 么 l 称 为 诣 零 的 。 显 然 幂 零 左 理

23、 想 必 为 诣 零 左 理 想 ,但 反 之 则 未 必 。对 R 的 右 理 想 也 有 相 应 的 定 义 。 如 果 P 是 环 R 的 一 个 理 想 ,而 对 R 的 任 意两 个 理 想 A、 B， 只 要 AB 嶅 P， 就 必 有 A 嶅 P 或 B 嶅 P,则 P 称 为 R 的 一个 质 理 想 或 素 理 想 。 如 果 环 R 的 零 理 想 是 R 的 一 个 质 理 想 ， 那 么 R 称 为 一 个 质 (素 )环 。 如 果 环 R 除 外 不 再 含 其 他 的 幂 零 理 想 ， 那 么R 称 为 一 个 半 质 (素 )环 。 质 环 恒 为 半 质 环

24、 ， 但 反 之 则 未 必 。 结 构 理 论设 R1,R2,Rm 均 为 环 R 的 非 零 子 环 。 如 果 R 的 每 个 元 素 均 可 唯 一地 表 为 公 式， 且 当 i j 时 恒 有 公 式,那 么 R 称 为 R1， R2,Rm 的 环 直 接 和 (或 简 称 直 和 ),记 为 第 8 页 共 11 页公 式。 此 时 诸 Ri 均 必 为 环 R 的 理 想 且 R 满 足 左 极 小 （ 极 大 ） 条 件 ， 必 要 而且 只 要 诸 Ri 均 然 。 当 一 个 非 零 的 环 不 能 表 为 两 个 以 上 的 非 零 子 环 的 环 直 接和 时 ， 则

25、 称 之 为 不 可 分 环 。 例 如 非 零 的 单 纯 环 (即 除 与 自 身 外 不 再 含其 他 理 想 的 环 )就 是 不 可 分 环 。 一 个 非 零 的 环 R 为 左 阿 廷 质 环 ,必 要 而 且 只 要 有 体 K 使 公 式。 此 时 若 又 有 体 T 使 公 式,则 必 有 T K,m=n。 这 样 的 环 必 为 单 纯 环 ， 又 称 为 阿 廷 单 纯 环 。 一 个 非 零的 环 为 左 阿 廷 半 质 环 ， 必 要 而 且 只 要 它 是 有 限 个 阿 廷 单 纯 环 的 环 直 接 和 。 这样 的 环 又 称 为 阿 廷 半 单 纯 环 。

26、 一 个 阿 廷 半 单 纯 环 为 不 可 分 环 ， 必 要 而 且 只 要它 是 阿 廷 单 纯 环 。 以 上 结 果 统 称 为 韦 德 伯 恩 -阿 廷 结 构 定 理 。 设 R 是 任 意一 个 左 阿 廷 环 ,于 是 R 的 诣 零 左 、 右 理 想 恒 为 幂 零 的 ;R 的 所 有 幂 零 左 理 想的 和 又 等 于 R 的 所 有 幂 零 右 理 想 的 和 , 从 而 这 个 和 N 是 R 的 唯 一 最 大 幂零 理 想 ,称 为 R 的 根 ,而 且 当 N R 时 ， 剩 余 类 环 R/N 是 阿 廷 半 单 纯 环 。 对 环 R 中 元 素 ，

27、如 果 存 在 R， 使 + + = + + = ,那 么 称 为 拟 正 则 的 ,而 且 与 互 为 拟 逆 。 例 如 ,诣 零 元 素 就 是 拟 正 则 的 ， 当 n= 时 ， =- + 2- 第 9 页 共 11 页公 式。 又 如 整 数 环 中 的 2 也 是 拟 正 则 的 ,其 拟 逆 即 2 自 己 。 如 果 环 R 的一 个 左 (或 右 )理 想 l 的 每 个 元 素 都 是 拟 正 则 的 (此 时 的 拟 逆 亦必 在 l 中 ),那 么 l 称 为 R 的 一 个 拟 正 则 左 (或 右 )理 想 。 任 意 环 R 中 恒 存 在唯 一 的 最 大 拟

28、 正 则 理 想 J,称 为 R 的 雅 各 布 森 根 ,它 包 含 R 的 所 有 拟 正 则 左与 右 理 想 ,且 剩 余 类 环 R/J 不 含 非 零 的 拟 正 则 左 与 右 理 想 。 特 别 ,当J= 时 , R 称 为 雅 各 布 森 半 单 纯 环 。 于 是 任 意 环 R 关 于 其 雅 各 布 森 根J 的 剩 余 类 环 R/J,便 恒 为 雅 各 布 森 半 单 纯 环 。 非 零 的 满 足 左 极 小 条 件 的 雅各 布 森 半 单 纯 环 就 是 阿 廷 半 单 纯 环 。 左 分 式 环如 果 在 环 R 中 有 ,b ,而 b= ,那 么 称 为

29、左 零 因 子 ， b称 为 右 零 因 子 。 一 个 非 零 元 素 如 果 既 非 左 零 因 子 ， 又 非 右 零 因 子 ， 那 么 这 个非 零 元 素 称 为 正 则 元 。 设 Q 是 一 个 有 单 位 元 素 e 的 环 ,R 是 它 的 一 个 子 环 ，如 果 R 的 每 个 正 则 元 在 Q 中 有 逆 元 素 -1,且 Q 中 每 个 元 素 均 可 表为 = -1b(其 中 、 b R 且 为 正 则 元 )， 那 么 Q 称 为 R 的 一 个 左 分 式环 。 设 R 是 一 个 非 零 的 环 ， 则 R 是 哥 尔 迪 质 环 , 必 要 而 且 只

30、要 R 有 一 个左 分 式 环 为 阿 廷 单 纯 环 ； R 是 哥 尔 迪 半 质 环 ,必 要 而 且 只 要 R 有 一 个 左 分 式环 为 阿 廷 半 单 纯 环 。 所 谓 环 R 是 一 个 左 奥 尔 环 ， 即 指 R 含 有 正 则 元 而 且 满 足 左 奥 尔 条 件 ：对 、 b R（ 其 中 b 为 正 则 元 ） ， 恒 有 1、 b1 R(其 中 b1 是 正 则 元 )使得 b1 = 1b。 当 环 R 无 零 因 子 时 ， 左 奥 尔 条 件 即 R 中 任 二 非 零 元 有 共 同的 非 零 左 倍 元 。 一 个 环 R 有 左 分 式 环 ，

31、必 要 而 且 只 要 R 是 一 个 左 奥 尔 环 。 序 环所 谓 环 R 的 偏 序 关 系 “ ”,是 指 “ ”在 环 R 的 元 素 之 间 具 有 以 下 性质 ： 自 反 性 ,即 对 每 个 R 恒 有 ； 传 递 性 ,即 当 b， b 时 有 ； 反 对 称 性 ， 即 当 b， b 时 有 =b； 如 果 b，第 10 页 共 11 页那 么 对 x R 恒 有 +x b+x； 当 , b 时 有 b。 有 偏 序关 系 存 在 的 环 ， 称 为 偏 序 环 。 在 偏 序 环 中 ， 当 b, d 时 ,就 必 有 + b+d;当 ， b 时 ,就 有 b ， b

32、 ； 当 ， b 时 ,就 有 b。 在 偏 序 环 中 ,若 b 且 b， 则 记 为 b。 当 时 则 称 是 一 个 正 元 素 ； 当 b 时 则 称 b 是 一 个 负 元 素 。当 为 正 元 素 时 ， 则 必 为 负 元 素 ； 当 b 为 负 元 素 时 ， 则 b 必 为 正 元素 ； 当 偏 序 环 中 无 左 、 右 零 因 子 时 ， 就 有 两 个 同 号 元 素 （ 即 同 为 正 元 素 或 同为 负 元 素 ） 相 乘 为 正 ； 两 个 异 号 元 素 相 乘 为 负 。 如 果 偏 序 环 R 中 任 意 两 个元 素 、 b 均 有 b 或 者 b ，

33、那 么 就 说 R 是 一 个 序 环 。 例 如 整 数 环在 通 常 数 的 小 于 等 于 关 系 “ ”下 就 是 一 个 序 环 。 发 展 概 况环 论 的 发 展 可 追 溯 到 19 世 纪 关 于 实 数 域 的 扩 张 及 其 分 类 的 研 究 。 F.G.弗罗 贝 尼 乌 斯 、 J.W.R.戴 德 金 、 .(-J.)嘉 当 、 W.R.哈 密 顿 和 T.莫 利恩 等 人 是 发 展 超 复 系 理 论 的 主 要 数 学 家 。 后 来 ， 发 展 成 一 般 域 上 的 代 数 结 构理 论 ， 是 源 于 J.H.M.韦 德 伯 恩 在 1907 年 发 表

34、的 著 名 论 文 。 A.A.阿 尔 贝 特 、R.（ D.） 布 饶 尔 及 （ A.） E.诺 特 等 人 发 展 与 简 化 了 单 纯 代 数 理 论 与 算 术 的 理想 理 论 ， 在 1927 年 E.阿 廷 的 论 文 又 把 代 数 结 构 的 主 要 结 果 推 广 到 具 极 小 条件 的 环 上 ,而 成 为 韦 德 伯 恩 -阿 廷 结 构 定 理 。 此 后 对 于 不 具 链 条 件 的 环 换 成 一些 拓 扑 或 度 量 的 条 件 进 行 研 究 ， 如 J.冯 诺 伊 曼 与 F.J.默 里 在 希 尔 伯 特 空间 中 研 究 变 换 环 ,冯 诺 伊

35、 曼 的 正 则 环 理 论 与 . .盖 尔 范 德 的 赋 范 环 论 等 。19 世 纪 40 年 代 后 ， 一 般 环 的 根 理 想 理 论 应 时 而 起 ， 迅 速 发 展 ， 其 中 尤 以 雅各 布 森 根 与 半 单 纯 环 以 至 本 原 环 理 论 较 为 系 统 而 深 入 。 1958 年 A.W.哥 尔 迪对 具 极 大 条 件 的 环 得 到 了 至 善 的 结 果 。 在 体 论 以 及 非 结 合 环 中 的 若 尔 当 环 与雅 各 布 森 环 的 研 究 ， 近 年 来 均 甚 为 活 跃 。 扩展阅读： 1 第 11 页 共 11 页代数学集合、符号和思维的语言美约翰塔巴克著，商务印书馆，2007 年 7 月第 1 版