1、有心力场的角动量守恒law of conservation of angular momentum in central-force field肖云剑 (广东省中山市华侨中学高中部,中山 528400)Email: 手机: 13640492510 关键词:角动量 极坐标 有心力 椭圆轨道 摘要:在有心力的作用下,一个物体绕某一点转动。如果采用极坐标,物体在切向的加速度为零,利用微积分的知识,可以从另一方面推导出角动量守恒关系。前言:科组在教学过程中,有人提出对于匀速圆周的物体,如果提供向心力的力增大或减小(如图 1 所示,增加或减小 M 的质量) ,但该力始终指向原来的圆心,物体会如何运动的
2、问题。众所周知,力减小,物体做离心运动;力增大,物体做近心运动,但最终能否稳定在某一轨道上做匀速圆周运动,则成为讨论的重点。笔者在此问题上提出自己的看法。内容:因为是旋转问题,所以旋转极坐标来研究是比较方便的。设远离半径方向单位向量 ,切线方向单位向量为 。则物体的位移为:=对求导:=+=+图 1 光滑水平面上物体 m做匀速圆周运动即径向速度大小:=切向速度大小(匀速圆周运动中的线速度大小):=继续对求导:=+=+2=(2)+(2+)可知:法向加速度大小: =2切向加速度大小: =2+如果是圆周运动,半径大小不变,即 ,由可知,向心加速度=0;=0大小是 ,方向指向圆心。2显然本处物体不再做圆
3、周运动,但是切向加速度始终为零。由,得:2+=0整理可得: +2=0积分,得: 21+212=0 再次整理,得到:1122=0由上式,得:211=222 或 2=(常数 ) 对于同一物体(或系统)而言,其 。 (I 为角 动 量: =2=常数转动惯量)即一个在有心力场中运动的质点,始终受到一个通过力心的有心力作用,因有心力对力心的力矩为零,所以根据角动量定理,该质点对力心的角动量守恒。因此,质点轨迹是平面曲线,且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。如果把太阳看成力心,行星看成质点,则上述结论就是开普勒行星运动三定律 之一的开普勒第二定律。利用角动量守恒,可以简单处理上面的问题。这里就
4、简单介绍下如果 m 原来做匀速圆周运动,瞬间增大速度(方向不变) ,此时半径设为 ,角度 ,线1 1速度 (注:此时 ) 。物体肯定远离圆心,绳子拉力对 m 做负功,所1 1=11以 m 不可能无限扩张。在某一时刻,m 径向速度为零,不再远离圆心,设此时半径 ,角速度速度 ,线速度为 (注:此时 ) 。2 2 2 2=22由能量守恒定律得:12121=12222+(21) 角动量守恒:211=222(11=22) 由、可以求出 ,此时如果满足:2、 2=222=212132则之后稳定为匀速圆周运动。如果不满足,m 就应该接下来应该是近心运动。能近到什么程度呢?假设最小半径小于原来的 ,根据角动
5、量守恒可知,在 m 运动到半径为 时,此时1 1的切向速度显然等于 ,但由于还有径向速度,所以系统能量是不守恒的。同1理可以推出最小半径不可能大于 。由此可以推测,最小半径还是是 。可以1 1猜想,m 的最终轨道可能是一个圆,也可能是椭圆(该模型与行星运动相似,所以猜测第二种的可能性更大) 。事实上最终的轨道不可能是圆。推理如下:由、联立,消去 ,可得:2=1+222221=2(1+2)232 2122123221212132=222即合外力大于所需向心力,m 在最远处后只可能是近心运动。但究竟是不是椭圆轨道呢?如果 m 受力与行星受力相似,即与距离的平方成反比或者径向加速度大小与距离的平方成
6、正比的话,这就有很大可能性了。当半径为 时,速度为 ,根据能量守恒定律,可得: 1221=122+122+(1)即: 1221=12( 2+2) +122+(1)角动量守恒定律,可得:11= (2)代入(1) ,并求导化简,得:0=( +) +(11)23 当 0时 ( 即最大、最小半径除外 ) , =(11)23(+)3由此可知,径向加速度:=2=(11)23(+)3 (11)23=3+(11)2(+)3 显然 并不是与 成反比,小球不是像行星在圆周轨道上运动时,加速就 2能进入椭圆轨道那样。结语:可以继续猜想,小球的运动可能具有对称性,会在“近日点” 、 “远日点”来回转动,下面的物体也就是上下运动。只是小球运动的轨道有些复杂。