1、目 录中文摘要、关键词 11 绪论 22 行列式计算技巧 32.1 行列式的定义与性质 .32.1.1 行列式的定义 32.1.2 行列式的性质 32.2 行列式的求解技巧 .42.2.1 定义法 .52.2.2 化三角法 .62.2.3 按行（列）展开 .72.2.4 递推法 .92.2.5 加边法 112.2.6 拆项法 132.2.7 数学归纳法 152.2.8 范德蒙行列式 172.2.9 拉普拉斯法 183 行列式的简单应用 .193.1 行列式在线性方程组中的应用 193.2 行列式在初等代数中的应用 .223.2.1 用行列式分解因式 .22结论 22参考文献 23英文摘要、关键
2、词 240行列式的计算技巧摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要. 为了更快的算出行列式，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了 9 种计算行列式的常用方法，但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好. 在介绍了行列式的计算方法与技巧的同时，又介绍了行列式的简单应用. 通过这一系列的方法加上应用进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助. 关键词：行列
3、式 矩阵 递推法 加边法 11 绪 论行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做解伏题之法的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法” ，同时，也提出行列式的概念与算法. 1693 年 4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件. 1750 年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer，17041752)在其著作线性代数分析导引中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则. 稍后，数学家贝祖(E.Bezout,17301783)将确定行列式每一项符号的方
4、法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解. 在行列式的发展史上法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde，17351796)他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则. 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法. 继范德蒙之后，1815 年，柯西他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等. 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(Jacobi，18041851)，他引进了函数行
5、列式，即“雅可比行列式” ，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式. 对行列式理论研究始终不渝的作者之一还有詹姆士西尔维斯特(J.Sylvester，18141894). 他改进了从一个 n 次和一个 m 次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明. 行列式的世界丰富多彩，各式各样. 行列式是研究数学的重要工具之一，它适于各个领域的使用. 例如：线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间2中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组
6、等, 用行列式来进行计算都是很便利的. 2 行列式的计算技巧行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳. 作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法. 这两种方法也经常一起使用，而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆项法等可以看成是它们衍生出的具体
7、方法. 2.1 行列式的定义与性质2.1.1 行列式的定义n 阶行列式的“排列逆序”定义 12121212142(.).12. nnnnjjjjnnaaa这里 121212(.). .nnnjjjj a表示对所有 n 级排列求和，故 n 级行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和，每一项的符号取决于组成该项的 n 个元素的列12.njja下标排列的逆序数（行下标按自然顺序排列） ，即当 是偶排列时取正号，12j当 是奇排列时取负号. 12nj2.1.2 行列式的性质3性质 1 行列互换.行列式不变，即 =121212.nnnaa121212.nnna性质 2 一数乘行列式的
8、一行（或列）等于用这个数乘该行列式，即1112121 12. .n niiiiiinnnnaaakkaaa推 论 若行列式中一行（或列）为零，则行列式为零. 性质 3 如果行列式中某一行（或列）的所有元素均为两项之和，则该行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的此行（或列）的元素分别为此行（或列）的两个加数之一，其余各行（或列）的元素与原行列式相同. 性质 4 如果行列式中有两行（或列）相同，那么行列式为零. 性质 5 如果行列式中有两行（或列）成比例，那么行列式为零. 性质 6 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列） ，那么行列式不变. 性质 7 互换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号.
9、 性质 8 行列式按某一行（或列）展开等于该行（或列）的所有元素分别与它们所对应的代数余子式乘积之和. 性质 9 行列式的任何一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式的乘积之和必为零，即（i j）12.0ijijinjaAaA（k l）klklkl的乘积之和，即 =12112.niiinnaaa12.iiinAaA2.2 行列式的解题技巧高等代数是理工科大学学生的一门必修基础数学课程. 行列式的计算4是高等代数中的难点、重点，特别是 n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握. 计算 n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解
10、. 本章就针对行列式的特点给出多种计算行列式的方法. 2.2.1 定义法用定义计算行列式是最基本的方法. 例 1 计算 n 级行列式00abDba解：按定义， 表示行指标， 表示列指标，易见此行列式中零元素较多，ninj元素 行指标为一个自然排列，列指标 ，也是自然排列，a12,njj而元素 行指标 ，不是自然排列，列指标是一个自然排列，b12,nii所以得 . ()nnDb例 2 计算行列式D =0.012240.05解：按定义， 表示行指标， 表示列指标，为求 D 的值，只需求出 D 中ninj所有非零项. D 中第一行的非零元素只有 ，因而 =2004，同理 1,204a1j2j=200
11、3， =2002，.， =1， =2005. 于是 在可能取3j204j5j2045j的数据中， 只能组成一个 2005 个元素的排列：2004， 2003， 12045j2002， 3， 2 ，1 ，2005 ，而此排列的逆序数为为偶数，()()203nt5故 D=20431,204,3204,15,20().()1.204520!taa由以上例子可以看出，若计算阶数较低(不超过三阶)的行列式及上三角(下三角)行列式运用定义法较为简单，但若是高阶非上(下)三角型的行列式按定义法计算比较繁琐. 因此，我们必须寻求其它的，让计算变得简洁的计算方法. 2.2.2 化三角法运用行列式的性质是计算行列
12、式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式，我总结了以下利用行列式的性质计算行列式的步骤. 其计算步骤可归纳如下：(1)看行列式的行和列,如果行和列相等,则均加到某一列(行)直观上加到第一列(行). (2)有公因子的提出公因子. (3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定义进行计算. 由以上四步,计算一般行列式都简洁多了. 例 3 计算下列行列式的值nxaaDax 分析：观察此行列式，主对角线上元素相等，然后其他位置元素也相同，显然若直接用定义计算很是繁琐，所以
13、我们要充分利用行列式的性质，将其化为三角形. 先把各行都加到第一行上，然后提出公因式 ，再让行列(1)xna式第一行的-a 倍加到其他各行，进而将其化为三角形阵，计算简单. 解：法 1：各行加到第一行上得：6(1)(1)(1)(1)nxaxnaxnaxnaDaaaxa 提取公因式得： 11()nxDxaax 第一行的-a 倍加到其他各行得： 1100()nxaDx xa 1()nnax法 2：化成两边加一对角线行列式把第一行的-1 倍加到各行得： 00nxaaDxax xa 再将各列加到一列得： 1(1)000()nn axD xnaxa 2.2.3 按行（列）展开行（列）展开，亦称“降阶法”
14、 ，就是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，有的行列式中零元素较多，我们可以按照某一列或某一行展7开进行计算（如例 1）. 而有的行列式比较复杂，为了使这种运算更加简便，往往可以根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开（如例 2）. 例 4 计算行列式 .aaDn010010 解： 按第 1 行展开： 100()00nnaDaa .222)1()( nnna例 5 计算 20 阶行列式2013.890217.6. .98.3D分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个 2 阶行列式计算，需进行 次加减法和
15、乘法运201！ （ ）算，这人根本是无法完成的. 但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果. 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差 1，因此，可按下述方法计算，其中， 表示列， 表示行. 1,2jcn ,2irn8120 (j,9)1.113.1892022736. . 11198.320jcD 1 201818(2,0)1.124. ()2.0ir 2.2.4 递推法应用行列式的性质，把一个 n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列（比如，n-1 阶或 n-1 阶与 n-2 阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式. 根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如
16、二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给 n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法. 例 6 计算 5 阶行列式：51010aDa解：把 2，3，4，5 行都加到第一行，得5 01101aDa再按第一行展开，得递推公式 541a故： 25432()1()DDaD2323451aa9注意:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. 例 7 122110.0nnnxDxaa,(2)nnx证明： 将 Dn 按第 1 列展开得：123210.0nnxDxaa10.().1nxax由此得递推公式： ，利用此递推公式可得1nD12()nn
17、xxD21na1nnxax 例 8 证明如下行列式等式： 001001nD1,n证 明 ： 其 中分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式，从行列式的左上方往右下方看，即知 与 具有相同的结构. 因此可考虑利用递推关系式计算. n-1D10证明： 按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 阶行列式按第一行展nDn-1开有： 12nnnD （ ） 这是由 和 表示 的递推关系式. 若由上面的递推关系式从 n 阶逐n-12阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶行列式. 因此，可考
18、虑将其变形为： 11212nnnnnDD （ ）或 （ ）现可反复用低阶代替高阶，有： 2311 42 21()()(1)nnnnnnnDD （ ） （ ） （ ） （ ） =同样有： 2311 42 21()()(2)nnnnnnnD （ ） （ ） （ ） （ ）因此当 时,由（1） （2）式可解得：1nD2.2.5 加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法. 当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算，要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列. 加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的
19、元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况. 加边法的一般做法是： 1111112221222111.00. .nn nn nnnnnnaabaDa11特殊情况取 或 当然加法不是随便加一行一121naa 21nbb列就可以了. 那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子. 如下题：例 9 计算 n 阶行列式1212 2120.0nnnaadaa解： 在不改变行列式的值的情况下，将行列式加一行 和一12(,)na列 . 得：(1,0,)12 121 122 212. .0. . .0.n nnn nnaaaada1210 nnnnaa 1212 1.0. 2nnaaaa11 1
20、0.22().00 0nnaa121110.024.2002njinj nana1 1(1)242nj ni kaa 2.2.6 拆项法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法. 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值. 例 10 计算行列式 1122.().nnnxxD解：当 n=2 时121212122()()xxxx当 n2 时根据行列式
21、的特点可拆成两个行列式的计算1122nnnxxD1311112222. .nnnnxxxx1112220nnnxx例 11 计算 n 级行列式 00nabD解：00.nabDa0.0. bbaa将上式第一个行列式的最后一列提取公因子 a,第二个行列式按最后一列展开得： 10.0nabaDbb将上式右边第一个行列式从第二行开始每一行的-1 倍加到前一行得：1410.0 0nbaaDbb将上式又边第一个行列式按最后一列展开得：（1）1()nnDab同理将第行的元素拆成两数和按上述做法又得：（2）1()nn当 时 联立（1） （2）得：ba1232()( )nnnnDabab)当 a=b 时容易算出
22、.10.(1).0(). .0(1). nnanaaD aana2.2.7 数学归纳法数学归纳法是证明（计算）行列式常用方法，首先建立递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时采用第一归纳法；当递推关系涉及相邻三阶行列式时采用第二归纳法. 第一归纳法原理如下：设由一个与自然数 n 有关的命题，若当 n=1 时，命题成立；当 nk 时成立，证明当 n=k 时，命题是否成立，若成立，那么命题对一切自然数 n 都成立. 反之，不成立. 第二归纳法原理如下：设有一个与自然数 n 有关的命题，若（1）当 n=1 时命题成立；（2）假设对 的一切自然数都成立，则 n=k+1 时命题成立；那么命nk题对一切
23、自然数 n 都成立. 例 12 证明15其中 .10.010.0.1nnabababDab证明： 用数学归纳法，当 n=1，2 时，由于21Dab2232222 ()()1ab abDabab 故对 n=1，2 结论正确.假设当 nk 时结论也正确，则当 n=k 时，把 按其第 k 列展开，有kD0.010.0.1kababDab.1112()()kkkkk ababD 所以对任意正整数，有 .1n例 13 122110.0.nnxDxaa解：用数学归纳法. 当 n = 2 时:2 121()xDxa.216假设 n = k 时，有.121kkkkDxaxax则当 n = k+1 时，把 Dk
24、+1 按第一列展开，得11kk11( )kkkxaxa12k由此，对任意的正整数 n，有.121nnnDxaxa2.2.8 范德蒙行列式在行列式的计算中,我们经常会碰到这样一种行列式.像这样的行列式称为范德蒙行列式123211123().njiijnnnnaaDa例 14 22441abcd解:观察发现:此行列式类似于范德蒙行列式为了得到一个范德蒙行列式,现添加 33abcd为 的余子式.22222333334441111()abcdxabcdx显 然 3x即 的系数的相反数. 由范德蒙行列式知：3x()()()()()(dbacdacbdcxabxcd17所以, 的系数为 :3x.()()(
25、)()abcdacdacbdc故原行列式等于.()()()()例 15 计算行列式122 21212121.1.nnnnxxxDxxx解：把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便德范德蒙行列式.1221112().nijijnnxxDxxx2.2.9 拉普拉斯法在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开,进行计算行列式.试想,我们可以根据行列式的某一个 K 级字式展开吗?拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算更为简洁,
26、现引入拉普拉斯定理. 拉普拉斯定理:设在行列式 D 中任意取定了 个行,由这 k 行元(1)kn素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.拉普拉斯定理的四种特殊情形:(1) (2)0nnmmABC 0nmnmACB18(3) (4)0(1)nmnmABBC (1)0nmmnCABB例 16 计算 n 阶行列式： .naabD解： 1222(,) .00(1).200.(3,).0.(1)iniaabDnaabCnab利 用 拉 普拉 斯 定 理(2)2.(2)()nn3 行列式的简单应用行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中
27、多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、维空间的投影变换、线性微分方程组等，用行列式来进行计算是很便利的. n本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数二个方面的应用. 193.1 行列式在线性方程组中的应用行列式在线性方程中的应用用到了一个法则-克莱姆法则，本文介绍了有关其定理. 我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念，再看克莱默法则与线性方程的联系应用. 含有 n 个未知数 的线性方程组12,nx（1）121212,nnnaxabx称为 n 元线性方程组，当其右端的常数 不全为零时，线性方程组(1)12,b称为非齐次线性方程组,当 全为零时，线性方程组(1)称为齐次线性方
28、12,nb程组，即（2）1212120,nnnaxax线性方程组(1)的系数 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D，即ija.121212nnnDaa 定理 1 (克莱姆法则) 若线性方程组(1)的系数行列式 , 则线性方0D程组(1)有唯一解,其解为（3）(1,2)jjDxn其中 是把 中第 列元素 对应地换成常数项(1,2)jDn j12,jnja，而其余各列保持不变所得到的行列式.12,nb定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 ,则(1)一定有解,且解是唯0D一的. 在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:20定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解, 则它的系数行列
29、式必2为零. 对齐次线性方程组(2), 易见 一定该方程组的解 , 称其120nxx为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理 2 应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论. 定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ,则齐次线性方程组0D(2)只有零解. 定理 如果齐次方程组(2)有非零解,则它的系数行列式 D=0.注 如果齐次线性方程组的系数行列式 D=0 则齐次线性方程组(2)有非零解.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 例 17 解线性方程组： 6354232131xx解：403731D因此方程组有唯
30、一的解. 又：， ，1314420856D23140156D， ，334107056141324705621因此由克莱姆法则得： .312 44,2,1DDxxxx3.2 行列式在初等代数中的应用3.2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键， 是把所给的多项式写成行列式的形式， 并注意行列式的排列规则. 例 18 分解因式: 2()4()cdabcbd解： ()2()bcdab原 式 2()()ac12()dabbcc.()a结 论计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的常见的九种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法. 我认为只要理解
31、和掌握以上 9 种方法，不管哪种行列式计算，都可以迎刃而解. 以上计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据. 学习中我们要多练习，多总结，才能更好的掌握行列式的计算. 22参考文献1 张禾瑞，郝炳新高等代数高等教育出版社，1988.2 王萼芳高等代数教程清华大学出版社，1997.3 姚慕生高等代数复旦大学出版社，2002.4 戴华矩阵论科学出版社，2001.5 王作中行列式的计算方法与技巧J民营科技，2010 年 08 期.6 韩宝燕行列式的计算方法与应用J科技信息，2010 年 03 期.7 陈会平浅谈 N 阶行列式计算方法的研究J黑龙江
32、科技信息，2010 年 03 期.8 李师正高等代数复习解题方法.23The determinant calculation skillsAbstract：The determinant is one of the basic and important content of higher Algebra course, has a wide range of applications in mathematics, knows how to compute the determinant is particularly important. To faster of is out ranks
33、 type, this main for ranks type of features, application ranks type of nature, provides has 9 species calculation ranks type of common method, but this several method Zhijian not mutual independent, but mutual contact of, a ranks type may has several solution, this on requires we in master has ranks
34、 type of solution zhihou, flexible using, found a most easy of method, makes complex problem simplistic, sometimes several method combines with with effect better. In determinant computation methods and techniques are introduced at the same time, and introduced the simple application of determinant. Through a series of methods with application to further improve our understanding of the determinants, were learning very useful help.Keywords ：determinant matrix a recursive method calculus
