1、谈谈几何平均数在计算平均发展速度中的应用几何平均数(Geometric mean),也称几何均值,它是 n 个变量值乘积的 n 次方根,计算公式为:nin xxG1321(1)式中:G 为几何平均数, 连乘符号。几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数,它主要用于计算比率或速度平均。当所掌握的变量值本身是比率的形式,而且各比率的乘积等于总的比率时,就应采用几何平均法计算平均比率。在实际应用中,几何平均数主要用于计算社会经济现象的年平均发展速度。当各个变量值出现的次数不同时,计算几何平均数应采用权数的形式。几何平均数权数型的计算公式为: nin ffff ff xxG12121(2)式中:f 表示
2、各变量值的次数 (或权数), nif1表示次数(或权数)的总和。平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数,用于描述现象在整个观察期内平均发展变化的程度。计算平均发展速度的方法主要有水平法和累计法,其中水平法是最常用的方法。计算平均发展速度的水平法,又称几何平均法,它是根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。下面对此方法的计算公式和应用作一剖析。假定时间数列为 naa,3210。其中 0为最初水平, 1a为第 1 期发展水平,2a为第 2 期发展水平,其它依次类推, 为末期发展水平。前 一 期 发 展 水 平报 告 期 发 展 水 平环 比 发 展 速 度 则有: 01ax, 12,
3、23ax, 1nax。上述 n,321分别代表各期环比发展速度。另外,我们知道定基发展速度等于相对应的各期环比发展速度的连乘积,即12310nnaa(3)将 nxx,321分别代入式(3),得0annxx321a (4)在式(4)中,假定各期环比发展速度均相等,且都为 x,则式 (4)化为:则得到 nax)(0 (5)式(5)中的 实际上就是平均发展速度,对式(5)继续简化得:nax0(6)把式(3)代入式(6) ,也可得出: nnx321(7)式(6)和式(7)都是平均发展速度的常用计算公式。实际上,式(7)就是式(1) 即几何平均数的计算公式。上述的演算过程,事实上就是几何平均数的推导过程
4、。计算平均发展速度的水平法,其计算思路是:设最初水平为 0a,以后每期均以 x的环比发展速度发展,则到 n 期后达到的理论水平等于其实际水平( n)。所以,该方法称其谓“水平法” 。按水平法计算的平均发展速度只取决于最初水平和最末水平,而与中间各期的水平无关,所以不能据此来推算中间各期的水平。实际应用中,如果现象发展在一定时期内是持续上涨或下降,且不是大起大落,目的是考核末期的水平,如 GDP 的变化,人口规模的变化,可用此方法来计算。另外,水平法同样有几何平均数的局限性,不能处理发展水平出现 0 或负数的情况。例一、某学院近几年来的招生规模不断扩大,2000 年比 1999 年增长 10%,
5、2001 年比2000 年增长 15%,2002 年比 2001 年增长 20%,2003 年比 2002 年增长 18%,试计算该学院近四年来平均每年的发展速度和平均每年的增长速度。解:该题告知的是连续四年的环比增长速度,应先化为环比发展速度,然后利用水平法计算平均发展速度,再计算平均增长速度。做类似的题目要用多功能的计算器,否则非常困难。采用“ yx”或“ y1”的功能键进行演算。nnx3214 %1805%0x=115.69%平均增长速度=平均发展速度-100%=115.69%-100%=15.69%所以,该学院近四年来平均每年的发展速度为 115.69%,平均每年的增长速度为ax0 x
6、=an15.69%。例二、某县 1980 年年初人口数为 32 万,当时计划到本世纪末(1999 年末) 的人口总数控制在 45 万人之内,实际到 1996 年 5 月 15 日的人口总数就达到 45 万人。问:按原计划,1980 年初到 1996 年 5 月 15 日的人口年平均增长速度为多少?按原计划,到 1996 年 5 月 15 日止,该县人口数应该是多少?实际 1980 年初到 1996 年 5 月 15 日止的人口年平均增长速度为多少?按照 1980 年初到 1996 年 5 月 15 日的实际增长速度增长,到 2000 年初,该县人口数将达到多少万?解:要计算平均增长速度,则先要
7、计算平均发展速度。做类似的题目,一定要弄清楚时期数 n,否则多算一年或少算一年都达不到预定的结果。该小题尽管问的是 1980 年初到1996 年 5 月 15 日,但要计算的还是按原计划,即 1980 年年初到 1999 年末的人口发展速度。人口数是时点指标,从 1980 年年初到 1999 年末间隔 20 年,所以 n=20。利用式(6)计算如下:nax02345=1.0172 或 101.72%该期内人口年平均增长速度为:101.72% 100%=1.72%要计算到 1996 年 5 月 15 日止该县的人口数,当然它的平均发展速度是上小题的101.72%,本小题的关键是测算 1980 年
8、年初到 1996 年 5 月 15 日止间隔了多少时间,我们这里仍以年为单位,1980 年年初到 1995 年年底跨了 16 年,再 1996 年初到同年 5 月 15 日止又有 4.5/12 年,所以 n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)计算:nax)(0到 1996 年 5 月 15 日止的人口数32 375.16%)2.0(= 42.3086(万人) 1980 年初到 1996 年 5 月 15 日止跨 16.375 年,即 n=16.375,利用式(6)计算。nax037.1624=102.10%实际平均增长速度102.10% 100% 2.10 按照 1980 年初到
9、1996 年 5 月 15 日的实际增长速度,即 2.10%,则发展速度为102.10%,可用公式计算:nnxa)(02000 年初的人口数32(1.021) 20 48.49( 万人) 例三、某煤矿 1995 年煤炭产量为 25 万吨。规定“九五” 期间(1996 年至 2000 年) 每年平均增长 4%,以后每年平均增长5%,问到 2003 年煤炭产量将达到什么水平?如果规定 2003 年煤炭产量是 1995 年产量的 4 倍,且“九五”期间每年平均增长速度为 5%,问以后需要每年平均增长速度多少才能达到预定的产量水平?解:本小题分两个阶段,且有不同的平均增长速度。这里也要计算 n,199
10、6 年至2000 年有 5 年,n 1=5;2001 年至 2003 年有 3 年,n 2=3。2)(0nxan=251.045 1.053=35.21(万吨)设后三年的平均增长速度为 x,则4=(1.05)5(1+x)3x=146.0.135=46.34%所以后三年平均增长速度要 46.34%才能达到预定的产量水平。例四、某地区 1998 年底人口数为 2000 万人,假定以后每年以 9的增长率增长;又假定该地区 1998 年粮食量为 120 亿斤,要求 2003 年平均每人粮食达到 800 斤,试计算2003 年粮食产量应达到多少?粮食产量每年平均增长速度如何?解:先计算该地区 2003 年人口将达到什么水平2003 年该地区人口数= 6.2091).1(20)(50 nxa(万人)该地区要求粮食产量=2091.6800=167.33(亿斤)粮食产量平均增长速度=%83.6750 n所以,2003 年粮食产量应达到 167.33(亿斤) ,粮食产量每年平均增长速度为6.88%。(注:该题中假定人均粮食产量以期末人口数计算)