1、10.3 二项式定理一、填空题1(1 x x2) 6的展开式中的常数项为_(x1x)解析 6的一般项为 Tr1 C (1) rx62 r，当 r3 时， T4C 20，(x1x) r6 36当 r4 时， T5C 15，因此常数项为20155.46答案 52.已知 的展开式中 的系数为 15,则 m 的值为 . 61()mx3x解析 C C ,由 得r=2. 1rT126(rr)r6(r12rx63r C C . ()45m答案 3已知 8展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各(xax)项系数的和是_解析 由题意知 C ( a)41 120，解得 a2，令 x1，得展
2、开式各项系48数和为(1 a)81 或 38.答案 1 或 384 (4 x2 x)6(xR)展开式中的常数项是_解析 Tr1 C (22x)6 r(2 x)r(1) rC (2x)123 r， r4 时，123 r0，r6 r6故第 5 项是常数项， T5(1) 4C 15.46答案 155在 6的二项展开式中， x2的系数为_(x2 2x)解析 在 6的展开式中，第 r1 项为(x2 2x)Tr1 C 6 r rC 6 rx3 r(2) r，当 r1 时为含 x2的项，r6(x2) ( 2x) r6(12)其系数是 C 5(2) .16(12) 38答案 386设 n的展开式的各项系数之和
3、为 M，二项式系数之和为 N，若(5x 1x)M N240，则展开式中 x 的系数为_解析 由已知条件 4n2 n240，解得 n4，Tr1 C (5x)4 r r(1) r54 rC x4 ，r4 ( 1x) r4 3r2令 4 1，得 r2， T3150 x.3r2答案 1507在 n的展开式中，所有奇数项的系数之和为 1024，则中间项系数(1x 51x3)是_解析 二项式的展开式的所有项的二项式系数和为 2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等由题意得，2 n1 1024， n11，展开式共有 12 项，中间项为第六项、第七项，系数为 C115 C116462.答
4、案 4628 18的展开式中含 x15的项的系数为_(结果用数值表示)(x 13x)解析 Tr1 C x18 r r(1) rC rx18 r，令 18 r15，解得r18 ( 13x) r18(13) 32 32r2.所以所求系数为(1) 2C 217.218(13)答案 179已知(1 x x2) n的展开式中没有常数项， nN *且 2 n8，则(x1x3)n_.解析 n展开式中的通项为(x1x3)Tr1 C xn r rC xn4 r(r0,1,2，8)，rn (1x3) rn将 n2,3,4,5,6,7,8 逐个检验可知 n5.答案 510.若( x )n的展开式中含有非零常数项，则
5、这样的正整数 n 的最小值3 12是_ 解析 T r1 C nr( x)nr ( )rC nr( )nr (1) r( )rxnr xr33 132x 3 132C nr( )nr ( )rx4n-3，令 n r0，得 n r.3132 43 43n 取最小值为 4.答案 411设二项式 6(a0)的展开式中 x3的系数为 A，常数项为 B.若(x ax)B4 A，则 a 的值是_解析 对于 Tr1 C x6 r rC ( a)rx6 r，r6 ( ax12) r6 32BC ( a)4， AC ( a)2. B4 A， a0， a2.46 26答案 212 5的展开式中各项系数的和为 2，则
6、该展开式中常数项为(xax)(2x 1x)_解析 令 x1，由已知条件 1 a2，则 a1.5C (2x)5C (2x)4 C (2x)3 2C (2x)2 3C (2x)(2x1x) 05 15 ( 1x) 25 ( 1x) 35 ( 1x) 454 532 x580 x380 x40 10 ，则常数项为 40.(1x) ( 1x) 1x 1x3 1x5答案 4013在( x )2 006的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S，当 x 时，2 2S 等于_解析( x )2 006 x2 006C x2 005( )C x2 004( )2 12 006 2 22 006 22( )2
7、 006，由已知条件 SC ( )2 006C ( )2 2 12 006 2 32 006 2006C ( )2 0062 2 00521 0032 3 008.2 0056 2答案 2 3 008二、解答题14已知二项式 n的展开式中各项的系数和为 256.(3x 1x)(1)求 n；(2)求展开式中的常数项解析 (1)由题意得 C C C C 256，即 2n256，解得 n8.0n 1n 2n n(2)该二项展开式中的第 r1 项为 Tr1 C ( )8 r rC x ，令r83x (1x) r8 8 4r30，得 r2，此时，常数项为 T3C 28.8 4r3 2815设 m， nN
8、， f(x)(12 x)m(1 x)n.(1)当 m n2 011 时，记 f(x) a0 a1x a2x2 a2 011x2 011，求a0 a1 a2 a2 011；(2)若 f(x)展开式中的 x 的系数是 20，则当 m， n 变化时，试求 x2系数的最小值解析 (1)令 x1，得 a0 a1 a2 a2 011(12) 2 011(11) 2 0111.(2)因为 2C C 2 m n20，所以 n202 m，则 x2的系数为 22C C 41m 1n 2m 2n 2 m22 m (202 m)(192 m)4 m241 m190.m m 12 n n 12 12所以当 m5， n1
9、0 时， f(x)的展开式中的系数最小，最小值为 85.16已知( )n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列x124x(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项解析 依题意，前三项系数的绝对值是 1， Cn1( )， Cn2( )2，且 2Cn1 1 Cn2(12 12 12)2，12即 n29 n80， n8( n1 舍去)，展开式的第 k1 项为C8k( )8 k( )k( )kC8kx x (1) k x .x124x 12 8 k2 k4 C8k2k 16 3k4(1)证明：若第 k1 项为常数项，当且仅当 0，即 3k16，16 3k4 kZ，这不可能，展开式
10、中没有常数项，(2)若第 k1 项为有理项，当且仅当 为整数，16 3k40 k8， kZ， k0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1 x4， T5 x， T9 x2 .358 125617在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第 n 行(含第 n 行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第 0 行 1第 1 行 1 1第 2 行 1 2 1第 3 行 1 3 3 1第 4 行 1 4 6 4 1第 5 行 1 5 10 10
11、5 1第 6 行 1 6 15 20 15 6 1解析 (1)C C C .rn 1 rn r 1n(2)122 22 n2 n1 1.(3)设 C C C 345，r 1n rn r 1n由 ，得 ，Cr 1nCrn 34 rn r 1 34即 3n7 r30， 由 ，得 ，CrnCr 1n 45 r 1n r 45即 4n9 r50 解联立方程组得，n62， r27，即 C C C 345.2662 2762 286218 (1)当 kN *时，求证：(1 )k(1 )k是正整数；3 3(2)试证明大于(1 )2n的最小整数能被 2n1 整除( nN *)3解析 (1)(1 )k1C C
12、( )2C ( )k，3 1k3 2k 3 k 3(1 )k1C C ( )2C (1) k( )k，3 1k3 2k 3 k 3因此，(1 )k(1 )k21C ( )2C ( )4，3 3 2k 3 4k 3因为 的偶数次幂均为正整数，3所以(1 )k(1 )k是正整数3 3(2)证明 因为 0(1 )2n1，由(1)知(1 )2n(1 )2n为正整数，所3 3 3以大于(1 )2n的最小整数为(1 )2n(1 )2n.3 3 3由于(1 )2n(1 )2n(1 )2n(1 )2n3 3 3 32 n(2 )n(2 )n，3 3由二项式定理知(2 )n(2 )n是一个偶数，3 3所以(1 )2n(1 )2n能被 2n1 整除3 3
