2011北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何.doc

1、2011 北京各区数学一模试题分类汇编立体几何1. （朝阳理 16）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ， ，侧面PABCDAB/ADBC90PAD底面 . 若 .PAD12（）求证： 平面 ；（）侧棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明E/PCE理由；（）求二面角 的余弦值.PC解法一：（）因为 ，所以 .90PADPAD又因为侧面 底面 ，且侧面 底面 ，BCABCD所以 底面 .而 底面 ，C所以 . PAD在底面 中，因为 ， ，B90ABCD12ABCD所以 ， 所以 .2C又因为 ， 所以 平面 . 4 分PAPA（）在 上存在中点

2、，使得 平面 ， E/BCD证明如下：设 的中点是 ， DF连结 ， ， ，BC则 ，且 ./EFA12A由已知 ，90所以 . 又 ，/D所以 ，且 ，BCEF所以四边形 为平行四边形，所以 ./BCF因为 平面 ， 平面 ，EPPD所以 平面 . 8 分/（）设 为 中点，连结 ，GADCGABPCDE FABPCDGHABPCD则 .CGAD又因为平面 平面 ，BPA所以 平面 .过 作 于 ，H连结 ，由三垂线定理可知 .CHD所以 是二面角 的平面角.设 ，则 , .2AD1PABG5P在 中， ，所以 .所以 ， .tan5CHG6cosHC即二面角 的余弦值为 . 13 分APD

3、6解法二：因为 ，90PAD所以 .又因为侧面 底面 ，BC且侧面 底面 ，所以 底面 .又因为 ，90BAD所以 ， ， 两两垂直.P分别以 ， ， 为 轴，x轴， 轴建立空间直角坐标系，如图.yz设 ，则 ， ， ， ， . 2(0,)(1,0)B(,10)C(,20)D(,1)P（） ， ， ,1)AP,AC所以 ， ，所以 ， .0D 0AP又因为 ， 所以 平面 . 4 分C（）设侧棱 的中点是 ， 则 ， .PAE1(, )21(, 0)2BE设平面 的一个法向量是 ，则 CD,xyzn.DPn因为 ， ，(1, 0)(, 21)P所以 取 ，则 .2.xyzx, nzyxABPC

4、D所以 ， 所以 .1(1, 2)(, 0)BEnBEn因为 平面 ，所以 平面 . 8 分PCDBEAPCD（）由已知， 平面 ，所以 为平面 的一个法向量.A(1, 0)PA由（）知， 为平面 的一个法向量.(1, 2)n设二面角 的大小为 ，由图可知， 为锐角，PC所以 .(, )(1, 0)6cos6BA即二面角 的余弦值为 . 13 分PD2. （朝阳文 17）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，且 ， ，侧面 底面ABCABD/ADBC90PAD， . 若 .ABC90P12（）求证： 平面 ；D（）设侧棱 的中点是 ，求证： 平面 .EAPC解：（）因为 ，90PAD所以 .又

5、因为侧面 底面 ，BC且侧面 底面 ，所以 底面 .PAD而 底面 ，C所以 .在底面 中，B因为 ， ，90AD12ABCD所以 ， 所以 .2CABPCDEABPCDEPA BCDQMPABCDQMNx yzE FABPCD又因为 ， 所以 平面 . 6 分PACDAC（）设侧棱 的中点为 ， DF连结 ， ， ，BE则 ，且 .FA12A由已知 ，90C所以 . 又 ，所以 . 且 .BEAF所以四边形 为平行四边形，所以 .EFA因为 平面 ， 平面 ，PCDPC所以 平面 . 13 分A3. （丰台理 16）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD/BC，

6、ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA= PD=2，BC = AD=1，CD= 123（）若点 M 是棱 PC 的中点，求证：PA / 平面 BMQ；（）求证：平面 PQB平面 PAD； （）若二面角 M-BQ-C 为 30，设 PM=tMC，试确定 t 的值 证明：（）连接 AC，交 BQ 于 N，连接 MN BC AD 且 BC= AD，12四边形 BCQA 为平行四边形，且 N 为 AC 中点，又点 M 在是棱 PC 的中点， MN / PA MN 平面 MQB，PA 平面 MQB， PA / 平面 MBQ （）AD / BC，BC=

7、AD，Q 为 AD 的中点，12四边形 BCDQ 为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB =90 即 QBAD又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD=AD， BQ平面 PAD BQ 平面 PQB，平面 PQB平面 PAD 9 分另证：AD / BC，BC= AD，Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形，CD 12/ BQ ADC=90 AQB=90 PA=PD， PQAD PA BCDQM PQBQ= Q， AD平面 PBQ AD 平面 PAD，平面 PQB平面 PAD9 分（）PA=PD，Q 为 AD 的中点， PQAD 平面 PAD平面 AB

8、CD，且平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系则平面 BQC 的法向量为 ； ， ，(0,1)n(,0)Q(,3)P， (0,3)B(,3C设 ，则 ， ，Mxyz,)Pxyz(1,)MCxyz ，t ， 12 分(1)3xtyztz） 131txytz在平面 MBQ 中， ， ，(0,3)QB3(,)1tMt 平面 MBQ 法向量为 ,mt二面角 M-BQ-C 为 30， ，23cos3030nt 14 分3t4. （丰台文 16）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为直角梯形，AD/BC，ADC =90，BC= AD，PA= PD

9、，Q 为 AD 的12中点（）求证：AD平面 PBQ； （）若点 M 在棱 PC 上，设 PM=tMC，试确定 t 的值，使得PA/平面 BMQ证明：（）AD / BC，BC= AD，Q 为 AD 的中点，12 四边形 BCDQ 为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 即 QBAD PA=PD，Q 为 AD 的中点， PQADPA BCDQMN PQBQ= Q，AD平面 PBQ 6 分（）当 时，PA/平面 BMQ1t连接 AC，交 BQ 于 N，连接 MNBC DQ，/2四边形 BCQA 为平行四边形，且 N 为 AC 中点，点 M 是线段 PC 的中点， MN / PA

10、 MN 平面 BMQ，PA 平面 BMQ， PA / 平面 BMQ 13 分5. （门头沟理 16）已知四棱锥 的底面 为菱形，且 ， ， 与PABCD 06,ABC2PDABPCA相交于点 .BO（）求证： 底面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）若 是 上的一点，且 ，MPPBCM求 的值B（）证明：因为 为菱形，AD所以 为 的中点1 分O,C因为 ,PBP所以 ,A所以 底面 3 分CD（）因为 为菱形，所以BB建立如图所示空间直角坐标系又 06,2APA得 4 分131OB所以 (0,)(,0),(),(03,)CD, , 5 分PP1APDCOB设平面 的法向量PCD(,)

11、mxyz有 0A所以 解得30xzy3xzy所以 8 分(,)mcos,PBPBA9 分621cos, 74与平面 所成角的正弦值为 10 分PBCD（）因为点 在 上,所以M(0,31)PB所以 , (0,31)(1,因为 PBC所以 , 得 解得A3014所以 13M14 分6. （门头沟文 16）如图所示，垂直矩形 所在的平面，PABCD分别为 的中点。FE、 P、()求证 平 面/（）求证 证明：()取 中点 ，连结 、 ，GAF因为 分别为 的中点，所以 ，FE、 PCB、 ABE21，2 分G/ = DC21又在矩形 中 ，所以 ，AB/ = AE/ =GF所以四边形 是平行四边形

12、，所以 5 分EFG/ =CPDBAEFGPDMBCA又， ， .所以 7 分PAD平 面GP平 面EFPADEF平 面/（）因为 ，所以 在矩形 中 BC平 面ABC又 ，所以 ， 11 分平 面因为 所以 ， 因为 所以 13 分PAD平 面GGEF/D石景山理 17）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点（）求证：EF/平面 ACD1；（）求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值；（）在棱 BB1 上是否存在一点 P，使得二面角 PACB 的大小为 30？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由7. （石景山文 17）

13、在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，G 分别为棱 BB1，DD 1 和 CC1 的中点（）求证：C 1F/平面 DEG；（）求三棱锥 D1A1AE 的体积；（）试在棱 CD 上求一点 M，使 1平面 DEG8. （延庆理 16）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，且 ,侧面 底面 ，PABCDAB260DABADBC且三角形 为等腰直角三角形， , 是 的中点.90PP（）求证 ; （）求异面直线 与 所成角的余弦值;M（）求二面角 的余弦值.APDB（） 连结 , 是菱形 ，且 C60AD 是等边三角形 1 分B设 是 的中点，连结 ， ，则 ，QAPQB

14、是等腰直角三角形PDPDBCA 2 分PQAD 3 分B 平面 ， 4 分PB（） 平面 平面 平面PDACQACD以 为坐标原点， 分别为 轴Q,xyz建立空间直角坐标系如图 5 分则 1(,0)(,0)(,1)(0,3)2MPB 7 分33DB 9 分cos,|DP20（） 平面 BQA 平面 的法向量为 10 分P(,1)m设平面 的法向量为 Dnxyz (1,30),(,0)B ， ，nP30,xyxz令 可得： 12 分1,x(1,)n 7cos,|m由图形可知，二面角 为锐角，APDB 二面角 的余弦值为 14 分79. （延庆文 16）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，P

15、ABCDAB/ABCD, ,且三角形 为等腰 ， .60D2PDP（）求证 ; （）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?M/并说明理由.（）连结 , ，且 BDA60BAD 是等边三角形 1 分设 是 的中点，连结 ， ，则 ， 2 分QPQ 是等腰三角形， 3 分P ， 平面 ， 5 分BADB 平面 ， 6 分QP（）设 为 的中点，连 ，又设 是 的中点, 连MPMN,NCM 8 分1/2NAB ， ， 9 分DC/DC 是平行四边形， 10 分/N 平面 , 平面PPB 平面 12 分/MB 当 为 的中点时， 平面 13 分A/10. （海淀理 16）在如图的多面体中， 平面 ， , ， ，EFABE/ADF/EBC， ， ，24BCAD32是 的中点G() 求证： 平面 ；/G() 求证： ；E() 求二面角 的余弦值. F解：()证明： ，/,/ADEFBC ./BC又 , 是 的中点，2G ，/四边形 是平行四边形，A . 2 分/D ADFEBGC