1、1导数的运算和应用1.（2010江西高考文科）若 42()fxabc满足 (1)2f，则 (1)f（ ）A 4B 2C2 D4【命题立意】本题主要考查导数，考查导数的运算、求值【思路点拨】先求导，再代入求值，注意整体代换思想。【规范解答】选 B因为 ,24)(3 bxaxf所以 baf24)1( ，即 ,2故,24()1 baf选 B2.（2010江西高考理科）等比数列 n中， 18,，函数128()()fxx，则 (0)fA 62 B 9 C 12 D 152【命题立意】本题主要考查导数及求导法则，等比数列的性质，考查考生的运算求解能力【思路点拨】先化简，然后求导数，再利用等比数列的性质进行
2、计算.【规范解答】选 xaxaaxf )()()( 8218219 ，所以 )(xf(89 87821ax ， 0f =（24） 4= 12.【方法技巧】本题也可利用求导法则不化简直接对 )(x求导，其导函数为 )(xf)()()()( 73282821 aaaxxx ，故 (0)f82a=（24） 4= 12.3.（2010江西高考理科）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ()0)St，则导函数()ySt的图像大致为【命题立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识别能力，灵活分析问题和解决问题的能力，考查
3、分段函数，考查分段函数2的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应用，考查平面图形面积的计算，考查数形结合的思维能力【思路点拨】本题结合题意及图像的变化情况可用排除法；也可先求面积的函数，再求其导数，最后结合图像进行判断.【规范解答】选 A方法一：在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况，第一段和第三段的变化趋势相同，只有选项 A、C 符合要求，从而先排除 B、D，在第二段变化中，面积的增长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项 C，故选 A. 4.（2010全国高考卷文科7）若曲线 2yxab在点 (0,)处的切线方程是 10xy，则（A） 1,ab
4、(B) 1,(C) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义和曲线的切线方程知识。【思路点拨】由题意知，曲线 2yxab在点 (0,)处的切线的斜率为 1，根据导数的几何意义得 y在 x=0处的导数为 1，再把（0，b）代入切线方程可以解出 a 、b 的值。【规范解答】 选 A， 2yxa, 在点 (,)b处的切线方程是 10xy。斜率为 1，所以 ,a,所以 1.5.（2010全国高考卷理科10）若曲线12yx在点12,a处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则 a（A）64 （B）32 （C）16 （D）8【命题立意】本题主要考查了导数的几何意义，曲线的切线方程求法，考查考生的
5、运算求解能力【思路点拨】先求出切线方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三角形的面积。【规范解答】选 A， ,213xy所以曲线12yx在点12,a处的切线： ,30,0),(21y 213 aaa 得 ，由得由所以， .64,81解 得 3【方法技巧】利用导数解决切线问题有两种类型：（1） “在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率。 （2） “过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，再求切点坐标。6.（2010重庆高考理科8）已知函数 1ln,xfa其中实数 1a（1）若 2a，求曲线 yfx在点 0,处的切线方程；（2）若 fx在 x=1 处取得
6、极值，试讨论 fx的单调性。【命题立意】本题考查曲线的切线方程的求法，考查用函数的导数求极值的方法，判断函数的单调性的方法，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】 （1）先由函数的导数求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；（2）由函数的极值求法求出 a的值，再根据导数的正负讨论函数的单调性.【规范解答】因为 1ln,xfa所以 2(1)xaf x21()ax；（1）当 时， 217(0)04f，又因为 1(0)2f，所以曲线 ()yfx在点(0,)f处的切线方程是 ()yx，即 xy；（2）因为 1a，所以 211()2af a，又因为 ()fx在 1处取得极值，所以()0f，即 02，解得 3
7、，所以 ()ln3xf，其定义域是 (,3),)，且 231(1)7()xfx ，令 )0f，则 1， 2，所以当 x或 7时， ()0fx；当 17x，且 3时， ()0fx；所以由以上讨论可知，函数 在区间 ,)上是增函数；在区间 1,3， (,7)上是减函数.【方法技巧】本小题采用先总后分的解答格式，即先求出导函数，再分别求解两问.7.（2010全国高考卷文科21） 已知函数 f（x）=x 3-3ax 2+3x+1。4（）设 a=2，求 f（x）的单调区间；（）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的单调性、极值等知识，考查推理论证能
8、力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。【思路点拨】代入 a=2，由 f（x）求导，由 的 递 减 区 间 。得 递 增 区 间 ， 0)(0)( xfxf第二问可利用数形结合方法转化为 上 有 根 解 决 。，在 （ 32)( 注意根据单调性对 a分类讨论。【规范解答】 （）当 2a时， 61fxx 2313(41)() ()()fxx当 x 单 调 递 增 ，在时 32,0), xff当 x 单 调 递 减 ，在） 时， ),()(2( 当 x 单 调 递 增 ，在时， ,),3xff综上，f（x ）的单调增区间是 ），） ， （ 3232，f （x ）的单调减区间是 ），（
9、32-（） .1)x)(2af（当 无 极 值 点 ，为 增 函 数 ， 故时 ， )(,0(012 xfffa当 1,1) 221 aax有 两 个 根 ，时 ， 由题意知，因此 a 的取值范围是 ).35,4(8.（2010全国卷理科20） 已知函数 ()1lnfxx.（）若 2()1xfax，求 的取值范围；（）证明： ()0f .【命题意图】 “纸上得来终觉浅 绝知此事须躬行”.本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【命题立意】首先对函数 ()
10、1lnfxx进行求导，然后将 )(xf代入到.3545,312,312 22 aaaaa 解得：或52()1xfax中建立新的函数 )(xg，再对 )(x求导，利用函数的单调性求 a的取值范围；问题（）的证明，利用问题（）的结论进行合理配凑求解.【规范解答】(I) xnxf 11)( , 1)(nxf,题设 )(2axf等价于 a.令 g,则 )(g.当 10时, 0)(g;当 时, 0)(, 1是 )(的最大值点,)(xg.综上, 的取值范围是 .(II)由(I)知, 1)(x,即 xn.当 10时, 0)1(1xnf .当 x时, 1()ll)llln(l)0xxxx（所以 0)(1f.9
11、.（2010四川高考文科22）设 1()xaf（ 0且 1a） ， ()gx是 f的反函数.（I）求 ()gx；（II）当 26,时，恒有 2log(1)7atxx()成立，求 t的取值范围；（III ）当 10a时，试比较 .(ffn 与 4的大小，并说明理由.【命题立意】本题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合、构造函数等数学思想，以及推理论证，分析与解决问题的能力.【思路点拨】 （I）先求原函数的值域，即反函数的定义域，再反解 x.（II）根据对数函数的性质，首先去掉对数的底数，因 a与 1的大小不定，故需要分 1a，01a进行讨论. 1a时，可得 20(
12、)7tx， 26x,恒成立； 0时，可得 2()7tx， 6x,恒成立.若令 32()91,hx，便可利用导数求函数在闭区间上的最值.求出 t的取值范围。6（III ）比较 (1)2.()ffn 与 4的大小，首先建立 (1)2.()ffn和 的关系，但()naf很难建立关系，故需要转换，考虑到 02a，即 ，故可以设 11)pa，则1()1() ()1nnnnpfap便可根据题目的目标和二项式定理进行放缩了.【规范解答】 （I）由题意，得 10xya， ，或 1y，故 ()log,(,)(,)ax，（II） 21ll(1)7aatx，当 时， 20()xt又 26,， 01(7tx，令 32()1(7)95,26hxx，2385()x，列表如下x2(2,)5(5,6)()h 0x5 极大值 32 25由表可知 ()hx最 小 值 ， 5t.当 01a， 2(1)7x，又 26x,， 0t，由知 ()1(7)2,6hx， 的最大值为 32，7 32t.综上，当 1a时， 05t；当 1a时， 32t.（III ）设 p，则 ，当 1n时， 2()35f.当 2时，设 ,kN，则 (1)2)(1)kkpf p12.kkCpCp， 1244()()kfC， 12() 1()kf k，从而 4(3). 12ffnn。(1)2(1)，综上 ().4ff.
