1、2011 暑期辅导讲义 1考点 11 椭圆1.（2010广东高考文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A 45 B 3 C 25 D 1【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出 a、 b、 c的关系，再转化为 a、 c间的关系，从而求出 e.【规范解答】选 . 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 2b，24()ac，即： 224bac，又 22abc，c，即 350， ()350ac， 0c（舍去）或 350， ea，故选 B.2.（2010福建高考文科1）若点 O 和点 F 分别为椭圆2143xy的中心和左焦点，点
2、P 为椭圆上的任意一点，则 P的最大值为（ ）A.2 B.3 C.6 D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设 P 为动点，依题意写出 OPF的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选 C，设 0Px,y，则2 220 00y3x1434即，又因为 1,0200OPF120x0，又 0,， ,6，所以 max6OF.3.（2010海南高考理科T20）设 12,分别是椭圆 E:21xyab（ab0）的左、右焦点，过 1F斜率为 1 的直线 l与 E 相交于 ,AB两点，且 2F, AB,
3、 2成等差数列.（)求 E 的离心率；2011 暑期辅导讲义 2（）设点 P（0,-1）满足 APB,求 E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出 2F, A, 2B满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】 （)由椭圆的定义知， 24a，又 2AFB得 43ABa，l的方程为 yxc，其中 2b设 12,xy，则 ,AB两点坐标满足方程组2cab化简得， 222()()0abxacb则 212cx，21()ab.因为直线 AB 斜率为 1
4、，所以 22111()4ABxxx得 243ab，故 2ab,所以 E 的离心率 cabe.（）设 ,AB两点的中点为 0,Nxy，由（)知2120 3xc，03cyx.由 P，可知 1PNk.即 01yx，得 3c，从而 2,3ab.椭圆 E 的方程为289xy.【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2010北京高考文科9）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (2,0)，(2,0)，离心率是 63，直线 yt与椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作2011 暑期辅导讲义 3圆 P,圆心为 P.（）求椭
5、圆 C 的方程；（）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；（）设 Q（x,y）是圆 P 上的动点，当 t变化时，求 y 的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中 ,abc的关系，离心率 cea.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（）问中 y最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出 c，再利用离心率可求出 ,ab。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】 （）因为 63a，且 2c，所以 23,1c所以椭圆 C 的方程为21xy.（）由题意知 (0,)p
6、t由 213ytx得 23(1)xt所以圆 P 的半径为 2()t.由2|3(1)tt， 解得3t.所以点 P 的坐标是（0， 32）.（）由（）知，圆 P 的方程 222()3(1)xytt.因为点 (,)Qxy在圆 P 上。所以由图可知 y223(1)3(1)yttxtt。 设 cos,0,t，则cosini()6当 3，即 2t，且 0x， y取最大值 2.2011 暑期辅导讲义 4【方法技巧】 （1）直线与圆的位置关系： dr时相离； dr时相切； dr时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.5.（2010辽宁高考文理科20）设椭圆 C：21(0)xyab的右
7、焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, 2AB.(I) 求椭圆 C 的离心率；(II) 如果|AB|= 154，求椭圆 C 的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】 （I）联立直线方程和椭圆方程，消去 x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出 a、b、c 间的关系，求出离心率.（II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和 22abc，求出 a、b，写出椭圆方程.【规范解答】xyPMNO2011 暑期辅导讲义 51
8、21222 42 212212(,)(,) (0 )I3,()()303(), ,()3AxyBylxcabcabycxyabyAFBbca设 直 线 的 方 程 为 其 中联 立 消 去 得解 得因 为 所 以即 22212()34315(I)|AB+|y-|,3255,C19bcaeabcbaaxyAA得 离 心 率因 为 所 以 。由 得 。 所 以 ， 得 。所 以 椭 圆 的 方 程 为【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个 x(或 y),得到关于 y(或 x)的一元二次方程，使问题得以解决.2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关
9、系来解决问题.6.（2010天津高考文理科20）已知椭圆21(0xyab）的离心率 32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线 l与椭圆相交于不同的两点 ,AB，已知点 的坐标为（ ,0a） ，点0(,)Qy在线段 AB的垂直平分线上，且 4Q，求 y的值.【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【思路点拨】 （1）建立关于 a,b 的方程组求出 a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。【规范解答】 （1）由 3e2ca，得 24ac，再由
10、 2ab，得 22011 暑期辅导讲义 6由题意可知， 124,2ab即解方程组 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为214xy。(2)解：由（1）可知 A（-2,0） 。设 B 点的坐标为（x 1,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l的方程为 y=k(x+2),于是 A,B 两点的坐标满足方程组 2()14ykx由方程组消去 y整理，得 222(1)6(4)0kk由2164,kx得 1228,xy从 而设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 22(,)4k以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0） 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是000(2,y)(
11、2,=2QAyQABy） 由 ， 得（2）当 k时，线段 AB 的垂直平分线方程为（后边的 Y 改为小写）2218()44kYx令 x=0，解得 026yk由 010(,)(,QABxy） 21 222(8)6462()411kkx） =42(65)4k=整理得 012147, =75y故 所 以综上 0024=5yy或2011 暑期辅导讲义 77.（2010福建高考理科17）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2 , 3） ，且点 F（2 ，0）为其右焦点.（I）求椭圆 C 的方程；（II）是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l的
12、距离等于 4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出 a,c,然后求解椭圆的标准方程；第二步依题意假设直线 l的方程为 32yxt，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数 t 的范围，再由直线 OA 与直线 l的距离等于 4 列出方程，求解出 t 的值，注意判别式对参数 t 的限制.【规范解答】 （I）依题意，可设椭圆的方程为 210xyab，且可知左焦点为2,0F，从而有 2358caAF，解得 42c，又22,1
13、abc，故椭圆的方程为216xy；（II）假设存在符合题意的直线 l，其方程为 32yxt，由2163yxt得22310xt，因为直线 l与椭圆 C 有公共点，所以43t，解得 43t。另一方面，由直线 OA 与直线 l的距离等于 4 可得 ,2191t，由于 2134,3，所以符合题意的直线 l不存在.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式 的限制。因为抛物与直线有交点，注意应用 0进行验证可避免增根也可以用来限2011 暑期辅导讲义 8制参数的范围.8.（2010安徽高考理科19）已知椭圆 E经过点 2,3A，对称轴为坐标轴，焦点12,F在 x轴上
14、，离心率 12e。(1)求椭圆 E的方程；(2)求 12A的角平分线所在直线 l的方程；(3)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力【思路点拨】 （1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线 l的斜率或直线 l上的一个点的坐标，进而求得直线l的方程；（3）先假设椭圆 E上存在关于直线 l对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两
15、点，根据推理结果做出判断。【规范解答】 （1）设椭圆 的方程为21xyab（ 0a） ，由题意 2cea， 2491b，又 22c，解得： 2,43cab椭圆 E的方程为 6xy（2）方法 1：由（1）问得 1(2,0)F， 2(,)，又 2,3A，易得 12FA为直角三角形，其中 223,45AA设 1F的角平分线所在直线 l与 x 轴交于点 M，根据角平线定理可知：21M，可得 2， 1(,0)2直线 l的方程为： 03xy，即 yx。方法 2：由（1）问得 1(2,)F， 2(,0)，又 2,3A，(4,3)AF， 3A，O F2F1AXY2011 暑期辅导讲义 91214(4,3)(0
16、,)(1,2)55|AF ，lk， 直线 l的方程为： yx，即 yx。（3）假设椭圆 E上存在关于直线 l对称的相异两点 P、 Q，令 1(,)Pxy、 2(,)Q，且 P的中点为 0(,)Rl， 12Pykx，又212()6xy，两式相减得: 221106xy2121()23xx,即 0xy（3） ，又 0(,)Ry在直线 l上， 01y（4）由（3） （4）解得： 0,，所以点 与点 A是同一点，这与假设矛盾，故椭圆 E上不存在关于直线 l对称的相异两点。【方法技巧】1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；.2、利用向量表示出已知
17、条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算；3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。9 （2010陕西高考文理科20）如图，椭圆 C：21212,xyABFab的 顶 点 为 焦 点 为121217,BFASA()求椭圆 C 的方程； ()设 n 是过原点的直线， l 是与 n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于 A,B 两点的直线， 1,OP是否存在上述直线 l 使 1APB成立？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 。【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是
18、一道综合性的2011 暑期辅导讲义 10试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（2）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】已知 ,ab的方程组 ,ab椭圆 C 的方程 假设存在直线 l 使命题成立 结论【规范解答】 （）由 17AB知 a2+b2=7, 由 1212,ABFSc知 又 bac， 由 解得 24,3.b故椭圆 C 的方程为21.xy（）设 A,B 两点的坐标分别为（ x1,y1）( x2,y2)假设存在直线 l 使 APB成立，（）当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y=kx+m,由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 1,O得 2211.kk因为 1,OAB2122()()10,0.(34)84(3),PPxykmxA将 代 入 椭 圆 方 程 ， 得由求根公式得： 122k 21(),34xk212121212()(),0yxmkxk将代入上式并化简得 222224()38(34),510kkmkl将 代 入 上 式 并 化 简 得 ：， 矛 盾 ， 故 此 时 的 直 线 不 存 在 .
